2.2平方根与立方根(第2课时)课件2025--2026学年北师大版数学八年级上册

2.2 平方根与立方根(2) ---平方根 第二章 实数 2.我们已经学习过哪些运算？它们中的哪些是互为逆运算的关系？ 加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。 想一想：乘方有没有逆运算？ 1.什么是算术平方根？ 温故知新 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个正数x就 叫做a的算术平方根.记为“ ”，读作“根号a”。 特别地 2 1. 会求一个非负数的平方根，发展符号意识和运算能力。 (重点) 2. 能够理解并熟练进行开平方运算，并能在实际问题中加以应用。 (重点、难点) 学习目标 填一填：( )2 = 9； ( )2 = ； ( )2 = 0.64。 (1) 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_____； (2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是____； (3) 某个正方形的面积为0.64 m2，则其边长为 m。 3 0.8 想一想 那么还有其他的数平方后能分别等于9， ，0.64吗？ ±3 ±0.8 3 和－3都是9的平方根； 0.8和－ 0.8都是 0.64 的平方根。 和－ 都是 的平方根； 4 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。 一、平方根的定义： 如：42 = 16，(－4)2 = 16，则4和－4都是16的平方根， 也可以说16的平方根是±4。 学一学 16的平方根 负的平方根 ±4 正的平方根 (算术平方根) 4 －4 平方根 二、平方根的表示方法、读法： 被开方数 读作：正、负根号a。 学一学 正数a的平方根记作 ± 。 因为02 = 0，所以0的平方根只有一个是0。 规定： = 0。 注意：① 是互为相反数的关系； 与－ ② ±存在的条件是a≥0； ③由于一个数的平方不能是负数，所以负数没有平方根。 叫做二次根号 “±” (a是正数) ± (1)144的平方根是 ； (2)的平方根是 ；(3)0的平方根是 ； (4)－4的平方根 。 0 试一试 不存在 三、平方根的性质： 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 四、开平方的概念： 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。 注意：①开平方是一种运算，它与平方运算互为逆运算； ② a≥0。 它们互为相反数 ±12 ± 平方运算与开平方运算的关系 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 平方运算 x2 x 开平方运算 辨一辨 开平方运算的性质： (± )2 = a。(a≥0) ± = ±a。 8 例题学习 求下列各数的平方根: (1) 64； (2) ； (3) 0.000 4； (4) (－25)2； (5) 11。 例3 (4)因为(±25)2 = (－25)2，所以(－25)2的平方根是±25， 解:(1)因为(±8)2 = 64，所以64的平方根是±8， (2)因为 所以 的平方根是± ， 8； (3)因为(±0.02)2 = 0.000 4，所以0.0004的平方根是±0.02， 0.02 ； 即 ±=±25； (5)11的平方根是 ±。 ； 随堂练习 解:(1)因为(±1.2)2 =1.44，所以1.44的平方根是±1.2， 1.2 ； (2)因为02 = 0，所以0的平方根是0， 0 ； ； (5)因为(±21)2 =441，所以441的平方根是±21， 21 ； (6)因为(±14)2 = 196，所以196的平方根是±14， 14 ； (7)因为(±10－2)2 = 10－4，所以10－4的平方根是±10－2， 10－2 。 (3)8的平方根是± ； (4)因为(±)2 = ,所以的平方根是 ， ± 1.求下列各数的平方根： 1.44 ，0 ， 8 ， ，441 ，196 ，10－4。 例题学习 求下列各式的值: (1) ； (2) － ； (3) 。 例4 解：(1) = = 15； (2) － = － = －； (3) = 8。 随堂练习 2.填空： (1) 25的平方根是 ； (2) = ； (3) ()2 = ； (4) (－)2 = 。 ±5 5 5 3.当a = 5,b = 12时,求 的值。 5 解：当 a = 15 ,b = 12时， = = = 13。 课堂小结 类型 算术平方根 平方根 区 别 定义不同 一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。 一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根。 个数不同 表示方法不同 取值范围不同 联 系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正根。 (1)只有非负数才有平方根和算术平方根； (2)0的平方根是0，算术平方根也是0。 一个 一般有两个 ± 一正(0除外) 一正一负(0除外) 4.(1)一个正数的平方等于361，求这个正数； (2)一个负数的平方等于121，求这个负数； (3)一个数的平方等于196，求这个数。 习题2.2 解:(1)∵192 = 361 ，∴ = 19； (2)∵(－11) 2 = 121 ，∴－ = －11； (3)∵(±14) 2 = 196 ，∴± = ±14。 习题2.2 5.求满足下列各式的未知数x: (1) x2 = ； (2) x2 = 6。 解：(1)∵x2 = , ∴x = ± ， 即 x = ± 。 (2) ∵x2 = 6 , ∴x = ± 。 作 业 教材37页 习题2.2第2题 随堂检测 解:(1)因为(±9)2 = 81，所以81的平方根是±9， 9 ； (2)因为(±0.7)2 = 0.49，所以0.49的平方根是±0.7， ±0.7 ； (4)因为(±)2 = =6 ，所以6 的平方根是±， ； (5)因为(±28)2 =784，所以784的平方根是±28， 28 ； (6)因为(±2－4)2 = 2－8，所以2－8的平方根是±2－4， 2－4 。 (3)11的平方根是± ； 1.求下列各数的平方根: (1) 81；(2) 0.49 ；(3) 11；(4) 6 ；(5)784 ；(6) 2－8。 3.一个数b的平方根是m－1和5－2m，则m= ，b= 。 2.若2n-4和3n-1是同一个数的平方根，则n= 。 随堂检测 【解析】当两个数是同一个数的平方根时，这两个数可能有两种关系： ①两数相等(即为同一个平方根)；②两数互为相反数(一正一负，和为0)。 ①当2n－4 = 3n－1时，n = －3； ②当2n－4 ＋3n－1 = 0时，n = 1； －3 或 1 【解析】一个数的平方根有两个，这两数互为相反数(一正根，一负根)。 由m－1 ＋5－2m = 0时，可得 m = 4； 所以b = (m－1)2 = (4－1)2 = 9。 4 9 4.求下列各式中的x. (1)x2 = 9; (2)x2＋3=5; (3)2x2＋4=36; (4)(x－1)2＝25. 随堂检测 解：(1)∵x2 = 9, ∴x = ± ， 即 x = ± 。 (2)∵x2 = 5－3, 即x2 = 2 ， ∴x = ± 。 (3)∵2x2 = 32 , ∵x2 = 16, ∴x = ± ， 即 x = ± 。 (4)∵(x－1)2 = 25 , ∴x－1 = ± ， ∴x－1 = ±5， 即 x－1= 5或 x－1 = －5， ∴x = 6 或 x = －4。 再 见 $