3.1 勾股定理的探究 第1课时　课件　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理的发现与应用展开，从直角三角形内角关系自然过渡到三边数量关系的探究，通过正方形面积的“补”法计算和格点图形操作，构建直观感知与逻辑推理的学习支架，逐步引导学生抽象出“a² + b² = c²”的核心结论。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以“观察面积关系→归纳规律→符号表达→实际应用”为主线，突出几何直观与推理能力培养。例如在第4至8页中，借助图形分割与拼接方法验证面积等量关系，体现数学思维的严谨性；在例题与练习中，将无理数表示、数轴作图等情境融入生活问题，强化数学语言的表达力。此设计既帮助学生建立知识结构，又提升教师教学效率，促进深度学习的发生。

直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：一个角为直角，另外两个锐角互余． 那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢? 新课导入 22251 3.1 第1课时 勾股定理的发现 22251 1.探索勾股定理，能够应用勾股定理求直角三角形的未知边长，表示无理数. 学习目标 22251 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 ? 用“补”的方法 新课讲授 22251 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 ? S正方形AEDB＝7×7－4×S△ABC ＝49－4××3×4 ＝25． 新课讲授 22251 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 用“割”的方法 新课讲授 22251 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 S正方形AEDB＝4×S△APB＋1×1 ＝4××3×4＋1 ＝25． P 新课讲授 22251 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 25 S正方形AEDB＝S正方形BHIC＋S正方形ACFG AB2 BC2 AC2 ＝ ＋ 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方. 新课讲授 22251 在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流． 交流讨论 22251 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. C A B 为什么叫“勾股”定理呢？ 归纳 22251 有一天周公（周文王的儿子）遇到商高（当时的数学家），问到： 周公问数 知识速递 　听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去丈量，怎样才能得到关于天地的数据呢？ 商高(约公元前1100年) 周公(公元前1123年―前1032年) 　数学的方法是从研究圆形和方形开始的．圆形可以由方形来推导，方形可以由直角三角形来推导，而直角三角形的原理又来自于基本的乘法表，也就是九九八十一． 如果我们有一个圆，它的直径是1，那么它的周长大约是3．如果我们有一个正方形，它的边长是1，那么它的周长是4．现在，如果我们有一个直角三角形，它的两条直角边分别是3和4，那么它的斜边（最长的那条边）就是5．这就是我们说的 “勾三股四弦五.”． 22251 股修四 股方之矩 勾广三 勾方之矩 径 隅 五 荣方：“矩何以测天？” 陈子：“勾股各自乘，开方除之得弦．此矩道之极也．” 勾的平方＋股的平方＝弦的平方 周髀算经 知识速递 22251 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. C A B 为什么叫“勾股”定理呢？ 又叫商高定理 勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数. 归纳 22251 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. C A B 又叫商高定理 勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数. 符号语言： 则 a2＋b2＝c2. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°， c b a 注意：勾股定理只适用于直角三角形，揭示的是直角三角形三边长之间的平方关系． 归纳 22251 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长． 5 12 c (1) 解：(1)根据勾股定理，得 122＋5²＝c2， 即 c2＝169． 所以 c＝＝13． 5 b 2 (2) (2)根据勾股定理，得 22＋b²＝52， 即 b2＝21． 所以 b＝． 典例精析 22251 1.如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为411.5m．求梯子顶端距地面的高度h． 解：根据勾股定理，得 1.52＋h²＝2.52， 即 h2＝4． 所以 h＝2． 答：梯子顶端距地面的高度为2m． 活学活用 22251 例2 在数轴上画出对应的点． 0 1 -1 2 3 -2 解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形． 由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径 画弧，与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点． P 典例精析 22251 -4 -3 -5 -2 -1 0 1 2. 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，画一个直角边分别为1和4的直角三角形.由勾股定理知，斜边为． 以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴负半轴交于对应的点． 活学活用 22251 欣赏：勾股之美 22251 勾股定理的发现 内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 商高，毕达哥拉斯定理 应用 求直角三角的边长 在数轴上表示无理数（a为正整数） 课堂小结 22251 1.在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， 则a，b，c的关系是( ) A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2 C．b2＋c2＝a2 D．a2＝(c＋b)(c－b) B 当堂检测 22251 2.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 A 3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5cm，BC＝6 cm，则AD＝____ cm. 4 当堂检测 22251 4. 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹) 0 1 -1 2 3 解：如图，画一个直角边分别为2和2的直角三角形.由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径 画弧，与数轴正半轴交于对应的点． 当堂检测 22251 $