5.3一次函数的图象与性质　同步练习　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第5章一 次 函 数 5.3一次函数的图象与性质 正比例函数的图象与性质 提优点：1.会画正比例函数的图象；2.掌握正比例函数的性质. 学科网（北京）股份有限公司 第1关练速度 1.(2024·梅州期中)下列图象中，表示正比例函数图象的是 ( ) 2.(2025·亳州期中)关于正比例函数 下列结论不正确的是 ( ) A.点(2, )在函数 的图象上 B. y随x的增大而减小 C.图象经过原点 D.图象经过第二、四象限 3.一空“长方体”水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表.则水的深度h与注水时间t之间的函数表达式为 ，该函数 (填“是”或“不是”)正比例函数. 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 4.(眉山中考)若函数 是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限. 5.(1)若正比例函数y=-2x的图象经过点O(a-1,4),则a的值为 ; (2)若一个正比例函数y=mx的图象经过P(4,-8),Q(m,n)两点,则n的值为 . 6.已知正比例函数y=kx 的图象过点A(2a，-4a)(a≠0). (1)求正比例函数表达式； (2)画出正比例函数y=kx的图象； (3)当自变量x满足-3≤x≤4时，直接写出对应函数值y的取值范围. 第2 练准确率 7.(2025·六安期末)已知正比例函数y=3x的图象上有两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),若. 则下列不等式中一定成立的是 ( ) 8.(2025·天津校级月考)如图是四个正比例函数的图象,则k₁,k₂,k₃,k₄的大小关系是( ) 9.(2025·汉中模拟)若点A(m,y₁)和点 B(m+2，y₂)在同一正比例函数图象上，且. 则该正比例函数的表达式为 ( ) A. y=x B. y=2x C. y=-2x 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10.(西宁中考)若点A(m,n)在直线y= kx(k≠0)上,当-1≤m≤1时,-1≤n≤1,则这条直线的函数表达式为 . 11.(2025·三明期中)如图,将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD 的顶点都在格点上，若直线y= kx(k≠0)与正方形 ABCD 有公共点,则整数k的值为 . 12. 如图,点A( ，2)在正比例函数y= mx的图象上，点 在正比例函数： 的图象上. (1)求m,n的值; (2)在x轴上找一点 P,使得 PA+PB 的值最小，请求出PA+PB的最小值. 第3关练思维宽度 13. 新考法(2024·吉林模拟)如图是某函数的图象，当a≤x≤b时，若在该函数图象上可以找到 n个不同的点(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ,yₙ),使得 恒成立，则n的值不可能是 ( ) A.2 B.5 C.6 D.7 14.(2025·上海期中)如图,点P(1,a)在直线y=3x上,直线 y= kx(0<k<1)上有一点Q(b,1). (1)求点 P 和点 Q 的坐标(其中点 Q 的坐标用含k的代数式表示). (2)过点 P 作 PA⊥x轴,过点 Q 作 QB⊥x轴，垂足分别是A，B.如果△APQ 的面积是△OPQ 面积的 ，请求出k的值. (3)在(2)的条件下,线段 PA 与直线y= kx相交于点 G，直线y=3x上是否存在点 D，使 如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提优点：1.会画一次函数的图象并了解其与正比例函数图象的关系； 2.熟练掌握一次函数图象的性质.第2 课时 一次函数的图象与性质 学科网（北京）股份有限公司 第1关练速度 1.(2023·通辽中考)在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3 的图象是 ( ) 2.无论a取何值，关于x的函数 的图象都不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(荆州中考)已知：将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是 ( ) A.经过第一、二、四象限 B.与x轴交于(1,0) C. 与y轴交于(0,1) D. y随x的增大而减小 4.(盘锦中考)点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂) 在一次函数y=(a-2)x+1的图象上,当 时,y₁<y₂,则a的取值范围是 . 5.新趋势开放性试题(2024·长春中考)已知直线y= kx+b(k,b是常数)经过点(1,1),且y随x的增大而减小，则b 的值可以是 .(写出一个即可) 6.(1)(2024·西藏中考)将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的表达式为 . (2)(2023·娄底中考改编)将直线y=2x+1向右平移2个单位长度后所得图象对应的函数表达式为 . (3)(2023·雅安中考改编)在平面直角坐标系中，将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为 . 7.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18. (1)当k= 时，它的图象经过原点； (2)当k= 时,它的图象经过点(0,6); (3)当k= 时，它的图象平行于直线y=-2x. 8.已知一次函数y=-2x-6. (1)画出函数的图象； (2)求图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)求△AOB 的面积; (4)利用图象求当x为何值时，,y>0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第2:关练准确率 9.(2025·南京校级月考)已知y₁,y₂都是关于x的一次函数，y₁的图象如图所示，若 0，下列哪一个大致是y₂的图象 ( ) 10.(2024·贵州期末)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点,过点A(1,2)的直线y= kx+b与x轴交于点B，且 则k的值为 () B. 或-23 D. 或 11.(绍兴中考)已知((x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)为直线y=-2x+3上的三个点，且 则以下判断正确的是 ( ) A.若 则 B.若 则 C.若 则 D.若. 则 12.无论a取什么实数,点 P(a+1,2a+2)都在直线l上，如果Q(m，n)是直线l上的点，那么 的值是 . 13.(桂林中考改编)如图，与图中直线y=-x+1关于 x 轴对称的直线 的 函数 表达式是 ;与直线y=-x+1关于y轴对称的直线的函数表达式是 . 14.直线y=kx-2k+3恒过一定点，则该点的坐标是 .在平面直角坐标系中有三点A(-1,0),B(2,3),C(5,0),若该直线y= kx-2k+3将△ABC分成左右面积之比为1：2的两部分，则k的值是 . 15.如图,直线y=x+1交x轴、y轴分别于 P，A两点，直线y=2x+2交y轴于 B点,过B作x轴的平行线交直线PA于A₁,过A₁作y轴的平行线交直线 PB 于 B₁,过B₁作x轴的平行线交直线 PA于A₂，…，如此反复，则A₆的坐标为 . 16.(1)一次函数y= ax-a+1(a 为常数,且a≠0),当-1≤x≤2时,函数有最大值2,求出a的值； (2)一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求这个函数的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17.(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点 C，过点 C 且与y=2x平行的直线交y轴于点 D. (1)求直线 CD的表达式； (2)直线 AB 与 CD 交于点 E,将直线 CD 沿EB 方向平移，平移到经过点 B 的位置结束，求直线 CD 在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围. 第3关练思维宽度 18.(2024·抚州期末)在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表: x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -3 -2 m 0 1 n 1 2 3 4 ··· 其中,m= ,n= . (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象. (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点 在函数图象上，则y₁ y₂，x₁ x₂;(填“>”“<”或“=”) ②在直线x=-2的右侧的函数图象上有两个不同的点 P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄)且: 则 4的值为 ;(注:直线x=-2为经过(-2，0)且垂直于x轴的直线) ③直线y=t与图象相交，交点依次从左到右为M,N,K三点,如果MN=NK,求t的值. (注：直线y=t为经过(0，t)且垂直于y轴的直线) 5.3一次函数的图象与性质 第1课时 正比例函数的图象与性质 1. B 2. A 3. h=1.4t 是 4.二、四5.(1)-1 (2)4 6.(1)∵正比例函数y= kx的图象过点A(2a,-4a)(a≠0),∴2ak=-4a,∴k=-2,∴正比例函数为y=-2x. (2)列表:描点、连线： x 0 1 y=-2x 0 -2 (3)对应函数值y的取值范围为-8≤y≤6.解析：当x=-3|时,y=6;当x=4时,y=-8,∴当自变量x满足-3≤x≤4时,对应函数值y的取值范围为-8≤y≤6. 7. C 解析:∵正比例函数y=3x中k=3>0,∴y随x的增大而增大. 故选 C. 8. B 解析:由图可知,当x=1时, 故选 B. 9. B解析：设正比例函数的表达式为y= kx(k≠0),则 y₂=k(m+2),∵y₂-y₁=4,∴k(m+2)-km=4,∴2k=4,∴k=2.∴正比例函数的表达式为y=2x.故选 B. 10. y=x或y=-x 解析:∵点A(m,n)在直线y= kx(k≠0)上,且当-1≤m≤1时,-1≤n≤1,∴点(-1,-1)或(-1,1)在该直线上,∴k=1或-1,∴这条直线的函数表达式为y=x或y=-x. 11.1或2或3 解析:由题意得点A 的坐标为(1,3),点 C 的坐标为(2，2).∵当正比例函数的图象经过点A时，k=3，当经过点C时,k=1,∴若直线y= kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围是1≤k≤3，则整数k的值为1 或2或3. 12.(1)∵点 在正比例函数y=mx的图象上，点 在正比例函数 的图象上，. n=1. (2)如图,作点/A( ,2)关于x轴对称的点 连接A'B,交x轴于点 P,此时PA+PB的值最小, PA+PB=PA'+PB=A'B.过点A'作A'H∥x轴,过点B作BH∥y轴,A'H和BH 相交于点 H, 学科网（北京）股份有限公司 数学八上·SK·44 学科网（北京）股份有限公司 ∴ A'H = 1, BH = 3. 在 Rt △A' HB 中, ∠H = 90°,则 A'B = PA+PB的最小值为 13. D 解析:设 则在该函数图象上有 n个不同的点(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ, yn)在 的图象上，画出函数图象观察交点即可求解. 如图①，正比例函数图象与该函数图象有2个交点，故A 不符合； 如图②，正比例函数图象与该函数图象有5个交点，故B不符合；如图③，正比例函数图象与该函数图象有6个交点，故C不符合.故选 D. 14.(1)∵点P(1,a)在直线y=3x上,∴a=3,即 P(1,3).∵ 直线y= kx(0<k<1)上有一点 Q(b,1),∴bk=1,解得 (2)由题意知，,A(1,0),B( ,0),∴S△APQ= ×3×( -1), Q的面积是△OPQ 面积的 可得 (3)存在.点D 的坐标为 或 解析：设D(m,3m),当D 在第一象限时,如图, OP,∴点D是OP的中点, 当D在第三象限时，如图中点 D',由题意知OD=OD' 综上所述，D的坐标为 或 归 纳 总 结 中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),点 C 为AB 中点，则点 C 的坐标可表示为 可利用垂线辅助线结合全等三角形的知识证明). 第2 课时 一次函数的图象与性质 1. D 2. C 3. C 4. a<2 5.2(答案不唯一) 6.(1)y=2x+3 (2)y=2x-3 (3)y=-x+1 归纳总结 对于一次函数y= kx+b(k≠0)的图象,将它向下平移m(m>0)个单位长度：①若k>0，则相当于将它向右平移了n(n>0)个单位长度；②若k<0，则相当于将它向左平移了n(n>0)个单位长度；③m,n,k满足等式m=n|k|. 7.(1)9(2)6 (3)5 8.(1)函数图象如图所示. (2)当y=0时,-2x-6=0,x=-3,A(-3,0);当x=0时,y=-6,B(0,-6). (4)根据图象可知,当x<-3时,y>0. 9. B解析：由题意：设 由图象知k₁<0,b₁>0, 的图象经过第一、三、四象限.∵ ∴ 一次函数y₂的倾斜程度小，故选 B. 10. D 解析:把y=0代入y= kx+b,得 kx+b=0,解得 点B坐标为 把A(1,2)代入y= kx+b,得k+b=2,则b=2-k. 即 解得 或 故选 D. 11. D 解析:∵直线y=-2x+3,∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5.∵(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)为直线y=-2x+3上的三个点,且 .若x₁x₂>0,则x₁,x₂同号,但不能确定y₁y₃的正负,故选项 A 不符合题意;若x₁x₃<0,则x₁,x₃异号,但不能确定y₁y₂的正负，故选项B不符合题意；若x₂x₃>0,则x₂,x₃同号,但不能确定y₁y₃的正负,故选项 C不符合题意;若x₂x₃<0,则x₂,x₃异号,则x₁,x₂同时为负，故y₁，y₂同时为正，故y₁y₂>0，故选项D符合题意.故选 D. 12.1 解析:∵无论a取什么实数,点 P(a+1,2a+2)都在直线l上,∴直线l的表达式为y=2x.又∵Q(m,n)是直线l上的点,∴n=2m, 13. y=x-1 y=x+1 14.(2,3) 3 解析:∵y= kx-2k+3=k(x-2)+3,∴当x=2时,y=3,∴直线y= kx-2k+3恒过点(2,3).如图,设直线y= kx-2k+3与x轴交于点D.∵直线y= kx-2k+3将△ABC分成左右面积之比为1:2的两部分,∴AD:CD=1:2.∵A(-1,0),B(2,3),C(5,0),∴AC=5+1=6,∴. ∴ D(1,0).将点(1,0)代入y= kx-2k+3,得0=k-2k+3,解得k=3,故答案为(2,3);3. 归纳总结 含参数k的一次函数的图象过定点时，可以把所有含k的项进行整合，当k的所有系数和为0时，k的取值就无法对式子造成影响.如本题中y=k(x-2)+3,当x=2时,k的系数为0,此时y=3,∴k无论取何值,都经过定点(2,3).再例如一次函数(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0可化简为(2x-1-y)k-x-3y+11=0,当x,y满足 即 时，无论k取何值，等式一定成立，即该一次函数的图象过定点(2，3). 15.(63,64) 解析:∵直线y=x+1交x轴、y轴分别于 P,A 两点,直线y=2x+2交y轴于B点,∴A(0,1),B(0,2).∵过B作x轴的平行线交直线PA于A₁,∴A₁(1,2).∵过A₁作y轴的平行线交直线 PB于B₁,∴B₁(1,4).∵过B₁ 作 x轴的平行线交直线 PA 于A₂,∴A₂(3,4),∴A₁的横坐标为1,A₂的横坐标为1+2,A₃的横坐标为1+2+4,A₄ 的横坐标为1+2+4+8,A₅的横坐标为1+2+4+8+16,A₆的横坐标为1+2+4+8+16+32=63.∵ 点A₆在直线y=x+1上,∴点A₆的纵坐标为64,∴ 点 A₆(63,64). 16.(1)分两种情况:①当a>0时,y随x的增大而增大,则当x=2时,y有最大值2.把x=2,y=2代入函数表达式得2=2a-a+1,解得a=1.②当a<0时，y随x的增大而减小，则当x=-1时，y有最大值2.把x=-1,y=2代入函数表达式得2=-a-a+1,解得 综上所述 或a=1. (2)分两种情况:①当k>0时,把:x=-3,y=-5;x=6,y=-2代入一次函数的表达式y=kx+b，得 解得 则这个函数的表达式是 ②当k<0时,把x=-3,y=-2;x=6,y=-5代入一次函数的表达式y=kx+b，得 解得 则这个函数的表达式是 综上，这个函数的表达式是 或 17.(1)把A(5,m)代入y=-x+3,得m=-5+3=-2,则A(5,-2).∵点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点 C，∴C(3,2).∵过点 C且与y=2x平行的直线交 y轴于点 D,∴ 直线CD的表达式可设为y=2x+b,把C(3,2)代入得6+b=2,解得b=-4,∴ 直线CD的表达式为y=2x-4. (2)在y=-x+3中,当x=0时,y=-x+3=3,则lB(0,3),在y=2x-4中,当y=0时,2x-4=0,解得x=2,则直线CD与x轴的交点坐标为(2，0)，易得直线CD平移到经过点B时的直线表达式为y=2x+3,当y=0时,2x+3=0,解得 则直线y=2x+3与x轴的交点坐标为 直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为 18.(1)-1 0(2)如图: (3)①< < 解析:把x=-3代入y=x+3中,得y₁=0,把 代入y=|x+1|中,得 由(2)中的图象及分段函数可知，当 时， 或 或 当 时 ②-2 解析:在直线x=-2右侧， 时，点P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄)关于直线x=-1对称， ③根据题意可得，由x+3=t，得xM=t-3,|x+1|=t,得-x-1=t或x+1=t,解得. 则MN=-t-1-(t-3)=-2t+2,NK=t-1-(-t-1)=2t,∵MN=NK,-2t+2=2t,解得 ∴t的值为 学科网（北京）股份有限公司 $