精品解析：陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题 （总分：120分 时间：100分钟 命题人：张伟 审题人：唐雨德） 一．选择题（本题共10道小题，每题3分，共30分） 1. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质即可得出结果． 【详解】解：等式两边乘以，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键． 2. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键；先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 5. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 将580000用科学记数法表示为： B. 在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是8 C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D. “五边形的内角和是”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义等知识．根据多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可． 【详解】解：A、将580000用科学记数法表示为：，故本选项不符合题意； B、这列数据从小到大排列为，，，，，中，8出现了3次，故众数是8，中位数是，故本选项不符合题意； C、，则，则乙组同学的成绩较稳定，故本选项不符合题意； D、“五边形的内角和是”是必然事件，故本选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 9. 一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设江水的流速为，根据题意可得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 答：江水的流速为． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）. A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形和正方形的判定方法成为解题的关键. 如图：延长交于G，则,由正方形的性质可得，易证四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，则 、；再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理可得、,即四边形是正方形，进而得到，最后运用勾股定理即可解答. 【详解】解：如图：延长交于G，则, ∵正方形中，点P在对角线上， ∴, ∵分别为垂足， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴ ,, ∵，， ∴,即四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴,解得, ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴, ∴. 故选A. 二．填空题（本题共6道小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 13. 函数中，自变量x的取值范围是______________． 【答案】x≥-3且x≠0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0， 解得x≥-3且x≠0． 故答案为：x≥-3且x≠0． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 14. 如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则___________． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 15. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 16. 如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 根据角边角证明得出，连接，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为： ． 三．解答题（本题共9道，共72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，掌握不同解法的适用情况是解题的关键． （1）利用直接开平方法，先将方程变形为完全平方形式等于常数的形式，再开平方求解． （2）利用因式分解法，将方程右边的项移到左边，提取公因式进行因式分解求解． （3）利用因式分解法（十字相乘法），将二次三项式分解为两个一次式的乘积求解． （4）可选择因式分解法或公式法，这里用因式分解法（十字相乘法）求解． 【小问1详解】 ， ， ， 当时，， 当时，． 【小问2详解】 ， ， ， 则或， 解得，． 【小问3详解】 ， ， 则或， 解得，． 【小问4详解】 ， ， 则或， 解得，． 18. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 19. 如图，在中，． 尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点，使得．（不写作法，保留痕迹） 【答案】作图如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂线，根据角平分线，垂线的作法即可求解，掌握角平分线，垂线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：作的平分线， 作的垂直平分线，交于点， ∴点即为所求． 20. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】略 21. 若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）-1． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到． （1）把，代入，即可求出的值； （2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解． 【详解】解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n， ∴． （1）当时， ， 解得， 经检验，是方程的根， ∴； （2）当时， ． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键． 22. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ∴ ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ∵， ， ， ， ， ． 24. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】（1）A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 （2）购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 （3）销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【解析】 【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润； (3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可． 【小问1详解】 解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． 【小问2详解】 解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． 【小问3详解】 解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 25. （1）如图1，在中，，则的面积是___________． （2）如图2，在中，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积．（结果保留根号） （3）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图3所示，现规划在河畔的一处滩地上建设一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足．已知五边形中，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3）存在，四边形面积的最小值为470000平方米，此时，点到点的距离为350米 【解析】 【分析】本题考查了解含有角的直角三角形，锐角三角函数，矩形和三角形面积公式，二次函数的性质，作出辅助线求出和是解决本题的关键． （1）作构造直角三角形，利用即可求解的长，再由三角形面积公式求解即可； （2）过点A作交的延长线于点H，先求出，同理可求，最后用面积的差即可求解； （3）分别延长与交于点K，则四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，米，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）作于点D，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：3； （2）过点A作交的延长线于点H，过点E作于点G，如图， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）存在，分别延长与交于点K，如图， , 则四边形是矩形， ∴米，米， 设米， 则米，米，米，米， ∴米， ∴米， ∴， ， ∴当时，最小为470000（平方米）， ∴，， ∴符合设计要求的四边形面积的最小值为470000平方米，此时，点到点的距离为350米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题 （总分：120分 时间：100分钟 命题人：张伟 审题人：唐雨德） 一．选择题（本题共10道小题，每题3分，共30分） 1. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 2. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 6. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 将580000用科学记数法表示为： B. 在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是8 C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D. “五边形的内角和是”是必然事件 8. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）. A. B. C. D. 5 二．填空题（本题共6道小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 若，则的值为________． 13. 函数中，自变量x的取值范围是______________． 14. 如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则___________． 15. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 16. 如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为____________． 三．解答题（本题共9道，共72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 19. 如图，在中，． 尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点，使得．（不写作法，保留痕迹） 20. 如图，．求证：． 21. 若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 22. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 24. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 25. （1）如图1，在中，，则的面积是___________． （2）如图2，在中，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积．（结果保留根号） （3）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图3所示，现规划在河畔的一处滩地上建设一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足．已知五边形中，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $