第十四章 实数（单元测试·基础卷）数学冀教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在实数（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如相邻两个1之间0的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：（相邻两个7之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）与相等的数是（   ） A． B．9的平方根 C．的立方根 D．的算术平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，要注意一个正数的平方根有两个，其中正的为算术平方根；熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题的关键．本题先根据算术平方根、平方根和立方根的定义进行求解，再逐一比对即可． 【详解】解计算原式：． A：，包含和，与原式仅为不符，故本选项不符合题意； B：9的平方根为，与原式仅为不符，故本选项不符合题意； C：，的立方根为，与原式相等，故本选项符合题意； D：负数无算术平方根，此选项无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的应用．根据点在和之间，再对各选项进行估算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知点在和之间， ∵，是有理数， ∴数轴上点P表示的无理数可能是． 故选：B． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算及估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用实数的运算法则计算得出，估算出x范围即可求得结果． 【详解】解：， 又，即， 则的整数部分是3， 故选：B． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 7．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，平方根，有理数的加法，正确计算是解题的关键．两数相加得零则两数互为相反数，而两个加数皆为非负数，则两个加数都为零，据此解答即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 故选：A． 8．（2025·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 【详解】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 9．（25-26八年级上·河北·阶段练习）对于正数x，规定，例如，，计算的结果是（　　） A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5 【答案】B 【分析】根据定义，多写出几个等式，确定发现的规律，按照规律解答即可． 本题考查了规律探索问题，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意得,， 则原式． 故选：B． 10．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将边长为的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点将落在下列哪条线段上（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，正方形的边长为，则另一端点将落在边上，再根据四等分点的定义即可求解．本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到． 【详解】解：，正方形的边长为， 另一端点将落在边上， 又边长为的正方形各边四等分， ∴， 另一端点将落在线段上． 故选：． 11．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 12．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得，进而根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先求出两个数的平方，比较大小，即可求解． 【详解】解：， ∵ ， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解； 【详解】解∶ ， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，， 故答案为∶． 16．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算 (1) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别求算术平方根，立方根，再进行加减计算； （2）先去绝对值，再进行实数的加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方，最后解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴。 19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据立方根及算术平方根的定义得出，，解方程即可； （2）直接代入，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， 的平方根为． 20．（8分）（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）有一块正方形工料，面积为16平方米． (1)求正方形工料的边长； (2)李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)4米 (2)不能；理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键． （1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可； （2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论． 【详解】（1）解：正方形的面积是16平方米， 正方形工料的边长是米； （2）解：不能；理由如下： 设长方形的长宽分别为米、米， 则， ， ，负值舍去， ，， 长方形长是米， ∵正方形的边长小于长方形的长， ∴李师傅不能办到． 21．（9分）（24-25七年级下·河北廊坊·期末）王老师在“给数学学习插上想象的翅膀”数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根． 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根，的平方根是_____．（填空） (2)某正数的两个平方根分别是和的立方根是－2． ①求的值； ②直接写出的算术平方根． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握求解一个数的平方根、立方根的计算方法． （1）利用平方根的定义可以求得； （2）①根据一个正数的两个平方根互为相反数建立等式即可求解a，根据立方根的定义即可求解b； ②根据a、b的值，求出代数式的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：的平方根是． （2）解：①因为某正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得． 因为的立方根是，所以． ②∵，， ∴的算术平方根是4． 22．（9分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是______，的平方根是______，______；（保留一位小数） (2)若介于与之间，则满足条件的整数有______个； (3)若这个数的整数部分为，求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根，正确利用平方根和算术平方根的意义计算是解题的关键． （）利用算术平方根和平方根的意义解答即可； （）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （）由表格中的数据，可估算出 ，进而确定的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴的算术平方根是，的平方根是；， 故答案为：，，； （2）解：由表格可知，， 又∵介于与之间， ∴的可能值为，，，， ∴满足条件的整数有个， 故答案为：； （3）解：∵, ∴， ∴的整数部分为， ∴ ． 23．（11分）（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 【问题发现】 （1）如图，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____． 【拓展延伸】 （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长与宽的比为．她正在发愁能否用这块纸片裁出符合要求的纸片，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）不同意小明的说法，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键． （1）根据大正方形的面积为，由算术平方根即可求得正方形的边长即可； （2）设所裁长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积得出，求出，得出长方形纸片的长为，再进行比较即可判定． 【详解】解：（1）∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． （2）不同意小明的说法． 理由：设所裁长方形纸片的长为，则宽为， 依题意，得， 即， ， ∴长方形纸片的长为， ， 长方形纸片的长比正方形纸片的边长要大，即不能裁出满足条件的长方形． 24．（12分）（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，． ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在实数（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）与相等的数是（   ） A． B．9的平方根 C．的立方根 D．的算术平方根 3．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 7．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 9．（25-26八年级上·河北·阶段练习）对于正数x，规定，例如，，计算的结果是（　　） A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5 10．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将边长为的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点将落在下列哪条线段上（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 14．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 15．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 16．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算 (1) (2)化简 18．（8分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解方程 (1) (2) 19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 20．（8分）（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）有一块正方形工料，面积为16平方米． (1)求正方形工料的边长； (2)李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 21．（9分）（24-25七年级下·河北廊坊·期末）王老师在“给数学学习插上想象的翅膀”数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根． 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根，的平方根是_____．（填空） (2)某正数的两个平方根分别是和的立方根是－2． ①求的值； ②直接写出的算术平方根． 22．（9分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是______，的平方根是______，______；（保留一位小数） (2)若介于与之间，则满足条件的整数有______个； (3)若这个数的整数部分为，求的值． 23．（11分）（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 【问题发现】 （1）如图，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____． 【拓展延伸】 （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长与宽的比为．她正在发愁能否用这块纸片裁出符合要求的纸片，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？请通过计算说明理由． 24．（12分）（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在实数（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）与相等的数是（   ） A． B．9的平方根 C．的立方根 D．的算术平方根 3．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 7．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 9．（25-26八年级上·河北·阶段练习）对于正数x，规定，例如，，计算的结果是（　　） A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5 10．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将边长为的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点将落在下列哪条线段上（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 14．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 15．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 16．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算 (1) (2)化简 18．（8分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解方程 (1) (2) 19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 20．（8分）（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）有一块正方形工料，面积为16平方米． (1)求正方形工料的边长； (2)李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 21．（9分）（24-25七年级下·河北廊坊·期末）王老师在“给数学学习插上想象的翅膀”数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根． 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根，的平方根是_____．（填空） (2)某正数的两个平方根分别是和的立方根是－2． ①求的值； ②直接写出的算术平方根． 22．（9分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是______，的平方根是______，______；（保留一位小数） (2)若介于与之间，则满足条件的整数有______个； (3)若这个数的整数部分为，求的值． 23．（11分）（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 【问题发现】 （1）如图，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____． 【拓展延伸】 （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长与宽的比为．她正在发愁能否用这块纸片裁出符合要求的纸片，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？请通过计算说明理由． 24．（12分）（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B B B B A D B D C C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别求算术平方根，立方根，再进行加减计算； （2）先去绝对值，再进行实数的加减计算． 【详解】（1）解： ；·······································3分 （2）解： ．·······································7分 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方，最后解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴；·······································4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴。·······································8分 19．（8分） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据立方根及算术平方根的定义得出，，解方程即可； （2）直接代入，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得，；·······································4分 （2）解：∵，， ∴，·······································7分 的平方根为．·······································8分 20．（8分） 【答案】(1)4米 (2)不能；理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键． （1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可； （2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论． 【详解】（1）解：正方形的面积是16平方米， 正方形工料的边长是米；·······································3分 （2）解：不能；理由如下： 设长方形的长宽分别为米、米， 则， ， ，负值舍去，·······································5分 ，， 长方形长是米， ∵正方形的边长小于长方形的长， ∴李师傅不能办到．·······································8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握求解一个数的平方根、立方根的计算方法． （1）利用平方根的定义可以求得； （2）①根据一个正数的两个平方根互为相反数建立等式即可求解a，根据立方根的定义即可求解b； ②根据a、b的值，求出代数式的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：的平方根是．·······································2分 （2）解：①因为某正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得．·······································4分 因为的立方根是，所以．·······································6分 ②∵，， ∴的算术平方根是4．·······································9分 22．（9分） 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根，正确利用平方根和算术平方根的意义计算是解题的关键． （）利用算术平方根和平方根的意义解答即可； （）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （）由表格中的数据，可估算出 ，进而确定的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴的算术平方根是，的平方根是；， 故答案为：，，；·······································3分 （2）解：由表格可知，， 又∵介于与之间， ∴的可能值为，，，， ∴满足条件的整数有个， 故答案为：；·······································5分 （3）解：∵, ∴， ∴的整数部分为，·······································7分 ∴ ．·······································9分 23．（11分） 【答案】（1）；（2）不同意小明的说法，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键． （1）根据大正方形的面积为，由算术平方根即可求得正方形的边长即可； （2）设所裁长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积得出，求出，得出长方形纸片的长为，再进行比较即可判定． 【详解】解：（1）∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长为．·······································4分 （2）不同意小明的说法． 理由：设所裁长方形纸片的长为，则宽为， 依题意，得， 即， ，·······································8分 ∴长方形纸片的长为， ， 长方形纸片的长比正方形纸片的边长要大，即不能裁出满足条件的长方形．·······································11分 24．（12分） 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；·······································3分 （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，．·······································6分 ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即；·······································8分 当时，，即；·······································10分 当时，，即．·······································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $