第十四章 实数（单元测试·提升卷）数学冀教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．9的立方根是3 B．无限小数都是无理数 C．是分数 D．实数与数轴上的点一一对应 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（   ） 填空题（每小题2分）姓名：嘉淇 1．的相反数为． 2．的绝对值为． 3．的绝对值为5． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03． 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 A．2 B．4 C．6 D．8 7．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．53 B．54 C．55 D．56 9．（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北·期末）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期末）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 14．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 15．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为 ． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为 ． 16．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）设，，且，则 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）计算： (1)； (2) 18．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值． 20．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：______． (2)先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是的算术平方根． 21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 22．（9分）（24-25八年级上·河北张家口·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 23．（11分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 24．（12分）（24-25八年级上·河北保定·期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．9的立方根是3 B．无限小数都是无理数 C．是分数 D．实数与数轴上的点一一对应 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（   ） 填空题（每小题2分）姓名：嘉淇 1．的相反数为． 2．的绝对值为． 3．的绝对值为5． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03． 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 A．2 B．4 C．6 D．8 7．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．53 B．54 C．55 D．56 9．（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北·期末）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期末）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 14．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 15．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为 ． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为 ． 16．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）设，，且，则 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）计算： (1)； (2) 18．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值． 20．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：______． (2)先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是的算术平方根． 21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 22．（9分）（24-25八年级上·河北张家口·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 23．（11分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 24．（12分）（24-25八年级上·河北保定·期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数），并能区分有理数与无理数． 明确有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的区别；逐个分析选项：A是分数，B是有限小数，D化简后是整数，均为有理数；C是无限不循环小数，为无理数． 【详解】解：根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下： 选项A：是分数，属于有理数； 选项B：是有限小数，属于有理数； 选项C：是无限不循环小数，属于无理数； 选项D：，是整数，属于有理数． 故选：C． 2．（2024·河北·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及实数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及实数的运算是解题的关键．由数轴可得，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴正确的是A选项； 故选：A． 3．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．9的立方根是3 B．无限小数都是无理数 C．是分数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【详解】本题考查了立方根的定义，实数与无理数的定义，实数与数轴，理解相关知识是解答关键． 根据立方根的定义，实数与数轴及无理数的定义，实数与数轴分别判定即可求解． 解：A．9的立方根为，故此项不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故此项不符合题意； C．是无理数，不是分数，故此项不符合题意； D．实数与数轴上的点一一对应，故此项符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 利用夹逼法估算的大小，即可作答． 【详解】解：， ， 在和之间， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根，算术平方根，绝对值，正确求出是解题的关键． 先根据平方根，算术平方根的概念，绝对值，求出，，，再代入进行计算． 【详解】解：∵实数a的平方根是它本身， ∴， ∵正实数b的算术平方根是它本身， ∴， ∵负实数c的绝对值是3， ∴， ∴ ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（   ） 填空题（每小题2分）姓名：嘉淇 1．的相反数为． 2．的绝对值为． 3．的绝对值为5． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03． 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，绝对值，平方根，立方根，近似数与精确度，解题的关键是掌握这几个定义． 1、根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可； 2、根据负数的绝对值等于它的相反数判断即可； 3、根据立方根的定义判断即可； 4、根据精确度判断即可； 5、根据平方根、立方根的定义判断即可． 【详解】解：1、的相反数为，正确； 2、的绝对值为，正确； 3、，则绝对值为5，正确； 4、将0.03047精确到0.001的结果是0.030，错误； 5、若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，正确； 所以正确的有4个， 因为每小题2分，所以嘉淇的得分为8分， 故选：D． 7．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 根据已知的平方数，确定的范围，进而求出整数． 【详解】已知，， 因为，所以，即。 因此，满足的整数为54， 故选：B． 9．（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，求得a和b的值是解题的关键．根据的定义确定a和b的范围，结合连续整数的条件求解． 【详解】解：， ． ， 为小于或等于3的整数． ， ． ， 为大于或等于4的整数． 和为连续整数，且，， 唯一满足条件的连续整数为，． ， 故选：A． 10．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算，根据题意，得到表示的数为2，进而得到，得到表示的数为，进而得到表示的数为，得到，进行求出表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴表示的数为2， ∴， ∴表示的数为：， ∵， ∴表示的数为：， ∴， ∴表示的数为：； 故选：D． 11．（24-25八年级上·河北·期末）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期末）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，小正方形边长为b，求出大正方形的边长为，根据矩形的面积为12列方程求解即可． 【详解】解：因为大正方形面积为8， 所以，大正方形的边长为， 设小正方形边长为b，根据题意得： 解得 小正方形的面积为2 阴影部分面积为， 故答案为：2． 14．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值． 【详解】根据例题操作可知： 要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为， 根据定义可知，两边同时平方可得， 所以p最大取． 对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时， 根据定义，两边同时平方得到， 所以最大取16． 对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得， 所以最大为256． 验证： 对256进行如下操作： ∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256； 故答案为：256． 15．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为 ． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为 ． 【答案】 4 或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数据上两点距离计算公式分别求出拉动前后、的长即可得到答案； （2）分伸长和缩短两种情况，仿照（1）讨论求解即可． 【详解】解：（1）没有拉动时，， 拉动后， ∵橡皮筋均匀伸缩， ∴拉动后， ∴拉动后点C表示的数为， 故答案为：4； （2）当伸长后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，则伸长后点C表示的数为， ∴伸长后， ∴伸长后， ∴伸长后点B表示的数为； 同理当缩短后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，点B表示的数为； 综上所述，点B表示的数为或． 故答案为：或． 16．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）设，，且，则 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算： （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用立方根的定义，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） 18．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了平方根，以及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程； （2）方程两边同时除以，然后根据直接开平方法可以解答此方程． 【详解】（1）解： ∴ 解得：； （2）解： ∴ ∴， 解得：或 19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 由对话可得，， 原式 20．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：______． (2)先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是的算术平方根． 【答案】(1) (2)，1 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，数轴，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键． （1）由数轴得：，再根据算术平方根的性质即可求解； （2）由图可知：，，进而可得，，再根据算术平方根的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解． 【详解】（1）由数轴得：， ， 故答案为：； （2）由图可知，， ，， ． a是的一个平方根，b是的算术平方根， ，， 原式． 21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 【答案】(1)20 (2)不能，理由见解析 (3)20；15（答案不唯一） 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案； （3）根据裁剪要求求解即可． 此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． 【详解】（1）解：正方形卡纸的边长是， 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为． ， ， ， ， 又：， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． （3）解：由（1）得出正方形的边长是 ∵裁出一张面积为的长方形，且， ∴长方形的长是，宽是符合要求， 故答案为：20，15（答案不唯一）． 22．（9分）（24-25八年级上·河北张家口·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）仿照题意求解即可； （）设点 表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可； （）仿照题意求解即可； 本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知， ∴，，故，说法错误； ∴， ∵， ∴， ∴，故说法错误； 由，， 则， ∵， ∴，故说法正确； 故选：； （3）解：∵，即， ∴，即， ∴，， ∴． 23．（11分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 24．（12分）（24-25八年级上·河北保定·期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 实数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D C A D B B A D C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．2 14．256 15． 4 或 16． 1 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算： （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用立方根的定义，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】（1） ；·······································3分 （2） ·······································7分 18．（8分） 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了平方根，以及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程； （2）方程两边同时除以，然后根据直接开平方法可以解答此方程． 【详解】（1）解： ∴ 解得：；·······································4分 （2）解： ∴ ∴，·······································6分 解得：或·······································8分 19．（8分） 【答案】，， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ，·······································4分 由对话可得，， 原式·······································8分 20．（8分） 【答案】(1) (2)，1 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，数轴，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键． （1）由数轴得：，再根据算术平方根的性质即可求解； （2）由图可知：，，进而可得，，再根据算术平方根的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解． 【详解】（1）由数轴得：， ， 故答案为：；·······································3分 （2）由图可知，， ，， ． a是的一个平方根，b是的算术平方根， ，，·······································6分 原式．·······································8分 21．（9分） 【答案】(1)20 (2)不能，理由见解析 (3)20；15（答案不唯一） 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案； （3）根据裁剪要求求解即可． 此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． 【详解】（1）解：正方形卡纸的边长是， 故答案为：20；·······································2分 （2）解：不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为． ， ， ， ， 又：， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．·······································6分 （3）解：由（1）得出正方形的边长是 ∵裁出一张面积为的长方形，且， ∴长方形的长是，宽是符合要求， 故答案为：20，15（答案不唯一）．·······································9分 22．（9分） 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）仿照题意求解即可； （）设点 表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可； （）仿照题意求解即可； 本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，；·······································2分 （2）解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知， ∴，，故，说法错误； ∴， ∵， ∴， ∴，故说法错误； 由，， 则， ∵， ∴，故说法正确； 故选：；·······································5分 （3）解：∵，即， ∴，即， ∴，， ∴．·······································9分 23．（11分） 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6；·······································4分 （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3；·······································7分 （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1；·······································9分 （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15．·······································11分 24．（12分） 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两；·······································2分 ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9；·······································4分 ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39；·······································6分 （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴；·······································8分 ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴，·······································10分 故答案为：，0.81．·······································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $