专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 考点03 空间向量的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且．已知，，，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知空间三点，则下列命题正确的是（   ） A．若为的中点，则点的坐标为 B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为 C．向量与向量夹角为 D．以为邻边的平行四边形面积为 6．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)如图，在平行六面体中中，，，，点在上，且，则（    ）    A． B． C． D． 7．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知，向量，且，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（   ）    A． B． C． D．2 9．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 10．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．已知，，若，则 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底 12．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则直线和所成角为 C．若，则点的轨迹长度为 D．若，则点到直线的距离的最小值为 13．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D．在上的投影向量的模长为 三、填空题 14．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)设直线和的方向向量分别为，且，则 ． 15．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)空间中，，，，，且平面，则 ． 16．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 . 四、解答题 17．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 18．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点． (1)设，试用向量、、表示和； (2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值． 19．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 地 城 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 一、多选题 1．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．(24-25高二上·安徽铜陵第一中学·期中)如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，平面平面 C．点到平面的距离为 D．存在，使得 3．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)如图，正方体的棱长为2，为上底面内部一点（包括边界），，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（   ）    A．当直线和直线所成的角是30°时，点的轨迹长度是 B．若平面，则的最小值为 C．若，则直线和底面所成的最大角是45° D．平面被正方体所截的截面形状是六边形 二、填空题 4．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有 对. 三、解答题 5．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，. (1)求证：异面直线和垂直； (2)求点到平面的距离 6．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 7．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面，是线段的中点，在线段上，且满足与所成的角为.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 8．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知正三棱锥中，点在线段上，且． (1)求边长； (2)求正三棱锥内切球的半径． 9．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 10．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图，在正三棱柱中，点为线段的中点，点为线段上的一个动点（不包括端点），．    (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成角为， （i）求的值； （ii）求二面角的余弦值． 11．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)如图，多面体中，四边形为等腰梯形，四边形为矩形，为上一点，且，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为直二面角，当三棱锥的体积最大时，求： ①多面体的体积； ②平面与平面所成锐二面角的余弦值． 12．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 13．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)如图，已知直三棱柱中，分别为棱的中点．    (1)求三棱锥的体积． (2)设直线与平面的交点为，求直线与平面夹角的正弦值． 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 15．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 16．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，，Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B、Q两点的截面，且平面 (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存在点Q，使得平面平面？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由． 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知直线过点和，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C． D． 3．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（   ）    A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都存在过且与平面平行的平面 6．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)下列命题中，正确的是（   ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内 D．若直线经过第三象限，则， 7．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)如图，在四棱锥，平面，底面是平行四边形，与交于点，则（    ） A． B． C．点到的距离为 D． 8．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 10．(23-24高二上·安徽高二名校阶段检测联考·月考)在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（    ） A． B． C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D．点O到直线BC的距离是 三、填空题 11．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为 ． 12．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 13．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为 . 四、解答题 15．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥的底面为矩形，底面.其中，点分别在棱上，且，点为棱的中点. (1)证明：； (2)已知，求平面与平面夹角的余弦值. 16．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，面，且，为的中点，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面的距离. 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 考点03 空间向量的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且．已知，，，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用空间向量表示，再两边平方后，利用数量积公式即可求得取值范围. 【详解】记，，则，.   由已知有，两边平方得 ，故. 从而，且 ，所以. 而对任意，取，. 则有，即. 所以的取值范围是. 故选：A. 2．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为基底，表示向量，由可求的值. 【详解】因为 ． 由四点共面，所以． 故选：C． 3．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 4．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【详解】若向量构成空间另一个基底，则向量不共面， 对于A，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故A不符题意； 对于B，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，无解， 所以向量不共面，故B符合题意； 对于C，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意； 对于D，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意. 故选：B. 5．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知空间三点，则下列命题正确的是（   ） A．若为的中点，则点的坐标为 B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为 C．向量与向量夹角为 D．以为邻边的平行四边形面积为 【答案】D 【分析】对于A，根据中点坐标公式求解判断即可；对于B，由四边形为平行四边形，可得，设，进而结合空间向量的坐标表示列出方程组求解判断即可；对于C，直接根据空间向量夹角余弦的坐标表示求解判断即可；对于D，结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，因为为的中点，所以， 即，故A错误； 对于B，因为四边形为平行四边形，所以， 由，设，则， 所以，解得，即，故B错误； 对于C，由，， 则，，， 所以， 所以向量与向量夹角为，故C错误； 对于D，由C知，，，， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ，故D正确. 故选：D. 6．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)如图，在平行六面体中中，，，，点在上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出. 【详解】在平行六面体中中，点在上，且， ， 所以. 故选：A 7．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知，向量，且，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】由空间向量平行的坐标表示计算可得结果. 【详解】因为向量，且，所以， 所以. 故选：A 8．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意，根据新定义及空间向量的运算即可求解． 【详解】设分别为与同方向的单位向量， 则．得，， 由题可得， 即， 即，解得． 故选：B 9．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果. 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 10．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 二、多选题 11．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．已知，，若，则 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】根据共线向量定义、向量垂直的坐标表示、空间向量共面定理、空间基底的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当同向时，；当反向时，；A错误； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，，，四点共面，C正确； 对于D，假设存在实数，使得， ，，方程组无解， ，，不共面，可以构成空间的一组基底，D正确. 故选：BCD. 12．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则直线和所成角为 C．若，则点的轨迹长度为 D．若，则点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， ，设，其中，， 对于A选项，由， 得，即， 所以，，故A正确； 对于B选项，由A选项知，所以，又， 设直线和所成角为（）， 则，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，， 即，又点在平面内（包含边界）， 所以点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的半圆弧， 所以其长度为，故C正确； 对于D选项，由C选项知，，设， 则， 所以， 所以点到的距离，令，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故点到直线的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 13．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D．在上的投影向量的模长为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用面面垂直的向量结论可解；对于B，根据线面平行的向量表示可解；对于C，判定是否不共面可解；对于D,运用投影向量的模长公式计算. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以或，故B错误； 对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线， 所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确； 对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 14．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)设直线和的方向向量分别为，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据直线垂直，直线的方向向量数量积为零的关系可得出关于t的表达式，根据表达式求出t的值即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 即， 解得. 故答案为：. 15．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)空间中，，，，，且平面，则 ． 【答案】 【分析】先求出平面的一个法向量，再根据线面平行得出线线垂直,计算数量积即可求参. 【详解】因为，，，，，， 所以； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 可得法向量， 由平面可得，即可得，经检验均满足题意. 故答案为：. 16．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题 17．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点． (1)设，试用向量、、表示和； (2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可. （2）根据平面向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）， ， （2） ， 又△和△均为等边三角形，∴． 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 19．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1）与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． （2），且， ， 即，解得． 地 城 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 一、多选题 1．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】根据已知条件线面位置关系即可判断即可. 【详解】A选项，由于，，所以，故A正确； B选项，若，，则，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项，若，，则或，故D错误. 故选：AB. 2．(24-25高二上·安徽铜陵第一中学·期中)如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，平面平面 C．点到平面的距离为 D．存在，使得 【答案】AD 【分析】取的中点，连接，，可证明，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，写出各点的坐标，依次用空间向量进行解答即可. 【详解】取的中点，连接，， 为等腰直角三角形，且，， 又面面，面面，面， 面， 又，底面是菱形，是等边三角形，， 则以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，， ，， 且， 故选项A正确； 当时，， 设平面的一法向量为，平面的法向量为， 则，， 可取平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，所以选项B错误； 设面的法向量， 则， 取，即平面的法向量为， 又， 则点到平面的距离为，故选项C错误； 又， 所以时，，故选项D正确． 故选：AD 3．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)如图，正方体的棱长为2，为上底面内部一点（包括边界），，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（   ）    A．当直线和直线所成的角是30°时，点的轨迹长度是 B．若平面，则的最小值为 C．若，则直线和底面所成的最大角是45° D．平面被正方体所截的截面形状是六边形 【答案】AB 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即平面，则，进而得到，得到点的轨迹可判断A；由面面平行得到线面平行，即平面平面，则平面，得到点的轨迹可判断B；根据向量关系式确定点的位置，设点在底面的投影为，求出直线和底面所成角的正弦值可判断C；根据平面的性质作出平面被正方体所截的截面可判断D. 【详解】对于A，由正方体得平面， 平面， ， 在中，，，则， 所以点的轨迹是上底面内以为圆心，以为半径的弧， 所以点的轨迹长度是，故A正确； 对于B，如图1，    分别取棱和的中点，，连接，，，， 易证平面平面， 若平面，则点在线段上运动， 故的最小值即到的距离，即，故B正确； 对于C，由得点在线段上， 设点在底面的投影为，易得点在线段上， 则为直线和底面所成的角， 则， 当最大时最小，因为，所以， 则直线和底面所成的最小角是45°，故C错误； 对于D，如图2，    延长，分别交，的延长线于点，， 连接，，分别交，于点，， 则平面被正方体所截的截面是五边形，故D错误. 故选：AB. 二、填空题 4．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有 对. 【答案】3 【分析】结合线面垂直的判定定理，根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】平面平面平面， 平面平面，平面平面，又平面， . 又平面,平面. 又平面平面平面. 故互相垂直的平面有3对. 故答案为：3 三、解答题 5．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，. (1)求证：异面直线和垂直； (2)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，由方向向量的垂直即可求解； （2）建系，通过点到面距离的向量法即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，，，分别为x，y，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. 易得，， 所以， 所以异面直线和垂直. （2）易得，. 设平面的法向量为，则， 即，令，则. 因为，所以点到平面的距离为. 6．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E，利用空间向量可得，进而可得线面、面面垂直； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E. 因为，，所以，，， 因为，， 所以 ， 即， 所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 平面与平面夹角的余弦值. 7．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面，是线段的中点，在线段上，且满足与所成的角为.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可证，，进而证明平面，可证结论； （2）以点为原点，以所在的直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，且底面， 所以， 又因为为正方形，可得， 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，即为，且是线段的中点， 所以， 又因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）根据题意可知，以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    设正方形的边长为2，可得， 可得， 则， 因为在线段上，设，其中， 则， 因为与所成的角为， 可得， 解得，所以，所以， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 可得 故平面与平面夹角的余弦值为. 8．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知正三棱锥中，点在线段上，且． (1)求边长； (2)求正三棱锥内切球的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：根据几何关系，确定平面，进一步确定几何关系，从而确定； 方法二：转化向量，再利用，利用数量积表示，即可确定三棱锥侧面的顶角，即可求解； （2）利用等体积公式转化，即可求解三棱锥内切球的半径. 【详解】（1）（方法1：几何法）取中点为，连接，如图所示，    ∵三棱锥为正三棱锥，∴， 又，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又平面， ∴平面，平面， ∴， ∴正三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴， ∴在△中，由，得， ∴． （方法2：向量法）∵三棱锥为正三棱锥，∴， 设， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∴． （2）由（1）得， 设点为△的重心，则，    ∴， 设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心， ∵ ∴， ∴， 解得． 9．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）构造平行四边形，转化为证明线线平行； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法二面角的余弦值； （3）首先设，，根据线面角的坐标系，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ，且，，分别是、的中点， ，且， ，且，故四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面；    （2），平面，，平面， ，， 设，， 又因为，，所以， 所以、、两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设点，则，， ，可得， 解得，，，      设平面的法向量为， 由，得， 取，得， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为； （3）设，， ， ， ， 设与平面所成角为， 则，， ， 整理得：，解得或（舍）， 存在满足条件的点，，且长为. 10．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图，在正三棱柱中，点为线段的中点，点为线段上的一个动点（不包括端点），．    (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成角为， （i）求的值； （ii）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）; （ii） 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得线线垂直，结合长度关系可证得勾股定理，进而可得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，即可求解法向量，利用向量的夹角求解线面角以及二面角. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵平面，平面，∴，同理， 又，结合题设，可得， 易知， ∴，则． ∵平面， ∴平面， 又平面，∴， ∵平面， ∴平面．    （2）（i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， 设， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设直线与平面所成的角为，    则 ， 化简得，解得或． 当时，点与点重合，不符合题意． ∴，∴． （ii）由（i）得面平面的一个法向量为， ． 设平面的法向量为， 则，取，则 ∴． 由图可知二面角为钝角，故余弦值为． 11．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)如图，多面体中，四边形为等腰梯形，四边形为矩形，为上一点，且，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为直二面角，当三棱锥的体积最大时，求： ①多面体的体积； ②平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）①根据组合体的体积将多面体分为三棱锥和三棱柱求解； ②建立空间直角坐标系，用法向量求解二面角的余弦值. 【详解】（1）    取中点为，连接， 因为，． 所以，， 又因为四边形为等腰梯形， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以三角形为等腰三角形， 又因为，，为中点， 所以， 又因为四边形为等腰梯形， 所以， 所以 又因为四边形为矩形， 所以， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以平面平面 （2）① 过点作与交于点，连接， 由（1）知，面，面， 所以， 又因为，所以， 又因为四边形为矩形，所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为直二面角， 所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以三棱锥的体积最大时，， 所以多面体的体积. ②取中点为，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，则， 则， 设面的法向量为， 则，令，则， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线的性质及线面平行的判定证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）如图，在中，E，F分别是和边的中点，， 平面平面平面DEF； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面DEF的法向量为，则，即， 令，则. 点到平面DEF的距离为. 13．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)如图，已知直三棱柱中，分别为棱的中点．    (1)求三棱锥的体积． (2)设直线与平面的交点为，求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）三棱锥即为三棱锥，注意到平面，即为三棱锥的高，根据三棱锥体积公式即可得到答案； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和向量，即可得到线面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，且，平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， 所以:； （2）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则有：， 所以：， 设平面的法向量为，则 即：，解之得：，所以， 因为直线，不妨设，即， 即，，又因为，所以， 所以，所以，设直线与平面夹角为， 所以. 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，，可得平面，再由线面垂直的性质定理，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离，即可得解． 【详解】（1）连接，由题意知，为等边三角形， 因为为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又分别为中点，所以，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以 （2）连接， 因为，，所以为正三角形，所以， 又平面平面ABC垂直，平面平面，平面， 所以平面， 所以两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,,,， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以点到平面的距离为 15．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）构建空间直角坐标系，然后根据空间向量求解直线与法向量的夹角的余弦值即可； 【详解】（1）∵、分别为，的中点，∴， ∵为正方形， ∴，则 ， ∵平面，平面， ∴平面. （2）由题知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，， ∴，，， 设平面ADNM的一个法向量为， 则 令，则，， ∴. 设直线与平面所成的角为， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，，Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B、Q两点的截面，且平面 (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存在点Q，使得平面平面？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点Q且当时，使得平面平面 【分析】（1）利用线面平行的性质定理证明即可； （2）以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后得到平面的法向量平面的一个法向量为，然后利用公式计算； （3）假设存在点Q，使得平面平面设，其中然后利用得到 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，故 （2）假设，则在中，，， 根据余弦定理得， 解得， 故 又，，平面，平面，故平面 取中点H，连接 ，可知， 又因是等边三角形，则， 因为，、平面 故平面 如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，，， 设是平面的法向量， 则， 令,则，所以 因为平面，所以取平面的一个法向量为， ， 所以此时平面与平面夹角的余弦值为， （3）假设存在点Q，使得平面平面 设，其中 则， 连接，由（1）知，则取与同向的单位向量 设是平面的法向量， 则， 取 由平面平面，知， 有，解得 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求. 【详解】设平面的法向量，则， 令，得， 所以此四棱锥的高. 故选：B. 2．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知直线过点和，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量求空间中点到直线的距离． 【详解】由题意知，直线的一个方向向量为， 取直线的一个单位方向向量为， 易知点不在直线上，， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 3．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，求得平面的一个法向量和直线l的一个方向向量，即可得解． 【详解】因为平面的方程为 ， 所以平面的法向量可取 . 同理，平面的法向量可取 ， 平面 的法向量可取 ， 设平面 与 的交线的方向向量为 ， 则 ，令 ，则 ， ，所以 . 设直线 l 与平面 所成角为， 则 ， 所以直线l与平面所成角的正弦值为 . 故选：A. 4．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，运用向量法求点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 由，得， 由，得， ，由，可得，解得， ， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为 . 故选：C. 二、多选题 5．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（   ）    A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都存在过且与平面平行的平面 【答案】ABD 【分析】设设，则，其中，利用空间向量的线性运算可得出，取，可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用空间向量的夹角公式可判断C选项；利用共面向量可判断D选项. 【详解】因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以，平面， 因为平面，所以，. 设，则，其中， 由题意得， . 对于A，当时，即时，，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，即时等号成立，故，故B正确； 对于C，因为，平面的一个法向量为， 所以，故， 此值不是常数，所以直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误； 对于D，因为，所以，、、为共面向量， 而平面，故平面，故D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)下列命题中，正确的是（   ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内 D．若直线经过第三象限，则， 【答案】AC 【分析】利用空间向量的坐标运算可判定A、B、C，根据直线一般式方程及特征可判定D. 【详解】对于，故A正确; 对于B，，则或，故B错误； 对于C，因为，为平面的法向量， 易知，所以点在平面内，故C正确: 对于D，当，时，直线经过第三象限，故D错误. 故选：AC. 7．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)如图，在四棱锥，平面，底面是平行四边形，与交于点，则（    ） A． B． C．点到的距离为 D． 【答案】ABD 【分析】由向量加法的几何意义判断A；利用向量加减的几何意义及数量积运算律化简判断B；利用向量法求点线距离判断C；由向量夹角的定义及数量积运算律判断D. 【详解】A：由题意有，所以，对； B：， 由平面，平面，则，， 所以，对； C：由 ，则 ， 所以点到的距离为 ，错； D：由， 由，则，对. 故选：ABD 8．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据判断选项A，D；根据判断选项B；根据判断选项C. 【详解】因为，所以，所以 ，A正确，D错误； 因为，且，所以 ，B正确； 因为，所以 或者错误. 故选：AB 9．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】对于A，将点代入直线的方程，即可判断；对于B，由题意可得平面的法向量为，平面的法向量为，再根据平面与平面夹角的向量求法，求解后即可判断；对于C，由题意可得平面的法向量，且点在平面内，从可得，再根据点到平面距离的向量求法，求解后即可判断；对于D，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，求解后即可判断. 【详解】解：对于A，将点代入直线的方程， 则有， 所以点在直线上，故正确； 对于B，因为平面的方程，即为， 所以平面的法向量为， 同理，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为，故正确； 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内， 所以， 设点到平面的距离为， 则，故错误； 对于D，因为平面的方程为，即， 所以平面的法向量； 又因为平面的方程为， 所以平面的法向量； 设直线的方向向量为， 则有， 所以，取， 则有， 又因为平面的方程为 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则，故正确. 故选：ABD. 10．(23-24高二上·安徽高二名校阶段检测联考·月考)在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（    ） A． B． C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D．点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为 ． 【答案】 【分析】应用空间向量法，先求点的坐标，再分别表示，，化简，得出两条直线所成角的余弦值，再根据值域可得余弦范围. 【详解】设正方形的中心为，过点作的垂线，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，， 设，可得， ， 所以，， ，， 因为，可得，可设，， 设直线与所成角为，由，， 则， 令，可得， 则，则，, 可得． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元应用二次函数值域，进而得出余弦值的范围. 12．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得平面、平面及平面的一个法向量，则可得直线的一个方向向量，结合空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】由题可得平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 又平面的法向量， 设直线的一个方向向量，则， 即，取，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 13．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据探索两点坐标之间的关系，确定最小时两点的坐标，再用空间向量的方法求点到面的距离. 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，    则,设, 则， 因为,所以,即， 所以,又, 则， 当时,取得最小值， 此时,即， 所以, 设平面的一个法向量为， 则即, 令,解得,所以, 则点到平面的距离为 故答案为：. 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得出设，得出和坐标，利用空间向量和函数性质求解即可. 【详解】在矩形中，取中点，连接与交于点， ，，，且， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，过与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系如上图，则，，， 为中点，， 将沿直线翻折至的位置的过程中，在以为圆心，直径为的圆弧上， 在平面内，设，且，， ，即， ，，， 所以 ， 设直线与所成角为，则 ， 易知，当时，单调递增， 当时，. 故答案为： 四、解答题 15．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥的底面为矩形，底面.其中，点分别在棱上，且，点为棱的中点. (1)证明：； (2)已知，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，利用勾股定理得，再由线面垂直的判定定理、性质定理可得答案； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）如图所示，连接 因为 且，所以四边形为平行四边形． 所以 ， 由勾股定理得， 所以，所以，即， 又因为底面平面， 所以，且平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 16．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，面，且，为的中点，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，证明，，得到，由线面平行的判定定理得证； （2）以点为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接， 所以，，又是中点，为正方形， ，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为，所以，又，则， 所以，则， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，为正方形，所以两两互相垂直， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， ， 设直线与平面所成角为， 则. 17．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及中位线性质证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离即可得结果. 【详解】（1）因为为直三棱柱，所以， 又，分别为，的中点，所以， 所以， 又平面平面， 所以平面； （2）因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则， 则， 因为，则，即， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点到平面的距离， 因为，分别为，的中点，故有直线平面， 所以直线与平面的距离即为点到平面的距离， 故直线与平面的距离为. 试卷第1页，共3页 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $