专题02 直线和圆 5大高频考点（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆 5大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆的方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 考点05 圆的轨迹问题 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 2．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·安徽马鞍山第二中学·期中)，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 7．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)经过两点的直线的倾斜角为60°，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知点是直线上一点，且是直线的一个方向向量，若角的终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 二、填空题 10．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知直线，则直线恒过定点 ． 11．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 三、解答题 12．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 13．(24-25高二上·安徽黟县中学·期中)（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程. （2）已知两条直线，若，求的值. 14．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 15．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知直线，，，． (1)证明：与的交点不在轴上； (2)已知与交于点，，分别与轴交于，点，记的面积为，求的取值范围． 地 城 考点02 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知圆关于直线对称，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)若圆的圆心为，且被直线截得的弦长为，求圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 5．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 6．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则 C．若圆O：包含曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，点，则的最大值为 三、填空题 7．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为 . 8．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)圆的半径的最小值为 ． 四、解答题 9．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)已知过点的圆 的圆心在直线上，且与轴相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程. 10．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程． 11．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)在平面直角坐标系中，圆C为过点的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于M，N两点，求弦MN中点的轨迹方程； (3)从点发出的光线射到轴上，被轴反射后的光线与圆相切，求所在直线的方程. 12．(24-25高二上·安徽淮南淮南第二中学·期中)已知圆 关于直线对称，且过点. (1)求圆的圆心和半径； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 13．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为点，求四边形的面积． 14．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)已知，，. (1)求直线的方程及的面积； (2)求的外接圆的方程. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 3．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)判断直线与圆的位置关系，下列说法错误的有（   ） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 4．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（   ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．过点作圆的切线，切线方程为或 5．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知直线，圆，则（    ） A．不过定点 B．与相交 C．圆心到的距离的最大值为1 D．是的一个方向向量 6．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)已知直线：，则（   ） A．直线的一个方向向量为 B．直线过定点 C．若直线不经过第二象限，则 D．若，则圆上有四个点到直线的距离等于 7．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长为4时， D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 三、填空题 8．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 9．(24-25高二上·安徽淮南淮南第二中学·期中)若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围为 . 10．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数 ． 11．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)圆C：，点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于两点，则直线的斜率之积为 . 四、解答题 12．(24-25高二上·安徽铜陵第一中学·期中)圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)若，求直线的方程； (2)若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值． 13．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 15．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. (1)若弦的长度为，求直线的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)圆和圆的交点为，，则（    ） A．两圆圆心距 B．公共弦所在直线的方程为 C．圆和圆的公切线有3条 D．公共弦的长为 5．(24-25高二上·安徽马鞍山第二中学·期中)以下四个命题表述正确的是（   ） A．若方程表示圆，则的取值范围是 B．直线恒过定点 C．圆与圆恰有条公切线 D．已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为 6．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)若圆，圆，则（    ） A．当时，若圆与圆有且仅有三条公切线，则 B．当时，若圆与圆有且仅有两条公切线，则 C．当时，存在实数，使得圆与圆无公切线 D．若存在实数，使得圆与圆有且仅有三条公切线，则 7．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)已知为坐标原点，，圆，则（    ） A．圆恒过坐标原点 B．圆与圆内切 C．直线与圆相离 D．圆的圆心在单位圆上运动 地 城 考点05 圆的轨迹问题 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)从点向圆引两条切线，，切点分别为，，且四边形的面积为2，则不满足条件的点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（   ） A．若，则M的轨迹的长度等于2 B．若，则M的轨迹方程为 C．若，则M的轨迹与圆有交点 D．若，则的最大值为3 4．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若曲线与圆有公共点，则 B．若，则两曲线交点所在直线的方程为 C．若，则的取值范围为 D．若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 5．(21-22高二上·安徽合肥第一中学·期中)在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．已知直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形的面积的值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 7．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是 8．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足 ，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 四、解答题 9．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线. (1)求曲线的方程； (2)若与曲线交于不同的、两点，且（为坐标原点），求直线的斜率. 10．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 11．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． (1)求曲线的方程； (2)记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 12．(24-25高二上·安徽鼎尖教育·期中)在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 13．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．如图，在棱长为3的正方体中，点M是BC的中点，点P是正方体表面上一动点包括边界，且两直线AP，MP与平面所成的角相等． (1)证明：点P的轨迹是阿波罗尼斯圆的一段弧，并求出这段弧的长度； (2)求的取值范围； (3)当线段最短时，在线段上是否存在点N，使得平面AMN，若有，请求出平面AMN截正方体的截面周长，若无，说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆 5大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆的方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 考点05 圆的轨迹问题 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】B 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 2．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称关系，转化为过定点的直线与圆有公共点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，即可列式求解. 【详解】点关于直线的对称点，    由题意可得反射光线过点，显然过点的直线与圆有公共点的直线的斜率存在， 设反射光线的斜率为，则反射光线的方程为，即， 圆心到反射光线的距离， 整理可得：，解得. 故选：B. 3．(24-25高二上·安徽马鞍山第二中学·期中)，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 4．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示到两定点和的距离之和为，可得动点轨迹为椭圆：，两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径. 【详解】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，即，又，所以， 所以曲线，即椭圆的方程为：， 又因为圆的圆心为，半径为， 则M，N两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径， 点在，故， 所以圆心到椭圆上点的距离 ， 因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减，故，则， 所以M，N两点间的最大距离是． 5．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 6．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 7．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)经过两点的直线的倾斜角为60°，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由题意可得,解得， 故选：B 8．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知点是直线上一点，且是直线的一个方向向量，若角的终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的方程，分、在直线的终边取点特殊点，再由正切的二倍角公式计算可得答案. 【详解】因为直线过点，且平行于向量，所以直线的方程为， 当时，取终边上的点，可得， 当时，取终边上的点，可得， 所以若角的终边落在直线上，则， 所以. 故选：A. 9．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】将直线方程转化为且，结合斜率与倾斜角的关系确定角的大小. 【详解】由且，易知斜率为1，直线倾斜角为. 故选：A 二、填空题 10．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知直线，则直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即可根据求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故定点为， 故答案为： 11．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：.    三、解答题 12．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故， 又的顶点， 所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得， 故点； （2）设点， 则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上， 所以， 故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 13．(24-25高二上·安徽黟县中学·期中)（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程. （2）已知两条直线，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两点斜率公式与直线的垂直关系，结合直线的点斜式方程求得的方程，再利用点线距离公式，结合中心对称性的性质即可得解； （2）利用两直线平行的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解. 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线经过点， 所以直线的方程为，即. 设直线的方程为， 由点到直线和直线的距离相等， 所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为. （1） ，又， ，解得或， 当时，，此时 ； 当时，，此时重合，舍去； 综上，. 14．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 15．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知直线，，，． (1)证明：与的交点不在轴上； (2)已知与交于点，，分别与轴交于，点，记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）联立直线求交点纵坐标，即可证； （2）首先求得、、，应用三角形面积公式 可得，结合对勾函数性质、基本不等式求范围. 【详解】（1）联立，可得，又，， 所以， 即与的交点不在轴上； （2）由（1）知，， 由，令，有， 由，令，可得， 则， 所以，故， 令，则， 对于， 当且仅当，即时取等， 所以， 故， 则. 所以. 地 城 考点02 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知圆关于直线对称，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意知直线过圆心，将圆心坐标代入即得答案. 【详解】由题意直线过圆心，则. 故选：B 2．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)若圆的圆心为，且被直线截得的弦长为，求圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，进而由弦长求得半径，即可得解. 【详解】∵圆心 到直线的距离为， 又∵弦长为，∴圆的半径， ∴圆的方程为， ∴圆的一般方程. 故选：D. 3．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，求解即可. 【详解】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而， 所以，又圆的半径为2， 故圆上的点到直线的距离的最大值为． 故选：B. 4．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 【答案】C 【分析】根据点在圆上得到的值，然后根据定义求“镜像距离”即可. 【详解】由题意得，， 有四种情形： ，，； ，，； ，，； ，，. 故选：C. 5．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设存在定点，使得，化简可得，结合，得出，可得的最小值为，即得结果. 【详解】设存在定点，使得点在圆上运动时均有， 设，则有， 化简可得，①， 又因为，即，②， 将②代入①化简可得：， 即，解得，故， 所以， 所以， 当且仅当三点共线且在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则 C．若圆O：包含曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，点，则的最大值为 【答案】AB 【分析】曲线关于x轴，y轴对称，当，时，曲线E的方程为，表示以点为圆心，为半径的半圆，画出图象，根据图像与圆的几何性质，逐项判断即可； 【详解】对于A，因点在曲线上，点，也都在曲线 E上， 则曲线E关于x轴，y轴对称， 当，时，曲线的方程为，表示以点为圆心， 为半径的圆在直线上方的半圆含端点， 因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，    所以曲线围成的图形面积是，故A正确; 对于B，点在曲线上，则等价于， 则有， ，解得，故B正确; 对于C，曲线 上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，故C不正确. 对于D，，故D错误; 故选：AB. 三、填空题 7．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为 . 【答案】 【分析】求得线段垂直平分线方程并与直线可得圆心为，即可得半径为. 【详解】由题意得的中点为，， 则线段的垂直平分线为，即， 联立，解得，即圆心， 所以该圆的半径为. 故答案为： 8．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)圆的半径的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程的半径公式计算得出圆的半径为，再计算最小值即可. 【详解】圆的方程可化为， 半径为，当时，圆的半径取得最小值． 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)已知过点的圆 的圆心在直线上，且与轴相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）由题意列出知的方程组求解即可； （2）当直线斜率的情况分类讨论，设出直线方程，结合弦长及点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）圆 的圆心，半径为， 由题意知， 解得或（舍去），，， 所以该圆的标准方程为. （2）当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线距离为1， 此时弦长为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 若弦长为，则圆心到直线距离为1， 即，解得， 将代入直线方程化成一般式为， 综上所述，直线方程为和. 10．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，把点A、B和圆心的坐标代入圆的方程和圆心直线方程列出方程组求解即可 （2）由，要使最小，则需最小，此时与直线垂直，求出直线PM的方程，从而求出点P坐标，即可求出以为PM直径的圆，再两圆方程作差可得. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知得，解得 所以圆的方程为． （2）由(1)知圆的方程为，圆心为，半径． 因为， 所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直， 由直线，可得直线的斜率为， 直线的方程为，即， 由解得即， 则以为直径的圆的方程为． 由两式相减可得直线的方程为． 11．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)在平面直角坐标系中，圆C为过点的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于M，N两点，求弦MN中点的轨迹方程； (3)从点发出的光线射到轴上，被轴反射后的光线与圆相切，求所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）利用中点弦知识，转化为圆的方程问题； （3）求出关于轴的对称圆的方程，根据直线与圆相切求出直线斜率即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为，故有： 所以圆的标准方程为； （2）设弦MN的中点，    当直线斜率不存在时，点与点重合， 当直线斜率为0时，点与点重合， 当直线斜率存在且不为0时，由垂径定理知， 点的轨迹是以CG为直径的圆． 由， 得，， 整理得：； （3）因为圆关于轴的对称圆的方程：， 设的方程为，即， 由于对称圆心到的距离为圆的半径， 则，从而可得或． 当时，反射光线所在直线与圆相切，反射光线不与圆相切，故， 故光线所在直线的方程是. 12．(24-25高二上·安徽淮南淮南第二中学·期中)已知圆 关于直线对称，且过点. (1)求圆的圆心和半径； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【分析】（1）根据圆关于直线对称可得，代入点，即可得，进而可得圆心和半径； （2）可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 可知圆心为，半径， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆过点，所以，且，所以， 得，所以圆方程为 ， 故圆心坐标为，半径为. （2）由题意可知：圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即， 所以，得，则直线的. 故直线 或 13．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由题设知圆心是线段的垂直平分线圆心与直线的交点，确定圆心坐标，进而半径，写出圆C的方程； （2）利用两点距离公式、切线的性质可得，再应用三角形面积公式求的面积，进而得到四边形的面积． 【详解】（1）的中点坐标为，所以圆心在直线上，    又知圆心在直线上，所以圆心坐标是，圆的半径是， 所以圆的方程是． （2）四边形的面积 . 14．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)已知，，. (1)求直线的方程及的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)；9 (2) 【分析】（1）由两点式即可求出直线的方程，求出及点到直线的距离，即可求的面积； （2）设的外接圆的方程，将，，代入即可求. 【详解】（1）直线的方程为，即， 因为， 点到直线的距离为， 所以的面积为. （2）设的外接圆的方程为， 由题意，解得， 所以的外接圆的方程为：. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线被圆截得的弦长，借助勾股定理即可求得圆的方程，两圆作差即可求得公共弦的直线方程. 【详解】根据题意，可知圆， 即圆，圆心为，半径， 令，则有：，根据韦达定理及弦长公式可求：，所以，故圆的半径， 故圆，又因为圆， 设AB为两圆的公共弦所在的直线，则有 作差变形可得：；即直线AB的方程为. 故选：C 2．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解. 【详解】设弦的中点为，由题可知圆的半径为， 因为，，所以， 所以，， 可得 ，解得. 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)判断直线与圆的位置关系，下列说法错误的有（   ） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】ACD 【分析】利用点线距离公式求圆心到直线距离，并判断其与半径的大小关系，即可得答案. 【详解】由，其圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离为， 显然直线与圆相交，但不过圆心. 故选：ACD 4．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（   ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．过点作圆的切线，切线方程为或 【答案】BCD 【分析】A：将问题转化为求的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果. 【详解】A：因为，当最小时，取最小值， 取最小值时即为到直线的距离，所以最小值为， 所以的最小值为，故A错误； B：设，，所以中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 又圆，两圆方程相减可得， 即为 令，解得， 所以公共弦所在直线过定点，故B正确； 对于C：对于， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以中点的坐标为，， 故以为直径的圆的方程为， 又因为，且， 所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即， 因为与圆相切，所以，所以，解得， 所以切线方程为或，故D正确； 故选：BCD. 5．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知直线，圆，则（    ） A．不过定点 B．与相交 C．圆心到的距离的最大值为1 D．是的一个方向向量 【答案】BC 【分析】根据直线方程确定定点坐标判断A；定点坐标代入圆，判断点圆位置关系判断B；根据直线斜率写出一个方向向量，判断是否与平行判断D；数形结合判断C. 【详解】由过定点，圆心，半径为， 而，即在圆内，A错，B对，如下图， 当时，圆心到的距离的最大值为1，C对； 由，故是的一个方向向量，显然不与向量平行， 所以不是的一个方向向量，错. 故选：BC 6．(24-25高二上·安徽合肥六校联盟·期中)已知直线：，则（   ） A．直线的一个方向向量为 B．直线过定点 C．若直线不经过第二象限，则 D．若，则圆上有四个点到直线的距离等于 【答案】BD 【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误； 对于B：， 所以，则直线过定点，故B正确； 对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限， 又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得， 所以若直线不经过第二象限，则，故C错误. 对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：， 而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确； 故选：BD 7．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长为4时， D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】直线变形为可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到的值，选项C错误；当直线与圆心和定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线斜率，即可得到选项D正确. 【详解】直线，即，直线恒过定点，故A正确. 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确. 如图，设直线与圆交于两点，连接，则， 过点作于点，则，所以，即点到直线的距离. 由得，故C错误. 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 此时，， 直线的方程为，整理得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】将直线按照斜率是否存在两种情况，分别利用垂径定理列方程求解即得所求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时， 的方程为， 此时直线被圆截得弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 因圆心到直线距离， 由垂径定理，弦长， 解得，则直线的方程为. 故答案为：或. 9．(24-25高二上·安徽淮南淮南第二中学·期中)若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】曲线表示半径的半圆，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. 【详解】由题意，曲线表示半径的半圆，且， 设直线与半圆相切， 则，解得或（舍）， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 如图所示，当直线经过时为临界值， 即， 所以当时，直线与曲线恰有两个公共点. 故答案为：. 10．(24-25高二上·安徽宿州、示范高中·期中)若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数 ． 【答案】或 【分析】分析可知圆心到直线的距离等于，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意得，圆心为，半径为2， 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 可得，解得. 故答案为：或. 11．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)圆C：，点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于两点，则直线的斜率之积为 . 【答案】1 【分析】设直线PM的方程为，由直线与圆相切得，同理设直线PN的斜率为，则，由韦达定理可得直线的斜率之积. 【详解】设直线的方程为：，即， 由圆：可知，圆心，半径为， 由直线与圆相切知， 化简得，①， 同理，设直线 的斜率为， 则，②， 由①②得，是方程的两根， 所以，即直线的斜率之积为 故答案为：1 四、解答题 12．(24-25高二上·安徽铜陵第一中学·期中)圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)若，求直线的方程； (2)若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切线方程为，根据到切线的距离等于计算，得出切线方程；计算，得出以为圆心，以为半径的圆，将直线转化为两圆的公共弦求解；（2）设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，所以，即，所以是方程的两实根，再根据公式， 求其最小值，代入三角形面积公式求解． 【详解】（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即， 故到直线的距离， 解得或，所以切线方程为和． ，，， 故以为圆心，以为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 所以直线的方程为：，即． （2）设直线与的直线方程分别为：， 又与圆相切， 所以，即． 所以， ，， ，， ， 所以面积的最小值为． , 13．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得 ，即可根据不等式的性质求解. 【详解】（1）解法一：设由题知，． ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ①当直线的斜率不存在时，同法1． ②当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ （2）由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立，消去得，∴点在直线上，如图所示， f ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】求出椭圆E的左、右顶点和上顶点，设圆C的一般方程：，利用待定系数法求出一般方程，化为标准方程即可； 易知椭圆的右焦点，圆心，对直线的斜率是否存在进行分类讨论即可求解； 过圆心，分别作，，垂足分别为G、H，求出，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）易知椭圆E的左、右顶点的坐标为、，上顶点的坐标为， 设圆C的一般方程：， 因为圆C过椭圆的左、右顶点和上顶点， ，解得：， 故圆C的一般方程为：， 标准方程为：. （2）易知椭圆的右焦点，圆心. 当直线l的斜率不存在时，，此时，符合条件； 当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则即：， 设圆心C到直线l的距离为d， ，解得， ，解得， 所以， 综上：直线l的方程为：或； 如图，过圆心C，分别作，，垂足分别为， 则：， ，且， ， 当且仅当时，取等号. 所以：四边形面积的最大值为. 15．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. (1)若弦的长度为，求直线的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或. (2)存在， 【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案； （2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. （2） 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心 ，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 2．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆作差即可求得公共弦的方程. 【详解】圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为. 故选:A. 3．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两个圆相切，列出关系式，然后求解表达式的范围即可. 【详解】圆，则，半径r1， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为3的圆上，即在圆上， 令，则k表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在若斜率不存在，则直线与圆相离， 设该直线方程为， 即为，圆心到直线的距离为d，则， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)圆和圆的交点为，，则（    ） A．两圆圆心距 B．公共弦所在直线的方程为 C．圆和圆的公切线有3条 D．公共弦的长为 【答案】AD 【分析】把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，求出圆心距即可判断A；把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断B；判断两圆的位置关系，即可判断C；因为公共弦所在直线过圆心，所以公共弦的长等于，即可判断D． 【详解】圆化成标准方程， 则圆心，半径， 圆化成标准方程， 则圆心，半径， 故两圆圆心距，故A正确； 圆和圆， 将两方程相减得，即， 即公共弦所在直线的方程为，故B错误； 因为， 所以，则两圆相交， 所以圆和圆的公切线有2条，故C错误； 因为公共弦所在直线过圆心， 所以公共弦的长等于，故D正确． 故选：AD． 5．(24-25高二上·安徽马鞍山第二中学·期中)以下四个命题表述正确的是（   ） A．若方程表示圆，则的取值范围是 B．直线恒过定点 C．圆与圆恰有条公切线 D．已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为 【答案】BD 【分析】对于A根据圆的一般方程即可求解；对于B将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；对于C通过两圆的位置关系判断公切线条数；对于D将两圆作差求出公共弦的方程，圆心到直线的距离公式求出,利用公式即可求解． 【详解】对于A：若方程表示圆， 则或，故A错误； 对于B：直线，得， 由，得，即直线恒过定点，故B正确； 对于C： 曲线，即，圆心为，半径为， 曲线，即，圆心为，半径为， 两圆心的距离为，则两圆外切，有条公切线，故C错误； 对于D：圆和圆， 两方程作差可得公共弦所在的直线方程为， 圆即， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，所以公共弦长为，故D正确． 故选：BD． 6．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)若圆，圆，则（    ） A．当时，若圆与圆有且仅有三条公切线，则 B．当时，若圆与圆有且仅有两条公切线，则 C．当时，存在实数，使得圆与圆无公切线 D．若存在实数，使得圆与圆有且仅有三条公切线，则 【答案】ACD 【分析】根据公切线的条数，确定两圆的位置关系，根据圆与圆的位置关系，列式求解. 【详解】A，当时，两圆有三条公切线，所以两圆相外切，所以， ，得，故A正确； B，当，若两圆有两条公切线，则两圆相交，所以， 即，解得：或，故B错误； C，当，若两圆无公切线，则两圆内含，所以， 即，解得：，得，故C正确； D，若两圆有三条公切线，则两圆相外切，所以，即， 若存在使两圆有三条公切线，则，即，故D正确. 故选：ACD. 7．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)已知为坐标原点，，圆，则（    ） A．圆恒过坐标原点 B．圆与圆内切 C．直线与圆相离 D．圆的圆心在单位圆上运动 【答案】ABD 【分析】A.代入点可判断；B.计算圆心距离与半径的大小关系；C.求圆心到直线的距离来判断.D.圆心代入单位圆计算验证. 【详解】对于A，满足，所以A对. 对于B，两圆的圆心距是1，，所以B对. 对于C，圆的圆心到直线的距离，所以C错. 对于D，圆的圆心的坐标满足方程.所以D对. 故选:ABD. 地 城 考点05 圆的轨迹问题 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)从点向圆引两条切线，，切点分别为，，且四边形的面积为2，则不满足条件的点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆切线的性质有，，结合基本不等式、满足条件的点所在圆的半径范围，进而确定不满足条件的点所在区域的半径范围，即可得答案. 【详解】由题设，易知，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以满足条件的点所在区域以为圆心，半径范围为， 则不满足条件点所在区域以为圆心，半径范围为，故面积为. 故选：B 2．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得到轨迹方程，并得到，表达出，当时，面积最大，求出，，由余弦定理得到答案. 【详解】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（   ） A．若，则M的轨迹的长度等于2 B．若，则M的轨迹方程为 C．若，则M的轨迹与圆有交点 D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【分析】根据选项中的的关系，列出关于的等式，分析等式的几何意义即可求解. 【详解】对于A，因为，所以的轨迹为线段， 从而的轨迹的长度等于2，故A正确； 对于B，因为， 由双曲线的定义，知的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 而选项中的方程中未限制范围，故B错误； 对于C，由，得， 化简，得，联立，方程组无解， 所以的轨迹与圆没有交点，故C错误； 对于D，由，得， 化简得，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 等于在轴上的投影的长度，由图知其最大值为3，故D正确. 故选：AD． 4．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若曲线与圆有公共点，则 B．若，则两曲线交点所在直线的方程为 C．若，则的取值范围为 D．若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】AC 【分析】设，求出的轨迹方程，结合圆与圆位置关系可判断AB；判断两圆外离，即可判断C；假设存在点，使得，即可结合圆的位置关系推出矛盾，判断D。 【详解】设，由，可得， 整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆． 圆的圆心为点，半径， 两圆的圆心距． 对于A，若圆与圆有公共点，则， 即，解得，故A正确； 对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误； 对于C，若，则，两圆外离，则有， 即，故C正确； 对于D，若，则四边形为正方形，， 如图，又为，即，而， 所以不存在这样的点，使得，故D错误． 故选：AC 5．(21-22高二上·安徽合肥第一中学·期中)在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．已知直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形的面积的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出点P的轨迹，分析得到直线过定点，定点在直线上，求出四边形的面积为，再数形结合求出最大值即得解. 【详解】 由题得，平方相加得点P的轨迹方程为， 点P的轨迹是以点为圆心半径为3的圆. , 所以直线过定点， 由于所以定点在直线上， 由题得四边形的面积为， 当最大时，面积最大，此时, 所以，所以直线的方程为，经过圆心， 所以此时, 由题得圆心到直线的距离为. 所以面积的最大值为， 所以面积的取值范围为. 故选：BC 三、填空题 6．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】（限制条件写成或也可以） 【分析】转化为三点共线，以及，即可列式求解. 【详解】设，，， 由三点共线，则①， 且，，所以，即②， 联立①②，消去，为， ，即， 由图可知，，所以，整理为， 故答案为：（限制条件写成或也可以） 7．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 8．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足 ，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 【答案】 【分析】设，由已知可得，化简即可得结果. 【详解】设，因为， 化简得到圆，是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线. (1)求曲线的方程； (2)若与曲线交于不同的、两点，且（为坐标原点），求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程； （2）分析可知，是以为直角的等腰直角三角形，利用几何法求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）设点的坐标为，由，得， 化简得，故曲线的方程为. （2）由题意可知，曲线是以原点为圆心，半径为的圆， 因为直线与曲线交于不同的、两点，且（为坐标原点）， 则是以为直角的等腰直角三角形， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 因此，直线的斜率为. 10．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 11．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． (1)求曲线的方程； (2)记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 【答案】(1)且； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用向量加法、模长的坐标运算，即可求曲线方程； （2）根据题设，且，应用点线距离公式求、，并求出的坐标，得到关于的表达式，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则， 所以所求曲线方程为且. （2）由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在， 如下图，不妨设，且， 则到的距离为，到的距离为， 令且，则，故， 所以，则， 综上，，为定值. 12．(24-25高二上·安徽鼎尖教育·期中)在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）利用中点弦知识，转化为圆的方程问题； 【详解】（1）设圆的标准方程为，故有： ， 所以圆的标准方程为； （2）设弦MN的中点，    当直线斜率不存在时，点与点重合， 当直线斜率为0时，点与点重合， 当直线斜率存在且不为0时，由垂径定理知， 点的轨迹是以CG为直径的圆． 由， 得，， 整理得：； 13．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. 【详解】（1）设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. （2）就是，其半径是4， 圆心是，.     显然在圆外，故的最小值是，最大值是. 14．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．如图，在棱长为3的正方体中，点M是BC的中点，点P是正方体表面上一动点包括边界，且两直线AP，MP与平面所成的角相等． (1)证明：点P的轨迹是阿波罗尼斯圆的一段弧，并求出这段弧的长度； (2)求的取值范围； (3)当线段最短时，在线段上是否存在点N，使得平面AMN，若有，请求出平面AMN截正方体的截面周长，若无，说明理由． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)存在点N，截面周长为 【分析】（1）先得到点P的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧，然后以DC所在直线为x轴，所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系，设点然后利用向量数量积的坐标运算； （2）由得到，然后利用得到； （3）先证明平面AMN，然后利用线面平行性质得到，，，， 【详解】（1）由于是正方体， 两直线AP，MP与面所成的角相等，即， 由于，， 即，即， 依题意平面内点P到两定点D，C距离之比为2， 故点P的轨迹是圆，而点 P是正方体表面上一动点包括边界， 即点P的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧如图所示 单独考查平面，以DC所在直线为x轴，所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系， 设点，、， ，化简得：， 即， 所以点P所在圆的方程为，圆心，半径为 假设其圆心为O，且圆心O在DC所在的直线上，圆O与CD交于点E， 与交于F点，点P的轨迹为正方形内的一段弧， 则，，易得：，弧长：， 所以EF这段弧的长度为 （2）因为在正方体中，平面， 又平面，所以，所以， 由得到 ， ，， ，而， ， 故的取值范围 （3）由可知，当线段的长最短时，即点P在直线上， 故延长AM交DC于点R，过点 R做，交于点S，交于点T， 交于点Q，连接 SA交于点N，所求的截面即为五边形 以下证明此时即平面AMN， 由于，平面AMN，平面AMN， 所以平面AMN， 故有，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 所以所求的截面五边形AMQTN的周长 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $