精品解析：四川省绵阳市三台中学实验学校2025-2026学年高三上学期入学考试数学试卷

三台中学实验学校高2023级2025-2026学年度上期 高三年级入学考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 1. 观察下图所示的“集合”的知识结构图，把“①描述法，②包含关系，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是 A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ①③② 2. 已知且，下列各式中最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是圆：内一点，直线是以为中点弦所在的直线，若直线的方程为，则（ ） A. 且与圆相离 B. 且与圆相交 C. 且与圆相离 D. 且与圆相交 6. 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，上顶点为B，双曲线E：（，）的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足（），，则双曲线E离心率为 A B. C. D. 7. 已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最小值为 B. 已知函数（，且）在上是减函数，则的取值范围是 C. 若，则 D. 10. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆､椭圆､双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 在点处的切线方程为 B. 函数有极小值，且极小值是的最小值 C. 函数有两个零点 D. 三、填空题.（每题5分，共15分） 12. 已知不等式的解集，若对不等式成立，则实数的最大值为______________． 13. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________． 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点、分别作圆B的切线m和、n与x轴不重合，切线m和n相交于点P，则点P到直线的最小距离为_________． 四、解答题.（共77分） 15. 已知函数． （I）求的值； （II）求函数的最小正周期； （III）求函数的最大值，并求出取到最大值时的集合． 16. 已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1. （1）求抛物线和椭圆方程； （2）过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值. 17. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面距离； （3）设中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 18. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程; （2）若在上无极值点，求的值; （3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由. 19. 已知数列的前项和为，满足，数列满足. （1）求数列、的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学实验学校高2023级2025-2026学年度上期 高三年级入学考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 1. 观察下图所示的“集合”的知识结构图，把“①描述法，②包含关系，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是 A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ①③② 【答案】A 【解析】 【分析】根据结构图结合集合、集合的基本关系、集合的运算等相关知识进行判断可得答案. 【详解】解：因集合的表示包括两种：列举法和描述法，故M处为①； 集合的基本关系包括；包含和相等，故M处为②； 集合之间的交、并和补集属于集合的运算，故P为③； 故选A 【点睛】本题考查集合的知识网络和结构图.其中集合的表示包括两种：列举法和描述法；集合的基本关系包括；包含和相等；集合之间的交、并和补集属于集合的运算，对于结构图问题，需要掌握所涉及的部分有哪些主要的知识模块，它们之间是何关系. 2. 已知且，下列各式中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据取值大小判断与的大小、与的大小，结合均值不等式判断与的大小，由此可得最大的式子. 【详解】因为，所以，， 所以，， 由均值不等式可知，所以， 由上可知：， 所以四个式子中最大， 故选：D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值0、1，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减，且恒成立， 所以， 因为在上单调递减，所以， 综上：. 故选：A. 4. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，然后结合向量的数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，即， 结合正弦定理得，即， 所以，所以， 因为的面积为，所以，即，所以， 故选：A. 5. 已知点是圆：内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，若直线的方程为，则（ ） A. 且与圆相离 B. 且与圆相交 C. 且与圆相离 D. 且与圆相交 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系得到的斜率为，等于直线的斜率，故，求出圆心到直线的距离为，得到直线与圆相离. 【详解】直线是以为中点的弦所在的直线， 由垂径定理得，直线， ∵， 的斜率为， 直线的斜率为， ， 其中圆心到直线的距离为， 在圆内， ， ， 直线与圆相离. 故选：A 6. 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，上顶点为B，双曲线E：（，）的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足（），，则双曲线E离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆的顶点坐标，得双曲线的值，同时可得，，，利用余弦定理计算出，这样可计算出点坐标，代入双曲线方程求得，由计算出后可得离心率． 【详解】由椭圆方程可知，左顶点，右顶点，上顶点，由双曲线E的左顶点与椭圆的左顶点重合，得，.在中，，易知，，由余弦定理得，得，易知，所以.设点P的坐标为，则，得，解得，代入双曲线E的标准方程，得，得，从而，，所以双曲线E的离心率， 故选：D. 【点睛】本题考查求椭圆的顶点坐标，考查双曲线的离心率，解题关键是由知共线，从而求得点坐标，本题属于中档题． 7. 已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系得到数列 是等差数列，得到数列的通项公式，然后利用错位相减法得到，从而求解实数的取值范围． 【详解】解：由， 得， 即 ，  所以是等差数列，公差为，首项为， 所以，则，  数列的前n项和为： ，①  ，② 由① -②可得  ，  ，  即，  由，得，  因为单调递增， 当时， 的值最小．即， 所以， 所以实数的取值范围为． 故选：B. 8. 设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合“T数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案. 【详解】对于命题①，对于数列， 令，则， 数列为公比不为1的等比数列， 当时，是数列中的项， 当时，是数列中的项， 所以对任意的，都是数列中的项， 故命题①正确； 对于命题②，等差数列，令，则， 则， 因为且， ，且， 所以对任意的，都是数列中的项， 所以对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”， 故命题②正确； 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最小值为 B. 已知函数（，且）在上是减函数，则的取值范围是 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性可判断A正确，结合对数型复合函数单调性可求得B正确，由指数运算法则计算可得C错误，根据对数运算法则计算可得D正确. 【详解】对于A，易知函数是由指数函数和二次函数复合而来， 显然函数在定义域上单调递减，而二次函数， 因此，可知A正确； 对于B，当时，函数（，且）上单调递减， 依题意可知在上单调递增，所以，解得，不合题意； 当时，函数（，且）在上单调递增， 依题意可知在上单调递减，所以且，解得， 因此可得，即B错误； 对于C，由，可得， 因此或（舍），即C错误； 对于D，易知，即D正确； 故选：AD 10. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆､椭圆､双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据所给的图，结合截面圆与底面关系确定半径，即可求面积判断A；再由椭圆、双曲线、抛物线性质建立直角坐标系，并标注相关点的坐标求对应曲线方程，进而判断B、C、D. 【详解】A：由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，故圆的面积为，对； B：如下图轴截面中，作于，则长轴长， 又，则，对； C：如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点， 设双曲线为，且，则， 所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则， 故两条渐近线夹角正切值为，对； D：如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，故， 设抛物线方程为，则， 所以抛物线的焦点到准线的距离为，错. 故选：ABC 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 在点处的切线方程为 B. 函数有极小值，且极小值是的最小值 C. 函数有两个零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利于导数几何意义可求出在点处的切线方程，即可判断；利于导数先判断函数的单调性，再令导数为零，求出极值点，进而判断最值和零点情况；即可判断；构造函数，研究其单调性，进而比较大小即可判断D. 【详解】对于，因为函数，且定义域为， ，， ， 故在点处的切线方程为, 即，故选项正确； 对于，令，解得， 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增， 故当时，函数取到极小值，且极小值是的最小值，故正确； 对于，因为， 函数在上单调递减，在上单调递增； 故函数的图像与轴无交点，所以函数无零点，故错误； 对于，令，且定义域为， 则，令，解得， 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增， ， ， 即， 即， 即， 故正确； 故选：. 三、填空题.（每题5分，共15分） 12. 已知不等式的解集，若对不等式成立，则实数的最大值为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，代入所求不等式，利用二次函数根的分布列不等式即可得实数的最大值. 【详解】解：不等式的解集，则方程的两根为，且，所以，解得， 所以不等式为，对不等式恒成立，则①，解得， 或②，无解. 综上，，所以实数的最大值为. 故答案为：5. 13. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可. 【详解】还原正方体如下图示： 由正方体性质知：//且有,故①正确，②错误. ③,由图知：与是异面直线，故正确. ④,由正方体的性质知：,故错误. 故答案为：①③. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点、分别作圆B的切线m和、n与x轴不重合，切线m和n相交于点P，则点P到直线的最小距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，性质，以及直线与双曲线的位置关系，属于较难题. 由题意得到P在双曲线上，设与直线平行的直线方程为，联立方程，由，求出两条切线方程，再利用两平行线间的距离得到点P到直线的最小距离. 【详解】解：设切线m、n与圆B相切的切点分别为M、N， 当点P在第一象限时，由，故点P在双曲线右支上， 同理可得P在双曲线上. 设与直线平行的直线方程为， 联立方程，消去y后整理为， ， 解得， 所以与直线平行且与圆B相切的直线方程为， 则点P到直线的最小距离为． 故答案为 . 四、解答题.（共77分） 15. 已知函数． （I）求的值； （II）求函数的最小正周期； （III）求函数的最大值，并求出取到最大值时的集合． 【答案】（I）；（II）；（III）的最大值为，对应的值为. 【解析】 【分析】（I）代入求解；（II）利用诱导公式与二倍角公式以及辅助角公式化简函数的解析式，求解最小正周期；（III）利用整体法判断得函数的最大值及对应值. 【详解】（I）. （II），所以函数的最小正周期. （III）由（II）得，，所以当，即时，取最大值，所以的最大值为，对应的值为. 16. 已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1. （1）求抛物线和椭圆的方程； （2）过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出p的值可得抛物线方程；利用交点代入求出m的值，可得椭圆方程. （2）设直线和椭圆的交点坐标，表示出相应三角形面积表达式，结合椭圆性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知抛物线的焦点为， 因为抛物线的焦点是椭圆的顶点， 椭圆在x轴上的顶点为， 故，则抛物线方程为， 令，则，代入得，解得， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 抛物线的焦点为，故不妨设， 则， 结合椭圆方程为，B在椭圆上，可知， 故的最大值为. 17. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不在内， 【解析】 【分析】（1）取的中点，把问题转化为证明平面，然后只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，然后再利用点到平面的距离的向量公式即可； （3）设，由在平面可得到，再根据解出点坐标即可. 【小问1详解】 取的中点，连结，，因为，所以. 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连结，，，， 所以，且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，得，则， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故，. 所以点不在内，. 18. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程; （2）若在上无极值点，求的值; （3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解. （2）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得. （3）讨论当时,在上的符号,函数的单调性、极值情况,从而分析 函数的图像与轴的交点个数,得出函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，， ，，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，依题意有，即， ，解得. 【小问3详解】 ①时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点. ，，依题意有恒成立，即， ，解得. ②时： 当，，函数为增函数； 当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数. 由于，此时只需判定的符号： 当时，函数在上无零点； 当时，函数在上有一个零点； 当时，函数在上有两个零点. 综上，时函数在上无零点； 当时，函数上有一个零点； 当时，函数在上有两个零点. 19. 已知数列的前项和为，满足，数列满足. （1）求数列、的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项. （2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论. （3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值. 【详解】（1）数列中，当时，. 当时，由得， 因为，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列即. 在数列中，当时，有， 由累加法得，， . 当时，也符合上式，所以. (2) . 当为偶数时， =； 当为奇数时， =. (3)对任意的正整数,有， 假设存在正整数，使得，则， 令，解得，又正整数， 所以满足题意. 【点睛】给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下： （1），用累加法； （2），可变形为，利用等比数列的通项公式可求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式. （3）递推关系式中有与前项和，可利用实现与之间的相互转化. 另外，数列不等式恒成立与有解问题，可转化为数列的最值（或项的范围）来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $