第十三讲：函数奇偶性知识总结与题型归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性这一高中数学核心概念，从定义、性质到判断方法、运算规律、常见模型及七大题型层层递进，构建起完整的知识体系。通过定义域对称性与函数值关系的逻辑关联，帮助学生建立“数形结合”的思维支架，为后续研究函数单调性、最值问题奠定基础。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与直观想象等核心素养。例如例15巧妙引导学生运用奇偶函数复合规律推导新函数性质，强化符号意识与推理能力；例20借助图像对称性与单调性分析不等式解集，展现几何直观与逻辑思维融合的教学智慧。课中可作为教师精讲示范素材，课后便于学生对照解析查漏补缺，实现从理解到应用的闭环学习。

第十三讲：函数奇偶性知识总结与题型归纳 一： 函数的奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特，点 一般地，设函数fx)的定义域为I,如果Vx∈I,都有 偶函数 关于y轴对称 -x∈I,且-x)=fx,那么函数fx)就叫做偶函数 一般地，设函数fx)的定义域为I,如果Vx∈I,都有 奇函数 一x∈I,且-x=一fx,那么函数f(x)就叫做奇函 关于原点对称 数 定义的其他形式 判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果f(-x)-f(x)=0或 f-0=1f≠0)，则函数f)为偶函数：如果f)+f=0或f仁=-1m≠0， f(x) 、f(x) 则函数f(x)为奇函数 二：奇函数、偶函数的性质 (1)奇，偶函数定义域关于原点对称。 (2)奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。 (3)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性二致，偶函数在其关于原点对称的区间上单 调性相反 (4)奇函数在原，点处有定义，即f0)有意义，则一定有f0=0.偶函数不一定有 f0)=0 三：判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法 Vx∈L, 否 都有-x∈？ 非奇非偶函数 无-x)=x) 奇函数 是 -x)与 -x)=x) 偶函数 x)的关系 -x)与fx) 非奇非 无上述关系 偶函数 f(x) 关于原点对称 fx)为奇函数 象 关于轴对称 fx)为偶函数 (2)图象法 第1页共12页 关于原点对称 f(x)是奇函数 关于y轴对 →f(x)是偶函数 f(x)的图象一 关于原点对称， f(x)既是奇函数， 关于y轴对称 又是偶函数 不关于原点对称， f(x)既不是奇函数， 不关于y轴对称 又不是偶函数 四：奇偶性的运算 (1)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇 函数的和的形式.记g)=/)+f-x训，)=f)-f-,则)=g)+x). (2)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、 除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)· 对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇×()奇=偶；奇(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶。 (3)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 五：常见的奇偶函数 (1)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数f)=m(x≠0)或函数=mg=马. a*-1 ②函数f(x)=±(a-a). a+11 ③函数f)=1og.+m=1log.1+2m)或函数f)=1og二m=1og.1-2m x-m x-m x+m x+m ④函数f(x)=log,(Wx2+1+x)或函数f(x)=1og(Wx2+1-x). 注意：关于①式，可以写成函数f=m+2m（红≠0)或函数=m 2m -(m∈R) a*-1 a'+ 偶函数：①函数f(x)=±(a+a).②函数f)=log,(a“+l)-m 2 ③函数f(xD类型的一切函数. ④常数函数 其他：对勾函数：f(x)=ax+-(a>0,b>0)为奇函数 b 飘带函数：f(x)=ax-一a·b>0)为奇函数 双绝对值函数：f(x)=x+4-x-a为奇函数；f（x)=x+d+x-a为偶函数 第2页共12页 题型一：判断下列函数的奇偶性： 例1：下列关于函数奇偶性说法正确的是() A.若一个函数的定义域关于坐标原，点对称，则这个函数为奇函数 B,若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原，点对称 C.若一个函数的定义域关于坐标原，点对称，则这个函数为偶函数 D.若函数fx)的定义域为R,且f(0)=0,则f(x)是奇函数 例2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x; O)-- (3) 1-d (4)fx=V3-x2+Vx2-3; (5) fx)=x+1-x-1: @1-x- 题型二奇函数、偶函数的图象 第3页共12页 例3.(1)已知奇函数f(x的定义域为[5,5，且在区间[05上的图象如图所示 5 -2 ①画出在区间5,0上的图象. ②写出使f(x)<0的x的取值集合， (2)已知偶函数f(x)的定义域为[5,5]，且在区间[0,5上的图象如图所示，试画出在区间 -5,0上的图象. y个 5 -2 例4.已知f(x)是偶函数，gx)是奇函数，定义域均为-1，，二者在[0，上的图象如图所 示，则关于x的不等式∫x)gx)<0的解集为（) 第4页共12页 21 0 0 =f(x) y=8(x) a.（o2 .（o0 c.（3o3 .（5 题型三利用函数的奇偶性求值与求参 例5.若函数f(x=ar2+br+3a+b是偶函数，定义域为a-1,2ad,则a=一，b=一 第5页共12页 例6.已知函数fx)=x+3x,若f-a@=2,则f@的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 例7.已知函数fx)=g(x)+|2x-1|为奇函数，若g(-1)=7,则g(①)= 例8，若函数f)=(2x+12x- 、为奇函数，则a等于() A.1 B.2 C.3 D.- 例9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2-a,则f(I)=() A.2 B.月 C.1D.-1 例10.已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2x+3,则g()=() A.3 B.4 C.5D.6 题型四：利用奇偶性求函数的解析式 例11.若函数f(x是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，∫x)=x1+x,则当x<0时， f(x)=() A.-x(1+xB.-x1-x C.x1+x D.x(1-x) 第6页共12页 例12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x<0时，fx)=2x-3,则当x>0时， fx)=一 例13.已知∫(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f)=() A.-3B.2C.1D.3 例考香贷/是锅品长，属技8)是寺面统，L+8),家高级倒的 解析式 题型五：奇偶性的常用结论 例15若fx)为奇函数，gx)为偶函数，且定义域相同，则f(x)·8x)的奇偶性。 例16.函数∫x)为奇函数，8x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是() A.fx+gx为奇函数 B.∫(x+gx)为偶函数 第7页共12页 C.fx)gx为奇函数 D.fx)gx为偶函数 例17.已知f(x)=x3+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f2) 例18.设函数f(x)=ax3+bx-1,且f(-1)=3,则f(1等于() A.-3 B.3 C.-5 D.5 例19.已知fx)和gx)均为奇函数，若Hx)=afx)+bgx)+2在区间(0，+o上有 最大值5，则Hx)在区间(-0,0)上有最小值为 题型六：函数奇偶性与单调性 例20.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在（一o,0)上单调递减，则满足 f6x+)<f 的实数x的取值范围是() [令8c月g 例21.已知函数f(x)是定义在-0,0)（0，+0上的奇函数，且f(-1=0,若对于任意两个 第8页共12页 实数X,x,e0,+且5*，不等式-f<0恒成立，则不等式(x>0的解 X1-X2 集是() A.（-o,-1)U(0,1) B.（-0,-1)U(1,+o) C.(-1,0)U(1,+0】 D.（-1,0）(0,1 例22.设定义在R上的函数f(x)和g(x)满足：①对任意的x∈R,f(x)+f(-x)=x2和 9间-到=号成点：巴g树-a小上单有造骑.若f2-小-22-加，则 a的取值范围是() A.a≤1B.a≥0 C.0≤a≤1 D.a≤-1 例23.定义在R上的函数y=∫x)在-0,1上单调递减，且∫x+1)是偶函数，则使 f(2x-1)<f(3)成立的x的取值范围是() A.(1,+oo B.(-o0,0)U2,+o0）C.(0,1 D.-0,0 第9页共12页 例24.已知函数f(x)=-xx,且f(m+2)+∫(2m-1)<0,则实数m的取值范围为() a〔 B.（-o0,3) C.(3,+o) 题型七：抽象函数奇偶性 例25.若函数f(x)的图象关于，点1,0)对称，则() A.fx+1)为偶函数B.∫x-1为偶函数C.fx+1)为奇函数D.∫x-1)为奇函数 第10页共12页 第十三讲：函数奇偶性知识总结与题型归纳 一：函数的奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 定义的其他形式: 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 二：奇函数、偶函数的性质 （1）奇，偶函数定义域关于原点对称。 （2）奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。 （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性一致．偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4）奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.偶函数不一定有. 三：判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法 (2)图象法 四：奇偶性的运算 （1）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （2）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （3）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 五：常见的奇偶函数 （1）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 其他：对勾函数：为奇函数 飘带函数： 为奇函数 双绝对值函数：为奇函数;为偶函数 题型一：判断下列函数的奇偶性： 例1：下列关于函数奇偶性说法正确的是（    ） A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数 解析：奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确； 定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误， 如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误． 故选：B 例2.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)； 解析：（1）函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数． （2）f(x)的定义域为，关于原点对称．，所以为奇函数． （3）的定义域为，且关于原点对称， 当时，，则； 当时，，则，故是偶函数． （4）由得x2=3，解得x=±，即函数f(x)的定义域为， 从而f(x)=＋=0.因此f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． （5）的定义域为.因为，所以是奇函数. （6）的定义域为，不关于原点对称，所 以既不是奇函数也不是偶函数. 题型二 奇函数、偶函数的图象 例3.（1）已知奇函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示． ①画出在区间上的图象． ②写出使的的取值集合． （2）已知偶函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示，试画出在区间上的图象． [解]　（1）①因为函数是奇函数，所以y＝在上的图象关于原点对称．由在上的图象，可知它在上的图象，如图所示． ②由图象知，使的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． （2）因为函数是偶函数，所以在上的图象关于y轴对称．由在上的图象，可知它在上的图象，如图所示． 例4.已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解析：有图可得，当时，，，； 当时，，，故. 所以当时，不等式的解集为. 又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数， 由奇偶性可知，当时，不等式的解集为， 所以不等式的解集是.故选：A. 题型三 利用函数的奇偶性求值与求参 例5.若函数是偶函数，定义域为，则＝_____，＝________； [解析]　(1)∵函数f(x)在上是偶函数，∴，得. 又，即对均成立，∴＝0. 例6.已知函数，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：函数的定义域为， ， 函数为奇函数，则.故选：B. 例7.已知函数为奇函数，若，则___________． 解析：由题知：， 又为奇函数，则，故. 例8.若函数＝为奇函数，则等于(　　) A．1 B．2 C． D．－ 解析：依题意得，由于函数为奇函数，故，即，对比可得，故选. 例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则( ) A． B． C． D． 解析：为R上的奇函数，则f(0)=0，∴1-a=0，a=1， ，故选：A﹒ 例10.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：为奇函数，为偶函数，且， ，即， ，则，故选：A. 题型四： 利用奇偶性求函数的解析式 例11.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 解析：当时，， 由奇函数的定义可得.故选：D. 例12.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______． 解析：根据题意，设，则，有， 又由为偶函数， 则，即． 例13.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（ ） A． B．2 C．1 D．3 解析：因为①，所以 因为分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以②所以由①、②可得，所以故选：B 例14.若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式. 解析：∵函数是偶函数，函数是奇函数 ∴， ∵∴， 解方程组得:. ∴函数的解析式为. 题型五：奇偶性的常用结论 例15.若为奇函数，为偶函数，且定义域相同，则的奇偶性 。 证明：设 为奇函数，为偶函数，， 则，所以为奇函数 例16.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 解析：令，则,且， 既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令，则,且， 是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C 例17.已知，且，求. 解析：， 例18.设函数，且，则等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5 解析：，,选C 例19.已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间上有最小值为________. 解析： , 题型六：函数奇偶性与单调性 例20.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：由题意是偶函数，且在上单调递增， ∴不等式可变为， ∴，解得．故选：B． 例21.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 解析：由题可知，在区间上单调递减， 又为奇函数，则，且，故， 设，则，故为偶函数， 又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以的解集为， 即的解集为.故选：D. 例22.设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：由得，所以， 故在R上为奇函数， 由在上单调递增，故在R上单调递增， 在上也单增， 由可得， 即，，解得.故选：A. 例23.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：是偶函数，关于对称。使成立，。故选B 例24.已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：对，其定义域为，且，故为上的奇函数； 又当时，，其在单调递减； 当时，，其在单调递减； 又是连续函数，故在上都是单调减函数； 则，即，则，解得． 故选：D． 题型七：抽象函数奇偶性 例25.若函数的图象关于点对称，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 解析：因为函数的图象关于点对称，所以将的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即是奇函数． 故选：C． 例26.．（2021·全国）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B. C. D. 解析：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期．所以． 故选：D． 例27.知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 解： 是偶函数， ，令，则 ， ，即，是奇函数， ，令，则， ，即，由和得： ，令，则，， ，， ，的周期为： ， ， ，，令 ，则， ，.故选：A． 例28．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 解析：因为定义在R上的函数满足， 令，得，即 ，A正确， 令，得，即，函数为奇函数，B正确， 设，则，， 由题，，即， 所以，函数在R上单调递减，所以C错误， 不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误. 故选：AB. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $