培优5：函数的单调性奇偶性对称性周期性【知识梳理+12个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【培优5：函数的性质:函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、奇偶性 1.定义 奇函数：定义域关于原点对称，且对任意满足。 偶函数：定义域关于原点对称，且对任意满足。 2.核心结论 🔴定义域关于原点对称是奇偶性的必要前提，不满足则非奇非偶。 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称。 既是奇函数又是偶函数的唯一形式：（定义域需关于原点对称）。 3.常用二级结论 （1）奇偶性运算（定义域均关于原点对称） 奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数×/÷奇函数=偶函数 偶函数×/÷偶函数=偶函数 奇函数×/÷偶函数=奇函数 （2）复合函数奇偶性（内偶则偶，内奇看外） 外函数为偶函数→复合函数必为偶函数 外函数为奇函数+内函数为奇函数→复合函数为奇函数 外函数为奇函数+内函数为偶函数→复合函数为偶函数 （3）特殊函数结论 （定义域对称）：既奇又偶 （，正比例函数）：奇函数 （，二次函数）：偶函数 4.常见奇偶函数分类 （1）幂函数类（定义域需关于原点对称） 奇函数：、、、（即）、（即） 偶函数：、、（即）、（即） 非奇非偶：（定义域，不对称）、（解析式不满足定义） （2）指数对数类 奇函数： （且） （定义域，且） （且） 非奇非偶：（定义域，但）、（定义域，不对称） （3）分段/复合类 奇函数：（奇×偶=奇） 偶函数：（为任意函数，复合后关于轴对称） 二、单调性 1.定义 增函数：区间内，任意都有。 减函数：区间内，任意都有。 2.核心结论 🔴单调性是区间性质，必须明确“在某区间上单调”，不可脱离区间表述。 判定方法：定义法（作差/作商）、导数法、图像法。 3.常用二级结论 （1）复合函数单调性：同增异减 内外函数单调性相同→复合函数增 内外函数单调性相反→复合函数减 （2）单调性运算 增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 正数×增函数=增函数；负数×增函数=减函数（定义域不变） （3）奇偶性与单调性关联 奇函数：在关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数：在关于原点对称的区间上单调性相反 三、周期性 1.定义 存在非零常数，对任意（和在定义域内），都有，则为函数的一个周期，最小正数为最小正周期。 2.核心结论 若是周期，则（为非零整数）也是周期。 3.常用二级结论 （1）周期推导公式 若→周期 若（）→周期 若（）→周期 若（）→周期 （2）复合函数周期 若周期为，则（）的周期为 （3）奇偶性+周期 奇函数周期为→ 四、对称性 1.定义 轴对称：存在直线，对任意满足，图像关于对称。 中心对称：存在点，对任意满足，图像关于对称。 2.核心结论 特殊对称： 关于（轴）对称→偶函数 关于（原点）对称→奇函数 解析式与对称关系： →对称轴 →对称中心 3.常用二级结论 （1）对称性与周期性关联 两条对称轴、（）→周期 一个对称中心+一条对称轴（）→周期 两个对称中心、（）→周期 （2）常见对称函数 二次函数：对称轴 反比例函数（）：对称中心 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复合函数的单调性】 【解题策略】 一、解题核心逻辑 复合函数的基本形式：，其中是内函数（定义域为），是外函数（值域需落在的定义域内）。 单调性判定法则：“同增异减”——内外函数单调性相同，复合函数为增函数；内外函数单调性相反，复合函数为减函数。 二、四步标准解题策略 1.第一步：求复合函数的定义域（前提） 定义域是内函数的定义域，且需满足外函数有意义（比如外函数是对数函数时，；根号函数时，）。 例：求的单调区间，先求定义域：→，后续单调区间仅在内讨论。 2.第二步：分解内外函数（明确对象） 明确划分（外函数）和（内函数），确保分解后两个函数均为基本初等函数或可直接判断单调性的函数。 例：分解为（外函数），（内函数）；分解为（外函数），（内函数）。 3.第三步：判断内外函数的单调性（关键） 分别找出内函数在定义域内的单调增区间、减区间； 找出外函数在其定义域（即内函数的值域）内的单调增区间、减区间； 4.第四步：用“同增异减”求复合函数单调区间（核心） 列表匹配内外函数的单调性，确定复合函数的单调区间： 内函数 外函数 复合函数 增区间 增区间 增区间 增区间 减区间 减区间 减区间 增区间 减区间 减区间 减区间 增区间 例：延续上题，外函数增，内函数增→复合函数增；内函数减→复合函数减。 三、常用二级结论（速用技巧） 1.外函数为常增函数（如、（）、（））：复合函数的单调性与内函数完全一致。 2.外函数为常减函数（如、（））：复合函数的单调性与内函数完全相反。 3.多层复合（如）：从内到外逐层分解，依次应用“同增异减”，最终叠加判断（如内→中增、中→外减，则内→外减）。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【例题2】（25-26高一上·河南郑州·期中）（1）已知函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河北·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型2：分段函数的单调性】 【解题策略】 三步解题法 1.定定义域：明确分段函数的完整定义域，标注各分段区间（如、）。 2.判段内单调：对每个分段区间，用基本性质（如一次函数斜率、幂函数性质）或作差法，判断该段的单调性（增/减）。 3.验分段点衔接： 增函数要求：左段最大值≤右段最小值（或左段在分段点的函数值≤右段在分段点的函数值）。 减函数要求：左段最小值≥右段最大值（或左段在分段点的函数值≥右段在分段点的函数值）。 分段点处无定义或不连续时，需说明“在各分段区间上单调，整体非单调”。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·浙江·期中）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．， C．若，则的取值范围是 D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 【题型3；由奇偶性求解析式】 【解题策略】 三步解题法 1.定定义域：明确函数定义域是否关于原点对称（奇偶性前提），标注已知解析式的区间（如）和待求区间（如）。 2.转化变量：设待求区间内的任意（如求时，设），则必然落在已知区间（如），代入已知解析式得。 3.用定义推导： 奇函数：，代入化简得待求区间解析式。 偶函数：，直接沿用的化简结果。 4.补分段点（若有）： 定义域含时，奇函数需满足；偶函数可直接代入解析式验证。 关键技巧 定义域必关于原点对称，若已知区间是，待求区间必为，反之亦然。 变量转化时，需明确“在待求区间，在已知区间”，避免符号混乱。 分段函数需分区间写解析式，最终整合为完整分段形式。 易错点 忽略定义域对称：未验证定义域对称直接求解，导致结果无效。 变量符号错误：转化时误将当已知区间变量，或奇函数漏加负号。 遗漏分段点：尤其是奇函数，未补充导致解析式不完整。 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数和的定义域都为是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．，使得 D． 【例题2】【多选题】（25-26高一上·浙江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（　　） A．函数有3个单调区间 B．当时， C．函数有最小值-1 D．不等式的解集是 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·山东临沂·期中）设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则 . 【相似题2】（25-26高一上·湖南·期中）已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4：由奇偶性求参数】 【解题策略】 一、三步解题法 1.定定义域（前提） 明确函数定义域，确保其关于原点对称（奇偶性必要条件）。 若定义域含参数（如分母、根号），先通过对称条件初步限定参数范围（例：分母不为0且对称，根号下表达式非负且对称）。 2.用定义列恒等式（核心） 奇函数：列，代入解析式化简。 偶函数：列，代入解析式化简。 关键：等式需对定义域内所有x恒成立，化简后同类项系数相等、常数项满足对应条件（奇函数常数项为0，偶函数一次项系数为0）。 3.验结果（保障） 将求得的参数代入原函数，验证定义域是否仍关于原点对称。 验证对定义域内所有x恒成立，排除无效参数。 二、关键技巧 1.特殊值速判（限定义域含x=0） 奇函数必满足，可快速列方程求参数（非通用方法，需验证）。 一次函数为奇函数→常数项为0；二次函数为偶函数→一次项系数为0。 2.恒成立条件应用 多项式函数：同类项系数对应相等（如奇函数的偶次项系数为0，偶函数的奇次项系数为0）。 分式/根式函数：化简后消去不对称项（如分式分子含x奇次项时，分母为偶函数则分子无常数项）。 三、易错点规避 忽略定义域对称：仅用定义求参数，未验证定义域对称性，导致参数无效。 化简符号错误：奇函数漏加负号，或未保证等式对所有x恒成立（仅单个x成立）。 滥用特殊值：定义域不含x=0时，误用求参数，需严格按定义推导 例题精选 【例题1】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是偶函数，其中，，则的最大值是（   ） A．0 B． C． D．1 【例题2】（25-26高一上·福建·月考）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为 . 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·安徽六安·月考）若函数（）为奇函数，则实数 ． 【相似题2】（25-26高三上·上海松江·期中）函数（，且）是偶函数，且，则 ． 【题型5：由奇偶性单调性解不等式】 【解题策略】 一、四步解题法 1.明性质：明确函数的奇偶性（奇/偶）、单调区间及增减性（核心前提）。 2.转不等式：利用奇偶性转化不等式，消除负号或统一自变量范围： 奇函数：，可将转化为； 偶函数：，可将转化为（简化运算）。 3.去“f”符号：结合单调性去掉函数符号，注意方向： 增函数：（自变量与函数值同向）； 减函数：（自变量与函数值反向）。 4.验定义域：所有自变量需在函数定义域内，最终解集为“去f后不等式的解∩定义域”。 二、关键技巧 1.偶函数优先用绝对值：若偶函数在单调，可将不等式转化为（增函数）或（减函数），避免讨论正负。 2.奇函数单调性对称用：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，可直接扩展单调区间范围。 3.复杂不等式拆分：含多个函数符号的不等式（如），先通过奇偶性转化为形式，再用单调性。 三、易错点规避 1.忽略定义域：去“f”后解得的自变量范围，必须与原函数定义域取交集，否则解集无效。 2.转化符号错误：奇函数转化时漏加负号，或偶函数未用绝对值导致讨论混乱。 3.单调性与不等式方向不符：减函数去“f”时未反转不等号，增函数误反转。 4.未验证单调区间：自变量需落在同一单调区间内，否则需分区间讨论。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例题2】（天津市红桥区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意两个不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，，都有，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（25-26高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6：构造型奇偶性单调性解不等式】 【解题策略】 一、四步解题法 1.构造新函数（核心步骤） 目标：将原不等式移项、变形，构造出具备奇偶性+单调性的新函数。 常见构造方向： 移项凑和差：原不等式含或，直接设； 乘积型构造：原不等式含、等，设（常为偶函数）、（奇偶性随变化）； 对称型构造：原不等式含，设（必为奇函数）。 2.判的奇偶性+单调性 奇偶性：按奇偶性定义判定（代入，化简看是否等于），确保定义域关于原点对称； 单调性：用定义法（作差）或基本性质（如增+增=增、奇×偶=奇且单调叠加），判定的单调区间及增减性。 3.转化原不等式为的不等式 将原不等式通过移项、变形，转化为的形式； 示例：原不等式，构造，可转化为。 4.用性质求解集 奇偶性转化：如，奇函数可化为（即），偶函数可化为（进一步用单调性）； 单调性去“h”：增函数→，减函数→； 验定义域：最终解集为“去函数符号后的解∩的定义域”。 二、关键技巧（常见构造类型速记） 1.乘积型构造（优先选，易凑奇偶+单调） ：若为奇函数，则为偶函数；若单调，单调性可通过“同增异减”判定（x在增）； ：若为奇函数，则为奇函数；x²恒正，单调性与一致。 2.和差型构造（针对含式子） ：必为奇函数，单调性=单调性+单调性（可叠加）； ：必为偶函数，单调性需结合在的增减性。 3.常数凑配型（针对含常数项的不等式） 原不等式含，可构造，先判的奇偶性（若奇，则奇需），再判单调。 三、易错点规避 1.构造无效函数：未确保同时具备奇偶性和单调性，导致无法转化不等式； 2.构造时移项错误：符号出错会导致后续转化全部失效，移项后需验证等价性； 3.忽略新函数定义域：的定义域需同时满足原函数所有条件，且关于原点对称（奇偶性前提）； 4.单调性判定片面：仅判断局部单调，未确认自变量是否落在同一单调区间，导致去符号错误。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数，不等式的解集为 ． 【相似题2】（25-26高一上·河南·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7：抽象函数的奇偶性单调性】 【解题策略】 一、四步解题法 1.赋值探性（突破无解析式） 核心目标：通过赋特殊值，求出、建立与的关系，为判奇偶性铺垫。 常用赋值方式： 赋：求（如得）； 赋：建立与的等式（如）； 赋（）：为判单调性准备（如，转化的符号）。 2.判奇偶性（定义法） 前提：先通过赋值或已知条件，确认函数定义域关于原点对称。 判定步骤： 由赋值得到的与的关系，对照定义： 若（且）→奇函数； 若→偶函数。 3.判单调性（定义法） 核心逻辑：任取定义域内，转化的符号（正→增，负→减）。 转化技巧： 利用已知恒等式：将变形为，结合已知条件（如）拆分； 结合奇偶性：将转化为（奇函数），再利用已知条件判断符号。 4.解不等式/求参数（应用性质） 不等式转化：利用奇偶性消除负号（如），将不等式化为形式； 去“f”符号：增函数→，减函数→； 限定范围：解集需与函数定义域取交集，参数需满足单调性、奇偶性的前提条件。 二、关键技巧（速解核心） 1.常用赋值模板： 已知：先赋得，再赋得奇函数； 已知：先赋得，再赋得（偶函数）。 2.单调性递推技巧： 若已知时，奇函数可推（）→增函数； 偶函数优先用，将不等式转化为，简化讨论。 3.抽象函数常见模型： 满足：正比例函数模型（奇函数+单调）； 满足：对数函数模型（偶函数+定义域，单调）。 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·吉林长春·期中）已知满足，且时，，．则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【例题2】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【题型8：判断函数的对称性】 【解题策略】 一、三步解题法 1.明确对称类型（目标） 需判断的两类核心对称： 轴对称：图像关于某直线对称； 中心对称：图像关于某点对称。 优先观察函数类型（如二次函数必轴对称、反比例函数必中心对称），初步锁定方向。 2.选判定方法（核心） （1）定义法（通用万能） 轴对称判定：任取定义域内，若恒成立，则函数关于直线对称； 中心对称判定：任取定义域内，若恒成立，则函数关于点对称； 关键：$a、b$可通过特殊值（如、）初步求解，再验证对所有恒成立。 （2）解析式特征法（快速匹配） 轴对称特征：解析式满足，则对称轴为； 中心对称特征：解析式满足，则对称中心为； 特殊情况：（关于对称，即偶函数）；（关于对称，即奇函数）。 3.验证定义域（前提） 对称的必要条件：函数定义域关于“对称轴”或“对称中心横坐标”对称； 例：若对称轴为，则定义域需满足“若在定义域内，則也在定义域内”，否则不对称。 二、关键技巧（速判核心） 1.特殊值速求对称参数： 求对称轴：令和，若，初步确定，再验证恒成立； 求对称中心：令和，若，初步确定$a、b$，再验证恒成立。 2.常见函数对称结论（直接套用）： 二次函数：对称轴（无中心对称）； 反比例函数：对称中心（无轴对称）； 绝对值函数：对称轴（无中心对称）。 3.对称性与奇偶性关联： 偶函数→特殊轴对称（）； 奇函数→特殊中心对称（）； 若函数既关于对称，又关于对称，则函数必为周期函数（周期）。 三、易错点规避 1.混淆解析式形式：误将中心对称的“”写成“”，导致类型判断错误； 2.忽略定义域对称：仅满足解析式恒成立，未验证定义域对称，导致结论无效； 3.特殊值代替恒成立：仅通过1-2个特殊值满足等式，未验证对所有定义域内成立，导致误判。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数（且）， (1)若函数为奇函数，求的最小值； (2)探究函数是否存在对称中心，若存在，求出a，b需要满足的条件及对称中心并说明理由； (3)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数a的取值范围. 【例题2】（湖北省2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)当时，求的值. 【相似题2】（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数. (1)证明：函数的图象关于对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型9：由对称性求参数】 【解题策略】 一、四步解题法 1.定对称类型（明确目标） 先确定题目要求的对称类型：轴对称（关于直线）或中心对称（关于点）。 结合函数形式初步预判（如二次函数仅需求轴对称参数，反比例函数仅需求中心对称参数）。 2.列对称恒等式（核心步骤） 轴对称：根据定义列，或由特征式列（需求对称轴参数或直接求参数）； 中心对称：根据定义列，或由特征式列； 关键：将函数解析式代入恒等式，整理化简为关于x的多项式或代数式。 3.利用恒成立求参数（核心逻辑） 多项式函数：同类项系数对应相等、常数项满足等式（如化简后x的一次项系数为0、常数项相等）； 非多项式函数（分式、绝对值等）：消去x的变量项，得到关于参数的方程（组），求解参数； 示例：代入后得到对所有x恒成立，则且，解得参数。 4.验证定义域对称（前提保障） 将求得的参数代入原函数，验证定义域是否关于“对称轴”或“对称中心横坐标”对称； 若定义域含参数（如分式分母、根号），需确保对称条件满足（如对称轴为时，定义域需满足和同时在定义域内）。 二、关键技巧（速解核心） 1.特殊值速求参数（初步定位） 对轴对称：令和，代入得，列方程初步求，再验证恒成立； 对中心对称：令和，代入得，列方程初步求$a、b$，再验证恒成立。 2.常见函数参数求解模板 二次函数（求对称轴参数）： 已知关于对称，直接用求解参数（a、b、m中任一未知）； 反比例函数（求对称中心参数）： 已知关于对称，直接得、，求解未知参数； 绝对值函数（求对称轴参数）： 已知关于对称，令得，求解参数。 3.多参数求解技巧 若恒等式化简后得到多个关于参数的方程，联立方程组求解； 优先消去x的高次项，从系数为0的条件入手，逐步缩小参数范围。 三、易错点规避 1.恒成立条件误用：仅让特殊值满足等式，未保证对所有x恒成立，导致参数解不唯一或错误； 2.定义域验证遗漏：求得参数后未验证定义域对称，导致结果无效； 3.对称恒等式写错：混淆轴对称和中心对称的等式形式（如中心对称漏加“+f(x)”或“2b”）； 4.化简符号错误：代入时，括号展开符号出错，导致后续恒等式化简错误。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由． 【例题2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数的图象关于直线对称，则 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 【相似题2】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【题型10：奇偶性对称性周期性综合求值】 【解题策略】 一、三步解题法 1.梳理已知性质（基础） 列出题目给出的所有条件：奇偶性（奇/偶）、对称轴/对称中心、周期（或可推导周期的条件）。 标注已知函数值的区间（如、时的解析式），明确转化目标（将待求自变量转到该区间）。 优先推导周期：利用对称性与周期性的关联结论，求出最小正周期（核心转化工具）。 2.转化自变量（核心） 周期转化：用（为整数），将待求自变量缩小为，使落在“接近已知区间”的范围（如）。 奇偶性转化：若为负数，用奇函数或偶函数，转化为正数。 对称性转化：若仍超出已知区间，用对称轴或对称中心，调整为已知区间内的。 关键：按“周期→奇偶性→对称性”的顺序转化，逐步缩小范围，避免混乱。 3.代入求值（收尾） 将最终转化后的，代入已知函数值或解析式，计算结果。 若涉及对称中心，需结合补全数值（如对称中心，则）。 例题精选 【例题1】（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高二上学期第三次（期中）联考数学试题）已知奇函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】【多选题】（25-26高一上·山东·期中）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（    ） A． B．， C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知函数满足，当时，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【相似题2】（25-26高三上·山西运城·期中）已知定义在上的函数满足：是偶函数，，且当时，，则 ． 【题型11：抽象函数的奇偶性对称性周期性综合】 【解题策略】 一、四步核心解题法 1.赋值探基础（突破无解析式） 核心目标：通过赋值求、建立与关系、验证对称性，为后续性质推导铺垫。 必用赋值模板： 求：赋（或），如赋得； 探奇偶性：赋，结合得与的关系（奇函数，偶函数）； 验对称性：赋、（轴对称）或、结合（中心对称），验证对称等式。 2.串性质推周期（核心衔接） 核心逻辑：抽象函数综合题的关键是推导周期，用“奇偶性+对称性”的组合公式快速求最小正周期： 组合1：偶函数+对称轴→周期； 组合2：奇函数+对称中心→周期； 组合3：对称轴+对称轴（）→周期； 组合4：对称中心+对称轴（）→周期； 组合5：对称中心+对称中心（）→周期。 3.转化自变量（核心求解工具） 转化顺序：按“周期缩围→奇偶性消负→对称性微调”逐步转化，将未知自变量转化到“已知条件区间”（如含、单调性区间）： 周期缩围：用（为整数），将缩至或； 奇偶性消负：若缩围后为负数，用奇函数或偶函数转化为非负数； 对称性微调：若仍超出已知范围，用对称轴或对称中心（奇函数+中心对称）调整至目标区间。 4.定向求解（落地问题） 按题目目标针对性解题： 求值：转化后直接代入已知函数值（如）或赋值得到的等式； 判单调性：用定义法（任取，结合周期、奇偶性转化，判符号）； 解不等式：转化为形式，用单调性去“”符号，结合定义域得解集； 求参数：通过性质推导建立参数方程（如周期列方程），联立求解后验证。 二、关键技巧（速解核心） 1.赋值优先级：先赋、（探基础性质）→再赋（验对称）→最后赋（推递推关系），避免盲目赋值。 2.性质串联速记：“对称+对称=周期，奇偶+对称=周期”，核心记住3个高频周期公式（对称轴+对称轴→2|a-b|；中心+对称轴→4|a-b|；奇偶+对称→2|a|）。 3.抽象函数模型联想：遇到联想正比例函数（奇+单调）；联想对数函数（偶+定义域），辅助性质预判。 4.多层复合转化：按“从内到外”逐层应用性质，如先转化的范围，再用的性质，避免跳步。 三、易错点规避 1.赋值无逻辑：盲目赋特殊值，未围绕“探奇偶、验对称、推周期”目标，导致推导中断； 2.周期推导错误：混淆“中心+对称轴”“对称轴+对称轴”的周期公式（如误将4|a-b|记为2|a-b|）； 3.转化符号混乱：奇函数转化时漏加负号，或对称中心公式写错（如误写为）； 4.忽略定义域对称：抽象函数所有性质的前提是定义域对称，未验证导致后续推导无效； 5.单调性判断跳步：未通过定义法验证，直接套用模型单调性，导致错误。 例题精选 【例题1】【多选题】（2025·云南昭通·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 【例题2】【多选题】（25-26高三上·安徽滁州·阶段练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．关于对称 相似练习 【相似题1】【多选题】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．若，则 【相似题2】【多选题】（25-26高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【题型12：类周期函数】 【解题策略】 一、四步核心解题法 1.明确类周期条件（基础） 类周期函数核心特征：存在常数、，满足递推关系（常见3类）： 基本型：（最高频）； 反向型：（可转化为）； 带常数项型：（需构造消常数）。 标注已知条件：明确已知解析式的区间（如时的表达式）、待求目标（求值/解不等式/求参数）。 2.缩围自变量（核心） 目标：将待求自变量转化到已知解析式的区间（如、）。 转化方法：设（为整数，或对应已知区间），通过类周期递推“降次”： 基本型：（递推次，每次加）； 反向型：（递推次，每次减）； 关键：（向下取整），确保落在已知区间。 3.递推转化（核心运算） 无常数项型：直接套用上述递推式，代入和，关联已知解析式； 带常数项型：先构造新函数消常数，再递推： 构造（推导：令）； 转化为基本型，按步骤2递推后，再还原。 4.定向求解（落地目标） 求值：将转化后的（在已知区间）代入解析式，再乘（或），得到结果； 解不等式：先转化不等式两端的自变量到已知区间，代入解析式列不等式，结合的正负（影响不等号方向）求解，最终还原自变量范围； 求参数：通过递推关系建立参数方程（如列关于参数的等式），联立求解后验证类周期条件。 二、关键技巧（速解核心） 1.区间拆分模板：若已知的解析式，可按拆分任意为，； 2.的快速计算：正数用（），负数需调整使落在已知区间（如，取，）； 3.符号处理：时，的符号随奇偶变化，需注意与已知解析式的符号叠加； 4.多段类周期：若函数在不同区间有不同类周期参数（如是，是），按区间分段递推，逐段降次。 三、易错点规避 1.递推方向错误：混淆与，导致与用反； 2.计算错误：未按“落在已知区间”调整，导致超出范围，代入无效； 3.带常数项漏构造：直接套用无常数项递推式，忽略常数项对结果的影响； 4.误判：时是周期函数（非类周期），需切换为周期函数解题逻辑； 5.定义域忽略：转化后的需在已知解析式的定义域内，否则递推无效。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时， . 【例题2】 （23-24高二上·河北保定·开学考试）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（22-23高二下·浙江温州·期中）已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（22-23高三上·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 3．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北保定·期末）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 6．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 8．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（   ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（    ） A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 11．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 12．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是（   ） A． B． C．2 D．3 三、填空题 13．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 14．（24-25高一上·江西·期末）已知函数，则满足不等式的的取值范围为 ． 15．（24-25高一上·广东·期末）已知函数.记，则（1） ；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为 . 16．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的图像关于直线对称，则 . 四、解答题 17．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知函数. (1)比较，的大小关系； (2)证明：函数的图象关于直线对称； (3)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围. 19．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 20．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【培优5：函数的性质:函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、奇偶性 1.定义 奇函数：定义域关于原点对称，且对任意满足。 偶函数：定义域关于原点对称，且对任意满足。 2.核心结论 🔴定义域关于原点对称是奇偶性的必要前提，不满足则非奇非偶。 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称。 既是奇函数又是偶函数的唯一形式：（定义域需关于原点对称）。 3.常用二级结论 （1）奇偶性运算（定义域均关于原点对称） 奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数×/÷奇函数=偶函数 偶函数×/÷偶函数=偶函数 奇函数×/÷偶函数=奇函数 （2）复合函数奇偶性（内偶则偶，内奇看外） 外函数为偶函数→复合函数必为偶函数 外函数为奇函数+内函数为奇函数→复合函数为奇函数 外函数为奇函数+内函数为偶函数→复合函数为偶函数 （3）特殊函数结论 （定义域对称）：既奇又偶 （，正比例函数）：奇函数 （，二次函数）：偶函数 4.常见奇偶函数分类 （1）幂函数类（定义域需关于原点对称） 奇函数：、、、（即）、（即） 偶函数：、、（即）、（即） 非奇非偶：（定义域，不对称）、（解析式不满足定义） （2）指数对数类 奇函数： （且） （定义域，且） （且） 非奇非偶：（定义域，但）、（定义域，不对称） （3）分段/复合类 奇函数：（奇×偶=奇） 偶函数：（为任意函数，复合后关于轴对称） 二、单调性 1.定义 增函数：区间内，任意都有。 减函数：区间内，任意都有。 2.核心结论 🔴单调性是区间性质，必须明确“在某区间上单调”，不可脱离区间表述。 判定方法：定义法（作差/作商）、导数法、图像法。 3.常用二级结论 （1）复合函数单调性：同增异减 内外函数单调性相同→复合函数增 内外函数单调性相反→复合函数减 （2）单调性运算 增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 正数×增函数=增函数；负数×增函数=减函数（定义域不变） （3）奇偶性与单调性关联 奇函数：在关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数：在关于原点对称的区间上单调性相反 三、周期性 1.定义 存在非零常数，对任意（和在定义域内），都有，则为函数的一个周期，最小正数为最小正周期。 2.核心结论 若是周期，则（为非零整数）也是周期。 3.常用二级结论 （1）周期推导公式 若→周期 若（）→周期 若（）→周期 若（）→周期 （2）复合函数周期 若周期为，则（）的周期为 （3）奇偶性+周期 奇函数周期为→ 四、对称性 1.定义 轴对称：存在直线，对任意满足，图像关于对称。 中心对称：存在点，对任意满足，图像关于对称。 2.核心结论 特殊对称： 关于（轴）对称→偶函数 关于（原点）对称→奇函数 解析式与对称关系： →对称轴 →对称中心 3.常用二级结论 （1）对称性与周期性关联 两条对称轴、（）→周期 一个对称中心+一条对称轴（）→周期 两个对称中心、（）→周期 （2）常见对称函数 二次函数：对称轴 反比例函数（）：对称中心 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复合函数的单调性】 【解题策略】 一、解题核心逻辑 复合函数的基本形式：，其中是内函数（定义域为），是外函数（值域需落在的定义域内）。 单调性判定法则：“同增异减”——内外函数单调性相同，复合函数为增函数；内外函数单调性相反，复合函数为减函数。 二、四步标准解题策略 1.第一步：求复合函数的定义域（前提） 定义域是内函数的定义域，且需满足外函数有意义（比如外函数是对数函数时，；根号函数时，）。 例：求的单调区间，先求定义域：→，后续单调区间仅在内讨论。 2.第二步：分解内外函数（明确对象） 明确划分（外函数）和（内函数），确保分解后两个函数均为基本初等函数或可直接判断单调性的函数。 例：分解为（外函数），（内函数）；分解为（外函数），（内函数）。 3.第三步：判断内外函数的单调性（关键） 分别找出内函数在定义域内的单调增区间、减区间； 找出外函数在其定义域（即内函数的值域）内的单调增区间、减区间； 4.第四步：用“同增异减”求复合函数单调区间（核心） 列表匹配内外函数的单调性，确定复合函数的单调区间： 内函数 外函数 复合函数 增区间 增区间 增区间 增区间 减区间 减区间 减区间 增区间 减区间 减区间 减区间 增区间 例：延续上题，外函数增，内函数增→复合函数增；内函数减→复合函数减。 三、常用二级结论（速用技巧） 1.外函数为常增函数（如、（）、（））：复合函数的单调性与内函数完全一致。 2.外函数为常减函数（如、（））：复合函数的单调性与内函数完全相反。 3.多层复合（如）：从内到外逐层分解，依次应用“同增异减”，最终叠加判断（如内→中增、中→外减，则内→外减）。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【答案】A 【分析】先确定函数定义域，再结合函数奇偶性的定义判断其奇偶性，最后结合复合函数的单调性，即可判断其单调性. 【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称， 则，所以为奇函数； 由， 因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数. 故选：A 【例题2】（25-26高一上·河南郑州·期中）（1）已知函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）需结合对数函数与二次函数的单调性，利用复合函数同增异减原则求解； （2）结合指数函数和反比例型函数的单调性，利用复合函数同增异减原则求解. 【详解】（1）函数是复合函数， 由对数函数与二次函数复合而成， 根据复合函数“同增异减”的原则，因为对数函数单调递增， 所以要使在上单调递增，需满足两个条件： 内层函数在上单调递增；内层函数在上恒大于； 是开口向上的二次函数，对称轴为， 若在上单调递增，则对称轴需在区间左侧，即，解得， 因为在上单调递增，所以时最小，即， 因为， 所以，解得或， 综上：； （2）令，则原函数，外层函数在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的性质，要使在上单调递增， 内层函数需在上单调递增； 将变形为，其为反比例函数经过平移得到的函数， 要使其在上单调递增，则需满足分子分母的系数关系： 当时，函数在区间和上单调递增。 为保证其在上单调递增，需满足，即， 当时，，，为常函数，不满足在上单调递增，舍去； 当时，在和上单调递减，不满足在上单调递增，舍去； 综合以上分析，需满足. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河北·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 【相似题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】函数由和复合而成， 因为在区间上单调递减，而单调递增， 所以在区间上单调递减， 因为，如图， 所以 解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 【题型2：分段函数的单调性】 【解题策略】 三步解题法 1.定定义域：明确分段函数的完整定义域，标注各分段区间（如、）。 2.判段内单调：对每个分段区间，用基本性质（如一次函数斜率、幂函数性质）或作差法，判断该段的单调性（增/减）。 3.验分段点衔接： 增函数要求：左段最大值≤右段最小值（或左段在分段点的函数值≤右段在分段点的函数值）。 减函数要求：左段最小值≥右段最大值（或左段在分段点的函数值≥右段在分段点的函数值）。 分段点处无定义或不连续时，需说明“在各分段区间上单调，整体非单调”。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递增， 则，解得或. 由函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 【例题2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·浙江·期中）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，进而可得解. 【详解】.解：由条件可知函数在的定义域内单调递减， 所以满足， 所以， 故选：B 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．， C．若，则的取值范围是 D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】因为， 对于A，当时，， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即，解得， 即的取值范围为，故A正确； 对于B，∵， 即对所有的都成立， 因为函数是定义在上的减函数， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以在上单调递减，又，所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 【题型3；由奇偶性求解析式】 【解题策略】 三步解题法 1.定定义域：明确函数定义域是否关于原点对称（奇偶性前提），标注已知解析式的区间（如）和待求区间（如）。 2.转化变量：设待求区间内的任意（如求时，设），则必然落在已知区间（如），代入已知解析式得。 3.用定义推导： 奇函数：，代入化简得待求区间解析式。 偶函数：，直接沿用的化简结果。 4.补分段点（若有）： 定义域含时，奇函数需满足；偶函数可直接代入解析式验证。 关键技巧 定义域必关于原点对称，若已知区间是，待求区间必为，反之亦然。 变量转化时，需明确“在待求区间，在已知区间”，避免符号混乱。 分段函数需分区间写解析式，最终整合为完整分段形式。 易错点 忽略定义域对称：未验证定义域对称直接求解，导致结果无效。 变量符号错误：转化时误将当已知区间变量，或奇函数漏加负号。 遗漏分段点：尤其是奇函数，未补充导致解析式不完整。 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数和的定义域都为是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．，使得 D． 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性定义计算可判断A；构造方程组，求得解析式，计算可判断B；设，则，得出矛盾，可判断C；由作差法可得，根据函数在上单调递增可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 因为是偶函数，所以， 因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以， 因为，， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 即，此方程无解，故C错误； 对于D，因为， 所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以成立，故D正确. 故选：ABD 【例题2】【多选题】（25-26高一上·浙江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（　　） A．函数有3个单调区间 B．当时， C．函数有最小值-1 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】先根据偶函数的性质求出时函数的表达式，再分析函数的单调性、最值以及不等式的解集即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，，当时，， 又当时，，， 故当时，，正确. 当时，，在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，其图像关于轴对称，在单调递减，在单调递增， 因此，函数有个单调区间，错误. 由以上可知，在和取得最小值，将代入可得，，正确. 当时，，解得， 当时，，，解得， 综上，不等式的解集是，错误. 故选： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·山东临沂·期中）设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则 . 【答案】 【分析】通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式. 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即，得. 将代入， 得：, , , . 故答案为：. 【相似题2】（25-26高一上·湖南·期中）已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，把在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， 且， 用代换，可得，可得， 联立方程组，解得， 又因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，可得，设，设，其中， 由函数的图象开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，所以，所以， 所以实数的取值范围. 故选：B. 【题型4：由奇偶性求参数】 【解题策略】 一、三步解题法 1.定定义域（前提） 明确函数定义域，确保其关于原点对称（奇偶性必要条件）。 若定义域含参数（如分母、根号），先通过对称条件初步限定参数范围（例：分母不为0且对称，根号下表达式非负且对称）。 2.用定义列恒等式（核心） 奇函数：列，代入解析式化简。 偶函数：列，代入解析式化简。 关键：等式需对定义域内所有x恒成立，化简后同类项系数相等、常数项满足对应条件（奇函数常数项为0，偶函数一次项系数为0）。 3.验结果（保障） 将求得的参数代入原函数，验证定义域是否仍关于原点对称。 验证对定义域内所有x恒成立，排除无效参数。 二、关键技巧 1.特殊值速判（限定义域含x=0） 奇函数必满足，可快速列方程求参数（非通用方法，需验证）。 一次函数为奇函数→常数项为0；二次函数为偶函数→一次项系数为0。 2.恒成立条件应用 多项式函数：同类项系数对应相等（如奇函数的偶次项系数为0，偶函数的奇次项系数为0）。 分式/根式函数：化简后消去不对称项（如分式分子含x奇次项时，分母为偶函数则分子无常数项）。 三、易错点规避 忽略定义域对称：仅用定义求参数，未验证定义域对称性，导致参数无效。 化简符号错误：奇函数漏加负号，或未保证等式对所有x恒成立（仅单个x成立）。 滥用特殊值：定义域不含x=0时，误用求参数，需严格按定义推导 例题精选 【例题1】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是偶函数，其中，，则的最大值是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义推得，代入消元后，利用二次函数的单调性求其最大值即可. 【详解】因函数是偶函数， 则，整理得， 因不恒为0，则，即， 则. 故当 时，的最大值是. 故选：B. 【例题2】（25-26高一上·福建·月考）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为 . 【答案】5 【分析】根据定义域关于原点对称求出，由求出，然后结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 又，所以，得， 所以，定义域为， 由二次函数性质可知，当时，有最大值. 故答案为：5 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·安徽六安·月考）若函数（）为奇函数，则实数 ． 【答案】/0.5 【分析】先根据奇函数的定义列方程求出的值，再利用奇函数的性质验证结果． 【详解】为奇函数，定义域为R， 所以，此时， ，所以函数为奇函数，满足题意， ． 故答案为：． 【相似题2】（25-26高三上·上海松江·期中）函数（，且）是偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而代入求解即可. 【详解】因为是偶函数，则， 可得，所以， 则或，即或（舍去）， 则，而， 则，又，所以. 故答案为：. 【题型5：由奇偶性单调性解不等式】 【解题策略】 一、四步解题法 1.明性质：明确函数的奇偶性（奇/偶）、单调区间及增减性（核心前提）。 2.转不等式：利用奇偶性转化不等式，消除负号或统一自变量范围： 奇函数：，可将转化为； 偶函数：，可将转化为（简化运算）。 3.去“f”符号：结合单调性去掉函数符号，注意方向： 增函数：（自变量与函数值同向）； 减函数：（自变量与函数值反向）。 4.验定义域：所有自变量需在函数定义域内，最终解集为“去f后不等式的解∩定义域”。 二、关键技巧 1.偶函数优先用绝对值：若偶函数在单调，可将不等式转化为（增函数）或（减函数），避免讨论正负。 2.奇函数单调性对称用：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，可直接扩展单调区间范围。 3.复杂不等式拆分：含多个函数符号的不等式（如），先通过奇偶性转化为形式，再用单调性。 三、易错点规避 1.忽略定义域：去“f”后解得的自变量范围，必须与原函数定义域取交集，否则解集无效。 2.转化符号错误：奇函数转化时漏加负号，或偶函数未用绝对值导致讨论混乱。 3.单调性与不等式方向不符：减函数去“f”时未反转不等号，增函数误反转。 4.未验证单调区间：自变量需落在同一单调区间内，否则需分区间讨论。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 【例题2】（天津市红桥区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意两个不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为当，且时，， 所以函数在上单调递减. 又函数为偶函数， 所以， 所以. 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合函数分析可知函数是奇函数，且在上是增函数，从而将问题转化为不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数分析即可求解. 【详解】函数的定义域为， 由于， 则，所以函数为定义在上的奇函数． 当时，在上是增函数， 所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数， 由可得， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为． 故答案为： 【相似题2】（25-26高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出函数的草图，结合草图再分，解出不等式. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以函数关于轴对称， 又函数在上单调递增且，所以函数的草图如下： 所以不等式等价于： ①， ②， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【题型6：构造型奇偶性单调性解不等式】 【解题策略】 一、四步解题法 1.构造新函数（核心步骤） 目标：将原不等式移项、变形，构造出具备奇偶性+单调性的新函数。 常见构造方向： 移项凑和差：原不等式含或，直接设； 乘积型构造：原不等式含、等，设（常为偶函数）、（奇偶性随变化）； 对称型构造：原不等式含，设（必为奇函数）。 2.判的奇偶性+单调性 奇偶性：按奇偶性定义判定（代入，化简看是否等于），确保定义域关于原点对称； 单调性：用定义法（作差）或基本性质（如增+增=增、奇×偶=奇且单调叠加），判定的单调区间及增减性。 3.转化原不等式为的不等式 将原不等式通过移项、变形，转化为的形式； 示例：原不等式，构造，可转化为。 4.用性质求解集 奇偶性转化：如，奇函数可化为（即），偶函数可化为（进一步用单调性）； 单调性去“h”：增函数→，减函数→； 验定义域：最终解集为“去函数符号后的解∩的定义域”。 二、关键技巧（常见构造类型速记） 1.乘积型构造（优先选，易凑奇偶+单调） ：若为奇函数，则为偶函数；若单调，单调性可通过“同增异减”判定（x在增）； ：若为奇函数，则为奇函数；x²恒正，单调性与一致。 2.和差型构造（针对含式子） ：必为奇函数，单调性=单调性+单调性（可叠加）； ：必为偶函数，单调性需结合在的增减性。 3.常数凑配型（针对含常数项的不等式） 原不等式含，可构造，先判的奇偶性（若奇，则奇需），再判单调。 三、易错点规避 1.构造无效函数：未确保同时具备奇偶性和单调性，导致无法转化不等式； 2.构造时移项错误：符号出错会导致后续转化全部失效，移项后需验证等价性； 3.忽略新函数定义域：的定义域需同时满足原函数所有条件，且关于原点对称（奇偶性前提）； 4.单调性判定片面：仅判断局部单调，未确认自变量是否落在同一单调区间，导致去符号错误。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】由，则， 即有，令， 则当且时，有， 故在上单调递增， 由是定义在上的偶函数， 则， 故也是定义在上的偶函数， 则，即， 又， 则可化为， 化简得，故， 即有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【例题2】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数性质，推断出的奇偶性，再利用在上的单调性，推断出在上的单调性，再对不等式进行变形，从而利用 的单调性求解. 【详解】因是定义在上的偶函数，所以对，有. 因此对，有，即函数是偶函数. 因在上单调递增，所以在上单调递减. 不等式变形得，即，即. 由于在上单调递减，所以，解得或. 因此不等式的解集为， 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题知，进而将问题转化为，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：由题知， 所以， 所以，即， 因为函数为上的增函数， 所以为上的增函数， 所以为上的减函数， 又因为为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以，解得， 所以，不等式的解集为 故答案为： 【相似题2】（25-26高一上·河南·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题可得的奇偶性，单调性，据此可得答案. 【详解】由题，. 令，， 又定义域为R，则为奇函数. 函数均在定义域内单调递减， 则为R上的单调递减函数. . 故选：C 【题型7：抽象函数的奇偶性单调性】 【解题策略】 一、四步解题法 1.赋值探性（突破无解析式） 核心目标：通过赋特殊值，求出、建立与的关系，为判奇偶性铺垫。 常用赋值方式： 赋：求（如得）； 赋：建立与的等式（如）； 赋（）：为判单调性准备（如，转化的符号）。 2.判奇偶性（定义法） 前提：先通过赋值或已知条件，确认函数定义域关于原点对称。 判定步骤： 由赋值得到的与的关系，对照定义： 若（且）→奇函数； 若→偶函数。 3.判单调性（定义法） 核心逻辑：任取定义域内，转化的符号（正→增，负→减）。 转化技巧： 利用已知恒等式：将变形为，结合已知条件（如）拆分； 结合奇偶性：将转化为（奇函数），再利用已知条件判断符号。 4.解不等式/求参数（应用性质） 不等式转化：利用奇偶性消除负号（如），将不等式化为形式； 去“f”符号：增函数→，减函数→； 限定范围：解集需与函数定义域取交集，参数需满足单调性、奇偶性的前提条件。 二、关键技巧（速解核心） 1.常用赋值模板： 已知：先赋得，再赋得奇函数； 已知：先赋得，再赋得（偶函数）。 2.单调性递推技巧： 若已知时，奇函数可推（）→增函数； 偶函数优先用，将不等式转化为，简化讨论。 3.抽象函数常见模型： 满足：正比例函数模型（奇函数+单调）； 满足：对数函数模型（偶函数+定义域，单调）。 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·吉林长春·期中）已知满足，且时，，．则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据赋值法，从而判断抽象函数的奇偶性，单调性，从而判断各选项. 【详解】对于A，令可得，所以， 令，得， ，即， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，设，则， ， 又，即， ， 所以是定义在上的增函数，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，即， 又是定义在上的增函数， ，解得， 不等式的解集为，故D错误； 故选：ABC． 【例题2】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)为上的奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法可求、； （2）利用奇函数的定义可证为上的奇函数； （3）利用函数单调性的定义可证为上的减函数，从而可得，再就的不同取值分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）由题设有，， . （2）为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. （3）为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数是奇函数，然后判断该函数是减函数，进而根据奇偶性对不等式进行化简，最后根据单调性求解不等式的解集. 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 【相似题2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）在上是单调递减的函数， 理由如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （2）令 ，得 ，所以 ． 令 ，得 ， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 【题型8：判断函数的对称性】 【解题策略】 一、三步解题法 1.明确对称类型（目标） 需判断的两类核心对称： 轴对称：图像关于某直线对称； 中心对称：图像关于某点对称。 优先观察函数类型（如二次函数必轴对称、反比例函数必中心对称），初步锁定方向。 2.选判定方法（核心） （1）定义法（通用万能） 轴对称判定：任取定义域内，若恒成立，则函数关于直线对称； 中心对称判定：任取定义域内，若恒成立，则函数关于点对称； 关键：$a、b$可通过特殊值（如、）初步求解，再验证对所有恒成立。 （2）解析式特征法（快速匹配） 轴对称特征：解析式满足，则对称轴为； 中心对称特征：解析式满足，则对称中心为； 特殊情况：（关于对称，即偶函数）；（关于对称，即奇函数）。 3.验证定义域（前提） 对称的必要条件：函数定义域关于“对称轴”或“对称中心横坐标”对称； 例：若对称轴为，则定义域需满足“若在定义域内，則也在定义域内”，否则不对称。 二、关键技巧（速判核心） 1.特殊值速求对称参数： 求对称轴：令和，若，初步确定，再验证恒成立； 求对称中心：令和，若，初步确定$a、b$，再验证恒成立。 2.常见函数对称结论（直接套用）： 二次函数：对称轴（无中心对称）； 反比例函数：对称中心（无轴对称）； 绝对值函数：对称轴（无中心对称）。 3.对称性与奇偶性关联： 偶函数→特殊轴对称（）； 奇函数→特殊中心对称（）； 若函数既关于对称，又关于对称，则函数必为周期函数（周期）。 三、易错点规避 1.混淆解析式形式：误将中心对称的“”写成“”，导致类型判断错误； 2.忽略定义域对称：仅满足解析式恒成立，未验证定义域对称，导致结论无效； 3.特殊值代替恒成立：仅通过1-2个特殊值满足等式，未验证对所有定义域内成立，导致误判。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数（且）， (1)若函数为奇函数，求的最小值； (2)探究函数是否存在对称中心，若存在，求出a，b需要满足的条件及对称中心并说明理由； (3)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据函数为奇函数，可求出的关系式，结合配方法即可求得答案； （2）根据函数对称性得定义列式求解； （3）根据函数为偶函数，可求出的关系式，分离参数，将不等式恒成立转化为最值问题，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 由于函数为奇函数，则， 即，解得， 因为，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）a，b需要满足，且对称中心为. 设存在对称中心，则对于任意，都有， 代入可得恒成立， 而不是常数，所以只有且， 所以，. 所以存在对称中心，对称中心为，满足. （3）由于函数为偶函数，则在上恒成立， 即，解得， 因为不恒等于0，所以，即， 因为在上恒成立， 所以恒成立， 令，则有，当且仅当时取等号， 则恒成立，等价于，恒成立， 所以，而在上单调递增，故， 所以，所以. 【例题2】（湖北省2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)当时，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用函数的奇偶性证明即可； （2）利用函数的对称性结合倒序相加法计算即可. 【详解】（1）易知，， 则为奇函数，所以的图象关于原点中心对称，证毕； （2）由上的图象关于原点中心对称，知的图象关于中心对称，所以， 即， ， 两式相加得 ， 所以. 【相似题2】（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数. (1)证明：函数的图象关于对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由对称性定义，得到即可得证； （2）结合（1）中所得与函数单调性计算即可得. 【详解】（1）的定义域为，， 所以， 所以函数的对称中心为； （2）由（1）可得， 则由可得， 由复合函数单调性可得，函数在上单调递增， 所以，即，即， 又在上单调递减，所以. 【题型9：由对称性求参数】 【解题策略】 一、四步解题法 1.定对称类型（明确目标） 先确定题目要求的对称类型：轴对称（关于直线）或中心对称（关于点）。 结合函数形式初步预判（如二次函数仅需求轴对称参数，反比例函数仅需求中心对称参数）。 2.列对称恒等式（核心步骤） 轴对称：根据定义列，或由特征式列（需求对称轴参数或直接求参数）； 中心对称：根据定义列，或由特征式列； 关键：将函数解析式代入恒等式，整理化简为关于x的多项式或代数式。 3.利用恒成立求参数（核心逻辑） 多项式函数：同类项系数对应相等、常数项满足等式（如化简后x的一次项系数为0、常数项相等）； 非多项式函数（分式、绝对值等）：消去x的变量项，得到关于参数的方程（组），求解参数； 示例：代入后得到对所有x恒成立，则且，解得参数。 4.验证定义域对称（前提保障） 将求得的参数代入原函数，验证定义域是否关于“对称轴”或“对称中心横坐标”对称； 若定义域含参数（如分式分母、根号），需确保对称条件满足（如对称轴为时，定义域需满足和同时在定义域内）。 二、关键技巧（速解核心） 1.特殊值速求参数（初步定位） 对轴对称：令和，代入得，列方程初步求，再验证恒成立； 对中心对称：令和，代入得，列方程初步求$a、b$，再验证恒成立。 2.常见函数参数求解模板 二次函数（求对称轴参数）： 已知关于对称，直接用求解参数（a、b、m中任一未知）； 反比例函数（求对称中心参数）： 已知关于对称，直接得、，求解未知参数； 绝对值函数（求对称轴参数）： 已知关于对称，令得，求解参数。 3.多参数求解技巧 若恒等式化简后得到多个关于参数的方程，联立方程组求解； 优先消去x的高次项，从系数为0的条件入手，逐步缩小参数范围。 三、易错点规避 1.恒成立条件误用：仅让特殊值满足等式，未保证对所有x恒成立，导致参数解不唯一或错误； 2.定义域验证遗漏：求得参数后未验证定义域对称，导致结果无效； 3.对称恒等式写错：混淆轴对称和中心对称的等式形式（如中心对称漏加“+f(x)”或“2b”）； 4.化简符号错误：代入时，括号展开符号出错，导致后续恒等式化简错误。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由． 【答案】存在，理由见解析 【分析】求出函数及定义域，由对称性质求出的值，再利用轴对称的定义求出即可. 【详解】令，由，解得或， 即函数的定义域为，此定义域关于直线对称， 若曲线关于直线对称，则， 此时 ， 而，则当时，，即， 因此当时，对任意，恒有成立， 即函数的图象关于直线对称， 所以存在，使得曲线关于直线对称. 【例题2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数的图象关于直线对称，则 【答案】－2 【分析】根据函数的定义域，结合函数图象对称性求出，又由函数的对称性列出，整理计算求出即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由题知的定义域关于对称，故． 则， 即，故， 则，解得． 故． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数和的图象都关于点中心对称，得到函数和的图象的交点也关于点对称，得到两个对称点的纵坐标之和为，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称， 又由函数，可得， 则，所以的图象也关于点中心对称， 所以两个函数和的图象的交点也关于点对称， 则两个对称点的纵坐标之和为，可得. 故选：B. 【相似题2】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，计算即可得出结果. 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 【题型10：奇偶性对称性周期性综合求值】 【解题策略】 一、三步解题法 1.梳理已知性质（基础） 列出题目给出的所有条件：奇偶性（奇/偶）、对称轴/对称中心、周期（或可推导周期的条件）。 标注已知函数值的区间（如、时的解析式），明确转化目标（将待求自变量转到该区间）。 优先推导周期：利用对称性与周期性的关联结论，求出最小正周期（核心转化工具）。 2.转化自变量（核心） 周期转化：用（为整数），将待求自变量缩小为，使落在“接近已知区间”的范围（如）。 奇偶性转化：若为负数，用奇函数或偶函数，转化为正数。 对称性转化：若仍超出已知区间，用对称轴或对称中心，调整为已知区间内的。 关键：按“周期→奇偶性→对称性”的顺序转化，逐步缩小范围，避免混乱。 3.代入求值（收尾） 将最终转化后的，代入已知函数值或解析式，计算结果。 若涉及对称中心，需结合补全数值（如对称中心，则）。 例题精选 【例题1】（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高二上学期第三次（期中）联考数学试题）已知奇函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得4为的周期，利用周期以及奇函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，则4为的周期，. 故选：D 【例题2】【多选题】（25-26高一上·山东·期中）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（    ） A． B．， C． D． 【答案】ACD 【分析】由两个等式可得函数周期，根据周期结合求出a，然后利用赋值法可得b，再利用周期即可求出. 【详解】因为， 所以，即， 又 所以，所以，C正确； 因为， 所以，B不正确； 在中，令，得，，A正确； 因为，所以，又，所以，解得， ，D正确. 故选：ACD 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知函数满足，当时，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】通过推出周期为2，再将通过周期以及该等式转化到上，进而即可求解. 【详解】由可知，， 联立上述两个等式得：， 易知函数为周期函数，周期， 故， 而根据可知，， 由题知：当时，， 故，所以， 故选：D. 【相似题2】（25-26高三上·山西运城·期中）已知定义在上的函数满足：是偶函数，，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】综合利用函数的奇偶性、对称性、周期性处理即可. 【详解】由题可得：，即, 由于，所以,则, 所以，可得的周期为, 则, 故答案为： 【题型11：抽象函数的奇偶性对称性周期性综合】 【解题策略】 一、四步核心解题法 1.赋值探基础（突破无解析式） 核心目标：通过赋值求、建立与关系、验证对称性，为后续性质推导铺垫。 必用赋值模板： 求：赋（或），如赋得； 探奇偶性：赋，结合得与的关系（奇函数，偶函数）； 验对称性：赋、（轴对称）或、结合（中心对称），验证对称等式。 2.串性质推周期（核心衔接） 核心逻辑：抽象函数综合题的关键是推导周期，用“奇偶性+对称性”的组合公式快速求最小正周期： 组合1：偶函数+对称轴→周期； 组合2：奇函数+对称中心→周期； 组合3：对称轴+对称轴（）→周期； 组合4：对称中心+对称轴（）→周期； 组合5：对称中心+对称中心（）→周期。 3.转化自变量（核心求解工具） 转化顺序：按“周期缩围→奇偶性消负→对称性微调”逐步转化，将未知自变量转化到“已知条件区间”（如含、单调性区间）： 周期缩围：用（为整数），将缩至或； 奇偶性消负：若缩围后为负数，用奇函数或偶函数转化为非负数； 对称性微调：若仍超出已知范围，用对称轴或对称中心（奇函数+中心对称）调整至目标区间。 4.定向求解（落地问题） 按题目目标针对性解题： 求值：转化后直接代入已知函数值（如）或赋值得到的等式； 判单调性：用定义法（任取，结合周期、奇偶性转化，判符号）； 解不等式：转化为形式，用单调性去“”符号，结合定义域得解集； 求参数：通过性质推导建立参数方程（如周期列方程），联立求解后验证。 二、关键技巧（速解核心） 1.赋值优先级：先赋、（探基础性质）→再赋（验对称）→最后赋（推递推关系），避免盲目赋值。 2.性质串联速记：“对称+对称=周期，奇偶+对称=周期”，核心记住3个高频周期公式（对称轴+对称轴→2|a-b|；中心+对称轴→4|a-b|；奇偶+对称→2|a|）。 3.抽象函数模型联想：遇到联想正比例函数（奇+单调）；联想对数函数（偶+定义域），辅助性质预判。 4.多层复合转化：按“从内到外”逐层应用性质，如先转化的范围，再用的性质，避免跳步。 三、易错点规避 1.赋值无逻辑：盲目赋特殊值，未围绕“探奇偶、验对称、推周期”目标，导致推导中断； 2.周期推导错误：混淆“中心+对称轴”“对称轴+对称轴”的周期公式（如误将4|a-b|记为2|a-b|）； 3.转化符号混乱：奇函数转化时漏加负号，或对称中心公式写错（如误写为）； 4.忽略定义域对称：抽象函数所有性质的前提是定义域对称，未验证导致后续推导无效； 5.单调性判断跳步：未通过定义法验证，直接套用模型单调性，导致错误。 例题精选 【例题1】【多选题】（2025·云南昭通·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 【答案】BCD 【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据关于点中心对称以及关于直线对称，可作出判断；C：利用周期性可得，由此可计算出结果；D：在同一坐标系中作出的图象，根据图象可判断出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于直线对称； 所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误； 由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称， 因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确； 由于函数是周期为的周期函数，且时，， 那么，因此，所以C选项正确； 作出函数与函数的图象如图所示， 根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确， 故选：BCD． 【例题2】【多选题】（25-26高三上·安徽滁州·阶段练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．关于对称 【答案】BC 【分析】根据条件，可确定函数的周期，综合函数的周期性、对称性、单调性判断各选项是否正确. 【详解】由为奇函数得：，则关于对称， 所以，即， 则，即， 由为偶函数得：，则关于对称， 所以，即， 综上，，则， 故，即易知的周期为， 所以，而为奇函数，故为奇函数，B正确； 因为关于对称且关于对称，关于，对称，所以D错误； ，A错误； 因为的周期为，所以在上的单调性与在上单调性一致， 由时单调递减，且关于对称， 所以在上也单调递减，所以在上为减函数，所以在上为减函数，C正确． 故选：BC 相似练习 【相似题1】【多选题】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 因为，令， 则，故，所以A正确； 所以，即. 所以函数的周期为2. 当时，，所以，所以B错误； ， 因为，所以，所以C正确； 因为，函数周期为2， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 【相似题2】【多选题】（25-26高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合与周期性，可判定C错误，求得，进而可判定D正确． 【详解】由题意知，得， 的图象关于直线对称，则， 所以，所以，所以A错误； 又由，因为关于点中心对称， 所以，所以， 又因为，则， 所以， 所以是以4为周期的周期函数，又，即， 所以，所以B正确； 由，所以C错误； 因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：BD． 【题型12：类周期函数】 【解题策略】 一、四步核心解题法 1.明确类周期条件（基础） 类周期函数核心特征：存在常数、，满足递推关系（常见3类）： 基本型：（最高频）； 反向型：（可转化为）； 带常数项型：（需构造消常数）。 标注已知条件：明确已知解析式的区间（如时的表达式）、待求目标（求值/解不等式/求参数）。 2.缩围自变量（核心） 目标：将待求自变量转化到已知解析式的区间（如、）。 转化方法：设（为整数，或对应已知区间），通过类周期递推“降次”： 基本型：（递推次，每次加）； 反向型：（递推次，每次减）； 关键：（向下取整），确保落在已知区间。 3.递推转化（核心运算） 无常数项型：直接套用上述递推式，代入和，关联已知解析式； 带常数项型：先构造新函数消常数，再递推： 构造（推导：令）； 转化为基本型，按步骤2递推后，再还原。 4.定向求解（落地目标） 求值：将转化后的（在已知区间）代入解析式，再乘（或），得到结果； 解不等式：先转化不等式两端的自变量到已知区间，代入解析式列不等式，结合的正负（影响不等号方向）求解，最终还原自变量范围； 求参数：通过递推关系建立参数方程（如列关于参数的等式），联立求解后验证类周期条件。 二、关键技巧（速解核心） 1.区间拆分模板：若已知的解析式，可按拆分任意为，； 2.的快速计算：正数用（），负数需调整使落在已知区间（如，取，）； 3.符号处理：时，的符号随奇偶变化，需注意与已知解析式的符号叠加； 4.多段类周期：若函数在不同区间有不同类周期参数（如是，是），按区间分段递推，逐段降次。 三、易错点规避 1.递推方向错误：混淆与，导致与用反； 2.计算错误：未按“落在已知区间”调整，导致超出范围，代入无效； 3.带常数项漏构造：直接套用无常数项递推式，忽略常数项对结果的影响； 4.误判：时是周期函数（非类周期），需切换为周期函数解题逻辑； 5.定义域忽略：转化后的需在已知解析式的定义域内，否则递推无效。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 【例题2】 （23-24高二上·河北保定·开学考试）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得当时， ，结合，求得时，，把不等式的恒成立转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意知，当时，，可得， 又由，可得当时，， 当时，恒成立， 等价于，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（22-23高二下·浙江温州·期中）已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的性质推得其解析式,作出其大致图象,数形结合,求解不等式,即可确定的取值范围. 【详解】当时,, 因为,且时,, 所以; 当时,, 所以; 因为, 当时,, 所以; 所以,得, 由此做出函数图像得:    当时,,解得或, 结合图像得的解为:或, 因为,都有, 所以. 故选:B. 【相似题2】（22-23高三上·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解. 【详解】因为当时，，所以， 又因为函数满足，所以函数的部分图像如下， 由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误. 故选：B. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 3．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北保定·期末）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 6．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 8．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（   ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（    ） A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 11．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 12．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是（   ） A． B． C．2 D．3 三、填空题 13．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 14．（24-25高一上·江西·期末）已知函数，则满足不等式的的取值范围为 ． 15．（24-25高一上·广东·期末）已知函数.记，则（1） ；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为 . 16．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的图像关于直线对称，则 . 四、解答题 17．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知函数. (1)比较，的大小关系； (2)证明：函数的图象关于直线对称； (3)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围. 19．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 20．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D D A C D AD ACD 题号 11 12 答案 ABC AB 1．B 【分析】由题意可知函数的定义域为，根据奇函数定义取特值可得，并结合奇函数定义检验即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得，即，则， 可得， 即，可知函数为奇函数， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】由题可得的图象关于点成中心对称，得到即可求解. 【详解】若为奇函数， 则， 所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 则， 即，且， 所以 . 故选：C. 3．A 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 4．D 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 5．D 【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D. 【详解】令，则，得， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，若，则，此时， 所以， 即时，，所以为上的增函数，故B错误； 对于C，令，则，所以， 不满足，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，因为为上的增函数，且， 所以当时，；当时，， 不等式的解集为，故D正确. 故选：D 6．A 【分析】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集. 【详解】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：A. 7．C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 8．D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 9．AD 【分析】对于A：令，即可得结果；对于D：令，可得；对于BC：举反例说明即可. 【详解】因为， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项D：令，可得， 即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确； 对于选项BC：例如， 则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 故选：AD. 10．ACD 【分析】根据函数的对称性结合奇偶性计算求解周期判断A，应用对称中心定义判断B，应用周期性求函数值判断C，画出图象结合数形结合判断交点判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以，即， ， 即的周期，故A正确； 对于B，由A得，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因为的周期，，则 当时，，则， 由，令则，令则， 所以，故C正确； 对于D，作出函数与函数的图象，如图． 所以曲线与有8个交点，故D正确． 故选:ACD. 11．ABC 【分析】求得函数的解析式，结合指数函数的性质，可判定A正确；求得，可判定B正确；由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定C正确；把不等式转化为，得到，求得不等式的解集，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 12．AB 【分析】先根据二次函数的单调性得出分段函数单调递减，再根据对数函数单调递减及分段函数递减分别列出不等式计算求解. 【详解】因为函数是单调函数，又因为单调递减，所以在上单调递减， 则， 解得． 故选：AB． 13． 【分析】变形得到，得到是偶函数，且由定义法和复合函数单调性满足同增异减，得到在上单调递增，从而得到，求出解集. 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 14．或． 【分析】证得函数为偶函数，且在上是增函数，故得，解得答案. 【详解】由，得的定义域为， 又，故为偶函数， 而当时，易知单调递增，在上也单调递增， 故在上单调递增， 则由，得，解得或． 故答案为：或． 15． 【分析】利用归纳法，根据函数的周期性思想，可得函数值的求解；根据题意，利用数形结合思想，结合函数的对称性，可得答案. 【详解】当时，；假设当时，； 当时，. 根据数学归纳法，可得，在上恒成立. ， 由题意可得（）， 则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图： 由图可得， 当时，显然当时，可得， ， 结合图象，函数的图象在上关于直线对称， 由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 不妨设， 则，，，， 所以. 故答案为：；. 16．2 【分析】求出函数定义域，由函数图像关于直线对称得到定义域也关于直线对称，求得的值，由对称轴得到，代入函数解析式，整理求得，即可得出结果. 【详解】∵函数的定义域为，即，解得或， 即函数的定义域. ∵函数图像关于直线对称，∴， ∵则，即，即，∴， ∴. 故答案为：2. 17．(1) (2)，对称中心为 (3) 【分析】（1）由，可列出关于、的方程组，解出即可得、，即可得的解析式； （2）借助指数运算法则计算即可得的值，进而得到的对称中心； （3）结合函数对称性与单调性可得在上恒成立，借助换元法令，可得在上恒成立，结合二次函数性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故. （2）， 故关于中心对称. （3）由，则， 则， 因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减， 故在上恒成立， 令，由，则， 则有在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 故实数的取值范围为. 18．(1)； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）直接计算，即可得解； （2）计算即可得证； （3）令，由题得在上有解，进而将问题转化成求解即可. 【详解】（1）由题可得. （2）证明：因为， ， 所以， 所以函数的图象关于直线对称； （3）因为方程有解， 令，则在上有解， 因为，所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时， 所以或. 19．(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 20．(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $