精品解析：2022年广东省东莞松湖莞中学和年级中考三模数学试卷

2021-2022学年第二学期九年级第三次数学模拟试题 （全卷满分120分，考试用时为90分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在-1，0，，2这四个数中，最大的数是（ ） A. -1 B. 0 C. D. 2 2. 根据世界卫生组织的统计，截止6月9日，全球新冠确诊病例累计超过5.32亿，用科学记数法表示这一数据是（　　） A. B. C. D. 3. 下列用七巧板拼成的图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了15户家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量(吨) 4 5 6 8 9 户数 2 5 6 1 1 则这15户家庭的月用水量的众数与中位数分别为(　　) A. 5、5 B. 5、6 C. 6、6 D. 9、6 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 因式分解___________． 12. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________ 13. 从，，0，﹣2，π，这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 __． 14. 已知，则 ____________． 15. 请写出一个反比例函数解析式，其中：该函数图象在每一象限内随增大而增大，___________ 16. 如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径等于______． 17. 如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____． 三、解答题 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图，AB＝4cm，∠ACB＝45°． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若弦AB和其所对的劣弧所围成图形的面积为S，求S的值． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明． 22. 某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 等级 频数 频率 优秀 21 42% 良好 m 40% 合格 6 n% 待合格 3 6% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ； （2）补全条形统计图； （3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝3cm，，求⊙O直径的长． 五、解答题 24. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 25. 已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式． （2）如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值． （3）如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年第二学期九年级第三次数学模拟试题 （全卷满分120分，考试用时为90分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在-1，0，，2这四个数中，最大的数是（ ） A. -1 B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正实数一定大于负实数和零可得答案． 【详解】解：∵正实数一定大于负实数和零， 在-1，0，−，2中，只有2是正数， ∴最大的数是2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较法则． 2. 根据世界卫生组织的统计，截止6月9日，全球新冠确诊病例累计超过5.32亿，用科学记数法表示这一数据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：5.32亿， 故选：A． 3. 下列用七巧板拼成的图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A．此图案不是中心对称图形，不符合题意； B．此图案不是中心对称图形，不符合题意； C．此图案是中心对称图形，符合题意； D．此图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】熟练掌握中心对称图形定义是解答本题的关键． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算和幂的乘方运算逐项验证即可． 【详解】解：A、根据合并同类项的运算法则，该项不符合题意； B、根据同底数幂的乘法运算法则，该项不符合题意； C、根据积的乘方以及同底数幂的除法运算法则，该项符合题意； D、根据积的乘方以及幂的乘方运算法则； 故选：C． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及到合并同类项、同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 5. 不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出各个不等式的解集，再利用数轴表示出公共部分即可得解． 【详解】解： 解①得， 把①、②的解集在数轴上可表示为： ∴不等式组的解集为：． 故选：D 【点睛】本题考查了不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，需要注意的是：如果表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于的点要用实心圆点． 6. 在平面直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点，关于轴对称点的坐标是，． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设马每匹x两，牛每头y两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两与马三匹、牛五头，共价三十八两列方程组即可． 【详解】设马每匹x两，牛每头y两，由题意得： 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 8. 为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了15户家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量(吨) 4 5 6 8 9 户数 2 5 6 1 1 则这15户家庭的月用水量的众数与中位数分别为(　　) A. 5、5 B. 5、6 C. 6、6 D. 9、6 【答案】C 【解析】 【分析】利用众数及中位数的定义求解即可． 【详解】解：数据6出现的次数最多，则众数6； 将数据从小到大排列，第八个数据是6，处于中间位置，则中位数是6． 故答案为C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的定义，掌握众数及中位数的确定方法是解答本题的关键． 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×1＞0， 解得k＜1且k≠0． ∴k的取值范围为k＜1且k≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，掌握根的判别式是解题的关键． 10. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形， 同理：△ADC是等边三角形 ∴∠B=∠EAC=60°， 在△ABF和△CAE中， ， ∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确； ∴∠BAF=∠ACE， ∵∠AEH=∠B+∠BCE， ∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°，故②正确； ∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC， ∴△AEH∽△CEA，故③正确； 在菱形ABCD中，AD=AB， ∵△AEH∽△CEA，△ABF≌△CAE， ∴△AEH∽△AFB， ∴， ∴， ∴AE•AD=AH•AF，故④正确， 故选D． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质． 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式m，再用平方差公式分解即可． 【详解】解；． 故答案为；． 12. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数． 【详解】解：． 所以的值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查多边形的外角和的特征，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，是基础题型． 13. 从，，0，﹣2，π，这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 __． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算得出答案． 【详解】解：从，0，﹣2，π这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，π这2种可能， ∴抽到的无理数的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法. 14. 已知，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴-2+3=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 15. 请写出一个反比例函数解析式，其中：该函数图象在每一象限内随增大而增大，___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，函数图象在每一象限内随增大而增大，由此可解． 【详解】解：的函数图象在每一象限内随增大而增大， 故答案为：．（答案不唯一） 16. 如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2． 【详解】解：∵圆心角为，半径为的扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 17. 如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____． 【答案】2-2 【解析】 【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值． 【详解】如图： 取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆， 连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E， 由以上作图可知，BG⊥EC于G， PD+PG=PD′+PG=D′G， 由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小， ∵D′C’=4，OC′=6， ∴D′O=， ∴D′G=-2， ∴PD+PG的最小值为-2， 故答案为-2. 【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短. 三、解答题 18. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】利用二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解：原式． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】化简得， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的化简求值． 结合分式的四则混合运算法则进行化简，再将代入即可得解． 【详解】解：， ， 将代入， 原式， ， ． 20. 如图，AB＝4cm，∠ACB＝45°． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若弦AB和其所对的劣弧所围成图形的面积为S，求S的值． 【答案】（1）如图，⊙O即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线MN，作线段AB的垂直平分线EF，直线MN交EF于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可． （2）连接OA，OB，证明∠AOB＝90°，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）连接OA，OB． ∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，AB＝4cm， ∴AO＝OB＝2cm， ∴S＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×2×2＝2π﹣4． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外心，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明． 【答案】（1）该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10% （2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．3.993＜4答：2022年1月“冰墩墩”的销量没有超过4万件． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量=2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用2022年1月的销量=2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量． 【小问1详解】 设月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得＝0.1＝10%，＝﹣2.1 （不合题意，舍去）． 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 22. 某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 等级 频数 频率 优秀 21 42% 良好 m 40% 合格 6 n% 待合格 3 6% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ； （2）补全条形统计图； （3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人． 【答案】（1）50,20,12； （2）补全条形统计图如图所示； （3）1640人. 【解析】 【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数； （2）根据题意补全条形统计图即可得到结果； （3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论． 【详解】（1）本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生，m=50×40%=20，n=×100=12， 故答案为50，20，12； （2）略 （3）2000×=1640人， 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人． 【点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝3cm，，求⊙O直径的长． 【答案】（1） 证明：连接OD　 ∵AC为圆O的直径　 ∴∠ADC＝90° ∵OD＝OC　 ∴∠ODC＝∠OCD　 在Rt△BCD中，∵E为BC中点　 ∴　 ∴∠EDC＝∠ECD ∴∠ODC＋∠EDC＝∠OCD＋ECD＝90°　　 即∠ODE＝90° ∴OD⊥DE　 ∴DE是圆O的切线 （2） cm 【解析】 【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切； （2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在Rt△BCD中，∵E为BC中点　 ∴BC＝2DE＝5 ∵CD＝3 ∴BD=4 ∵AC为直径， ∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°， 又∵∠B＝∠B　 ∴△ABC∽△CBD， ∴　 ∴　　 ∴cm 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质． 五、解答题 24. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD， ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG， ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。 证明：∵四边形ABCD菱形 ∴AB=AD ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG ∵∠EAG=∠BAD ∴ ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可； （2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立； （3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 (2)略 (3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H ∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴△EAB∽△GAD ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 25. 已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式． （2）如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值． （3）如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或2 （3）存在；或 【解析】 【分析】运用待定系数法即可求得答案． 由题意得：，，，分两种情况：当时，，即，可求得；当时，，即，可求得． 运用待定系数法求得直线的解析式为，可得出：，，如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可；过点作交直线于点，过点作于点，设，如图，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于和， ， 解得：， 该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 抛物线与轴交于点， ， 由题意得：，， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形，，如图， 或， 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或． 【小问3详解】 存在， 设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线，设直线与轴交于点，与直线交于点， 则，， 如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设， 平分，，， ，， ，，， ， ， ， ， 解得：， ； 过点作交直线于点，过点作于点，设，如图， 则，， 平分， ， ， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、动点问题，直角三角形的性质、角平分线性质、三角函数定义等知识点，运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $