精品解析：2025年广东省韶关市中考数学联合模拟练习卷（六）

2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（六） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体放到小正方体的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）． A. 主视图不变 B. 俯视图不变 C. 左视图改变 D. 以上三种视图都改变 3. 今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（　　） A. 2.147×102 B. 0.2147×103 C. 2.147×1010 D. 0.2147×1011 4. 下列运算正确的是（　　） A. a4+a5＝a9 B. a3•a4＝a12 C. a8÷a4＝a2 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 5. 使函数有意义的自变量x的取值范围是（ ） A. x≠1且x≠0 B. x≠1 C. x＞1 D. x＜1 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点、、分别是的边、、的中点，连接、、得，如果的周长是，那么的周长是（　　） A. B. C. D. 9. 甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知a、b、c满足，，，则_______． 12. 小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则______．（填“”、“”或“”） 13. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，． 其中正确结论有________．（填序号） 14. 如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 计算：． 17. 课堂笔记： 周末，小明和小红约定去离家的图书馆学习．小明步行出发后，小红从一起点沿同一路线骑自行车出发，两人同时到达图书馆．已知小红骑车的速度是小明步行速度的3倍，求两人的速度． 分析 方程 解法一 设... 等量关系： 解法二 设... 等量关系： （1）解法二所列的方程中的表示________ A．步行的速度为 B．骑车的速度为 C．步行的时间为 D．骑车的时间为 （2）将解法一求两人的速度的过程补充完整． 18. 如图，在中，点D为线段上任意一点． （1）尺规作图：作线段垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）． 求证：四边形是菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 组别 分数段 频次 频率 A 60≤x＜70 17 017 B 70≤x＜80 30 a C 80≤x＜90 b 0.45 D 90≤x＜100 8 0.08 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中a=______，b=______； (2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，的解集． （3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小． 21. 项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统．无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户．以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系． 【任务一：确定投递轨迹方程】 （1）在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表 水平距离x/ m 0 10 20 40 50 60 70 80 竖直高度 0 35 60 75 80 75 60 35 0 ①直接写出无人机飞行轨迹二次函数表达式是 ； ②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）． 【任务二：调整仓库位置避开高架桥】 （2）因高架桥施工，仓库需向左平移米，并向上平移2米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某小区住户坐标．为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时的值． 【任务三：优化重型包裹投递路径】 （3）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与低务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值． 【任务四：评估调整后的投递安全性】 （4）任务二中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米．直接写出这时的值是 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题， 第22小题13分，第23小题14分，共21分． 22. 如图，点B为半外一点，AC为直径，，，，AB与半交于点E，点P是AE上一动点，过点P作交于点D． （1）DP的最大值________； （2）如图1，当时，求证：BD是的切线； （3）如图2，当点D在的中点时，求图中阴影部分的周长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（六） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则判断即可． 【详解】解：∵ ∴最小的数为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体放到小正方体的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）． A. 主视图不变 B. 俯视图不变 C. 左视图改变 D. 以上三种视图都改变 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义即可判断． 【详解】解：根据三视图的定义， A，主视图会变，故选项错误，不符合题意； B，俯视图不会变，故选项正确，符合题意； C，左视图不会改变，故选项错误，不符合题意； D，主视图改变，俯视图记左视图不会改变，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的定义，解题的关键是：搞清楚三视图的定义，主视图，从正面看；左视图，从左往右看；俯视图，从上往下看． 3. 今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（　　） A. 2.147×102 B. 0.2147×103 C. 2.147×1010 D. 0.2147×1011 【答案】C 【解析】 【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 详解：214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010， 故选C． 点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列运算正确的是（　　） A. a4+a5＝a9 B. a3•a4＝a12 C. a8÷a4＝a2 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、两项不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、a3•a4=a7，故不符合题意； C、a8÷a4=a4，故不符合题意； D、（-2a2）3=-8a6，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 使函数有意义的自变量x的取值范围是（ ） A. x≠1且x≠0 B. x≠1 C. x＞1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 先根据平行线的性质得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数的定义．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据中位数、众数的定义即可解决问题． 【详解】∵出现的次数最多，4次， ∴众数为； ∵中位数是从小到大的第8个数据，为． 故选：B． 8. 如图，点、、分别是的边、、的中点，连接、、得，如果的周长是，那么的周长是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长． 【详解】、分别是的边、的中点， ， 同理，，， ． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 9. 甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，根据题意找到等量关系即可列出方程组. 【详解】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元， 根据题意可列方程为 故选C. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系. 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知a、b、c满足，，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值． 【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得： ， 即， ∴， ∴a=3,b=-1,c=1， ∴a+b+c=3-1+1=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 12. 小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变， ． 故答案为：． 13. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，． 其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．把点A坐标代入，求出a的值，即可判断①；得到函数解析式，将代入，求出点C的横坐标，然后求出点E的坐标即可求出和的长，从而判断②；将代入，求出点B的坐标然后求出的长，利用勾股定理的逆定理即可判断③；求出两个二次函数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④． 【详解】解：抛物线与交于点， ∴， 解得：，故①正确； 将代入中，得 ， 解得：，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵E是抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴，故②错误； 将代入， 解得：，， ∴， 则， ∵点D是抛物线的顶点， ∴， ∴，， ∴在中，，， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ∵联立， 解得：或， ∴两个抛物线的交点为和， 由图象可知：当时，，故④错误． 故答案为：①③． 14. 如图所示，一机器人在平地上按图中步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 【答案】36 【解析】 【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案． 【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以． 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质． 15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为__________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据点D和点M关于AE对称，即可得到AD与AM相等，确定点M的运动轨迹是以A为圆心AD为半径的圆上，通过圆外一点到圆的最短距离是A、M、C三点共线时，再算出AC长和AM相减，即可求出结果． 【详解】解：如图所示，连接AM， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为1， ∴AC==， ∵点D与点M关于AE对称， ∴AM=AD=1， ∴点M在以A为圆心，AD长为半径的圆上， ∴连接AC与圆A的交点即为CM最小时M的位置， ∴CM的最小值=AC=AM=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查旋转的性质、圆的性质及点和圆的位置关系、轴对称性质、勾股定理，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根的计算，根据立方根、以及绝对值的代数意义计算，根据立方根，平方根的运算法则进行计算，即可求出值． 【详解】解：原式 ． 17. 课堂笔记： 周末，小明和小红约定去离家的图书馆学习．小明步行出发后，小红从一起点沿同一路线骑自行车出发，两人同时到达图书馆．已知小红骑车的速度是小明步行速度的3倍，求两人的速度． 分析 方程 解法一 设... 等量关系： 解法二 设... 等量关系： （1）解法二所列的方程中的表示________ A．步行的速度为 B．骑车的速度为 C．步行的时间为 D．骑车的时间为 （2）将解法一求两人的速度的过程补充完整． 【答案】（1）C （2）小明的速度为，小红的速度为 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． （1）根据列表中给出的等量关系得出结论； （2）根据分式方程的解法解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意知，解法二所列的方程中的表示：步行的时间为， 故选C； 【小问2详解】 解：设步行的速度为， 由题意得：， 化为整式方程，得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：小明的速度为，小红的速度为． 18. 如图，在中，点D为线段上任意一点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）． 求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定定理． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图即可； （2）选择①平分，先证明四边形为平行四边形，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．选择②点G为中点，先证明是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质求得，即可证明四边形为菱形． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； ； 【小问2详解】 解：选择①平分； 证明：平分， ， ∵是线段垂直平分线， ∴，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 为菱形． 选择②点G为中点， 证明：∵是线段垂直平分线， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∵是线段垂直平分线， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 组别 分数段 频次 频率 A 60≤x＜70 17 0.17 B 70≤x＜80 30 a C 80≤x＜90 b 0.45 D 90≤x＜100 8 0.08 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中a=______，b=______； (2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 【答案】（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b； （2）B组的频率乘以360°即可求得答案； （3）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率； 【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人）． 故答案为0.3，45； （2）360°×0.3=108°． 答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°． （3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得： ∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，的解集． （3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小． 【答案】（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析. 【解析】 【分析】（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式； （2）根据图像解答即可； （3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可. 【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝； 把B（4，n）代入y＝，得：n＝1， ∴B（4，1）， 把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5； （2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方； ∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4； （3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小， ∵B（4，1）， ∴B′（4，﹣1）， 设直线AB′的解析式为y＝px+q， ∴， 解得， ∴直线AB′的解析式为， 令y＝0，得， 解得x＝， ∴点P的坐标为（，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键. 21. 项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统．无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户．以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系． 【任务一：确定投递轨迹方程】 （1）在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表 水平距离x/ m 0 10 20 40 50 60 70 80 竖直高度 0 35 60 75 80 75 60 35 0 ①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ； ②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）． 【任务二：调整仓库位置避开高架桥】 （2）因高架桥施工，仓库需向左平移米，并向上平移2米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某小区住户坐标．为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时的值． 【任务三：优化重型包裹投递路径】 （3）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与低务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值． 【任务四：评估调整后的投递安全性】 （4）任务二中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米．直接写出这时的值是 ． 【答案】（1）① ②见解析 （2） （4） （4）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的应用，理解题意，将题目中的数据和函数关系联系起来是解题的关键． （1）①由待定系数法即可求解；②描点连线绘制函数图象即可； （2）平移后表达式为， 将代入上式求出值即可求解； （3）由（2）知，新抛物线的表达式为 ，当时，当时， 则 ，即可求解； （4）当时，函数在时和时取得最大和最小值，则，求解；，同理可解． 【详解】解：（1）①由表格数据知，函数的顶点坐标为， 则抛物线的表达式为，将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； ②描点连线绘制函数图形如下： （2）平移后的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：(舍去)或； （3）由（2）知，新抛物线的表达式为， 当时，，当时， ， 则， 解得：， （4）， 当时， 函数在时时取得最大和最小值，则， 解得：(不合题意的值已舍去)； 当时，则抛物线在顶点处取得最大值； 当时， ，不符合题意； 当时，， 则 解得：(舍去)或， 综上，或， 故答案为：或. 五、解答题（三）：本大题共2小题， 第22小题13分，第23小题14分，共21分． 22. 如图，点B为半外一点，AC为直径，，，，AB与半交于点E，点P是AE上一动点，过点P作交于点D． （1）DP的最大值________； （2）如图1，当时，求证：BD是的切线； （3）如图2，当点D在的中点时，求图中阴影部分的周长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过O点作OG⊥AB于F点，交于点G，理由勾股定理先求出AB的长度，再证Rt△AFO∽Rt△ACB，求出FO的长度，进而求出GF的长度，由图可知DP的最大值即为GF，则问题得解； （2）通过证得，过O点作，垂足是，根据角平分线的性质有，即即为的半径，是的切线，BD是的切线； （3）连接OD，过B点作OD的垂线并交OD的延长线与点M，点M是垂足，根据点D在的中点，可得，先证四边形OCBM是矩形，进而求出BM、MD，再根据勾股定理求出BD，根据即可求出，则问题得解． 【小问1详解】 ， 理由如下： 过O点作OG⊥AB于F点，交于点G，如图， ∵BC⊥AC，BC=6，AC=8， ∴∠ACB=90°， ∴在Rt△ABC中，， ∵AC=8， ∴AO=4=OC=OG， ∵OG⊥AB， ∴∠AFO=90°=∠ACB， ∵∠BAC=∠OAF， ∴Rt△AFO∽Rt△ACB， ∴，即，则有， ∵OG=4， ∴GF=OG-FO=， ∴由图可知DP的最大值即为GF，即DP最大值为； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴OC=4，∠BCO=90°， ∴在Rt△BOC中，， ∴． 过O点作，垂足是， ∴， ∴即为的半径， ∴是的切线， 即BD是的切线． 【小问3详解】 如图，连接OD，过B点作OD的垂线并交OD的延长线与点M，点M是垂足， ∵BM⊥OD， ∴， ∵点D在的中点， ∴， 结合∠BCA=90°，可知四边形OCBM是矩形， 即有BC=OM=6，BM=OC=4， ∴MD=OM-OD=6-4=2， ∵BM⊥OD， ∴． ∵， ∴． ∴阴影部分的周长． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、求解弧长等知识，掌握切线的判定方法是解答本题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形面积． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值； ②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题． 【小问1详解】 ∵， ∴，，. 设抛物线的表达式为.将代入，得. ∴抛物线的函数表达式为，即. 【小问2详解】 ①联立.整理，得. 设，. 由根与系数的关系，得. ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为.将代入，得. ∴点D在直线上运动，且.…… 如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长. 设直线的函数表达式为， 将，代入，得.解得. ∴直线的函数表达式为， 令，得. ∴. 将点代入，得. ②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p. 由①知，， ∴. ∴. 同理可得，即. ∴ ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为， ∴. ∴，即. ∴. ∴. ∴. （ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q. 由①知，，， ∴，. ∴，. 由（ⅰ）得， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴. ∴，. ∴. 综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或. 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $