3.2.2 双曲线的几何性质（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质，通过类比椭圆性质的研究方法导入，引导学生从范围、对称性、顶点、渐近线到离心率逐步探究，构建“旧知迁移-新知生成”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过类比椭圆培养数学眼光，结合推理分析离心率与开口关系、渐近线方程设法等，发展数学思维与表达能力。典例与变式训练结合，帮助学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

3.2 双曲线 第三章 圆锥曲线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 3.2.2 双曲线的几何性质 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 理解双曲线离心率的定义、取值范围.掌握双曲线的几何性质和渐近线方程. 掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法.理解双曲线离心率范围的求法. 掌握双曲线几何性质的综合应用. 在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质. 那么， 情境导入 如何利用双曲线的方程 来研究它的性质? 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质? 如何研究这些性质? x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 情境导入 4 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，∈R， 即，∈R. 所以，或；∈R 这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. 由方程，可知，椭圆上点的坐标（x，y）都满足， 1. 范围 新知探究 5 新知探究 根据双曲线方程，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制? 由双曲线的标准方程＞0 即>0， 从而 所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线y＝ x和y＝- x为边界的平面区域内． 2. 对称性 在双曲线的标准方程中，分别把 x 换成 －x，或把 y 换成－y，或同时把 x，y 分别换成 －x，－y，方程都不变. 所以双曲线分别关于 y 轴、x 轴和原点都是对称的. 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 新知探究 3. 顶点 在双曲线的标准方程中，令 y＝0，得 x＝±a. 这说明 A1(－a，0)，A2(a，0) 是双曲线与 x 轴的两个交点，且 A1 是左支上最右边的点，A2是右支上最左边的点. 我们把这两个点称为双曲线的顶点. 新知探究 令 x＝0，得 y2＝－b2，这个方程没有实数根，说明双曲线与 y 轴没有交点，但为了便于画图，我们把 B1(0，－b )，B2(0，b) 也画在 y 轴上. 新知探究 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b叫作双曲线的虚半轴长. 新知探究 4. 渐近线 新知探究 我们已经知道,双曲线的范围在以直线 y＝ x和y＝- x为边界的平面区域内如图，那么,从x，y的变化趋势看,双曲线与直线 y＝ x具有怎样的关系? 根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限内的部分与直线y＝ x的关系. 新知探究 如图3-2-6，设M(x，)为双曲线在第一象限内的点，过点M做作MN⊥x轴，垂足为 N(x，0).直线 MN 交直线y=x于点P.当点N向右移动时，观察 PM长度的变化情况, 新知探究 13 我们发现，随着x的增大，PM长度越来越接近于0.事实上，对于相同的横坐标x，直线y＝ x上对应的点P的纵坐标为x ，所以PM的长为 新知探究 当x趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大， 趋向于0，即 PM的长趋向于0.这说明，随着x的增大，双曲线在第一象限内的点在直线y＝ x的下方且无限接近于这条直线 能用其他方法说明这个结论吗? 同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线y＝ x 的上方且无限接近于这条直线. 利用直线x=±a和y= ±b所围成的矩形,可以方便地作出双曲线的渐近线. 新知探究 根据对称性，直线y=- x也有相同的性质 我们把两条直线y＝ x 叫作双曲线的渐近线(asymptote) 此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线. 利用直线 x＝±a 和 y＝±b 所围成的矩形，先画出双曲线的两条渐近线，就可以画出双曲线的简图(图3-2-6). 在双曲线的标准方程 新知探究 5. 离心率 新知探究 椭圆的离心率e= 反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，是否也与双曲线的形状有关? 从图3-2-6中可以看出，双曲线在两条渐近线y＝ x之间，这说明大小决定了双曲线的开口的大小。 越大，双曲线的开口就越大; 越小，双曲线的开口就越小。 越大，双曲线的开口就越大; 越小，双曲线的开口也就越小 因此反映了双曲线开口的大小 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e。显然，双曲线的离心率e>1. 新知探究 典例分析 方法技巧 解题的关键： 根据双曲线方程求得，结合双曲线的性质即可求得答案. 例1．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程． 解：由题意设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c， 则，，所以， 解得，，． 因此，双曲线的实轴长，虚轴长． 焦点坐标为，，顶点坐标为，． 离心率． 渐近线方程为． 教材P97 例题 典例分析 方法技巧 解题的关键： 由焦距、离心率、及焦点位置即可得双曲线方程. 例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 解：根据题意知，解得， 又． 又因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 所以所求双曲线方程为． 教材P98 例题 1.求双曲线 =1的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程． 【解析】解：由双曲线 ，可得 ，则 ， 所以双曲线的实轴长为2a=6，虚轴长为 ， 焦点坐标为(-4，0)和(4，0)，顶点坐标为(-3，0)和(3，0)， 离心率为 ，渐近线方程为 ． 教材P98 练习 21 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a=4，离心率为 ； (2)焦点的坐标为(5，0)，(-5，0)，渐近线方程为y=± x； 解：（1）a=4， ，则c=6，所以b2=c2-a2=36-16=20， 所以双曲线的方程为 (2)由题意双曲线的焦点在x轴上，且c=5，设所求双曲线的方程为 则双曲线的渐近线方程为 ，又渐近线方程为 ， 所以 ，且c2=b2+a2=25，解得a=3，b=4，所以双曲线的方程为 ． 教材P98 练习 22 (3)由题意2b=12，则b=6，由条件 ，又c2=b2+a2，解得a=8，c=10， 当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为 ， 当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为 ． 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (3)虚轴长为12，离心率为 ；(4)离心率e= ，且经过点P(4，- )． (4)由 ，即 = ，所以a2=b2， 所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0)， 将点 P(4，- ）代入可得λ=16-10=6，所以双曲线的方程为 ． 教材P98 练习 23 3.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线方程是y=±3x,则双曲线的方程是 ( ____ ) A. B. C. D. A 【解析】解：双曲线的两条渐近线方程是y=±3x 可设双曲线的方程为 (λ≠0) ∵双曲线经过点 ∴λ=-1，∴双曲线的方程为： 教材P98 练习 24 4.已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，2 )，求双曲线的方程． 【解析】解：由题意得a=b,c=2 ，故a=b=2， 因为焦点在y轴上，所以双曲线方程为 =1． 5.设k为实数，已知双曲线 =1的离心率e∈(1，2)，求k的取值范围 【解析】解：由题意可知，k＞0，a=2，c= ， 故e= ，e∈(1，2)， 则 1＜＜2，解得0＜k＜12，故k的取值范围为(0，12)． 教材P98 练习 25 双曲线性质的应用 题型一 题型探究 【例1】（多选）［黑龙江鸡西2025高二期末］已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍， 则下列关于双曲线 的说法正确的是( ) ABD A.实轴长为6 B.虚轴长为2 C.焦距为 D.离心率为 解析 由题意得，,,，实轴长为，虚轴长为 ，由实轴长是虚轴长的3 倍得 ，故A，B正确； 由得，，故，焦距为 ，故C错误； 离心率，故D正确.故选 . 渐近线的方程及应用 题型二 题型探究 【例2】 已知双曲线方程为 ，则双曲线的渐近线方程为( ) A A. B. C.当时，；当时， D.当时，；当时， 解析 方程表示双曲线， . 若，方程化为，此时，，渐近线方程为 ； 若，方程化为，此时， ，渐近线方程为 综上所述，双曲线的渐近线方程为 .故选A. 离心率的值 题型三 题型探究 【例3】［浙江台州六校2025高二联考］已知双曲线的左、右焦点分别为 ,，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率 为( ) D A. B. C. D. 解析 由题设可得双曲线的渐近线方程为，且 ， 所以，解得 . 又，所以 ， 所以 .故选D. 离心率的取值范围 题型四 题型探究 【例4】［江苏泰州2025高二期中］已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，若双曲线右支上存在点使得 ，则离心率的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 解析 由题意，点不是双曲线的顶点，否则 无意义. 在中，由正弦定理得 ，又 ， ，即 .点在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得， ，即 .由双曲线的几何性质，知，， 即 ，，解得.又， 双曲线离心率的取值范围是 .故选C. 求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法有两种： 一种是直接建立关于的关系式求 的值或范围； 另一种是建立,,的齐次关系式,将用,表示,两边同时除以或化为关于 的关系式,进而求解. 方法技巧 30 3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点 ，使得 点到直线的距离为，则双曲线的离心率 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 解析 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设，，其中 ， 设直线的方程为，则 . 因为点到直线的距离为，所以，则有，即 ， 解得 ,则 ， 即，整理得 ，则 .故选D. 变式训练 31 直线与双曲线位置关系的判断 题型五 题型探究 【例5】［四川自贡蜀光中学2025高二期中］已知直线，双曲线 ，则( ) C A.直线与双曲线 有且只有一个公共点 B.直线与双曲线 的左支有两个公共点 C.直线与双曲线 的右支有两个公共点 D.直线与双曲线 的左、右两支各有一个公共点 解析 解法一：联立直线与双曲线的方程得解得或 所以直线与双曲线 的右支有两个公共点.故选C. 解法二：直线的斜率为2,，又直线与轴的交点在 双曲线右顶点的右侧，故直线与双曲线 的右支有两个交点.故选C. （1）如果,那么与有两个交点，它们分别在 的不同支上； 设是斜率为的直线，双曲线 . 二级结论 （2）如果并且不是渐近线，那么与 有一个交点，此交点不是切点； （3）如果,那么与 交点的个数有三种可能：0,1,2（交点个数为1 时，交点是切点;交点个数为2时，两交点在 的同一支上）. 33 弦长问题 题型六 题型探究 【例6】已知双曲线的一条渐近线方程是，过其左焦点 作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长 ( ) D A.7 B.8 C.9 D.10 解析 双曲线的一条渐近线方程是， ，即 . 左焦点，，，，， 双曲线 的方程为 . 易知直线的方程为，设，，由消去 可得 ，,， , .故选D. 直线与双曲线位置关系应用 题型七 题型探究 【例7】［吉林长春六中2024高二期中］过点的直线与双曲线相交于,两点. 若 是线段的中点，则直线 的方程是( ) A A. B. C. D. 解析 设,，则 两式相减得直线的斜率为 . 又直线过点，所以直线的方程为 , 即，经检验此时直线 与双曲线有两个交点.故选A. 【例8】［山东泰安一中2024高二月考］已知双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6， 则双曲线 的方程是_______________________． 或 解析 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得则双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线 的方程为，则解得双曲线的方程为 . 综上，双曲线的方程是或 . 渐近线不能确定双曲线的焦点位置,故需分类讨论. 题型探究 忽视焦点位置的讨论而致错 易错一 易错警示 36 题型探究 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致错 易错二 【例9】已知过点且斜率为的直线与双曲线只有一个公共点，则直线的斜率 的值 为_______. 或 解析 由题可得直线的方程为 , 联立整理得 若，即，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个公共点； 若，则，解得， 此时直线 与双曲线相切.综上可得直线的斜率的值为或 . 易错警示 解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程 是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况. 方程 图像 课堂小结 38 方程 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴长 2a 虚轴长 2b 渐近线方程 离心率 课堂小结 39 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $