第8课时 3.2.2双曲线的几何性质(2)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第3章　圆锥曲线与方程 第8课时　双曲线的几何性质(2) 学习目标： 1. 掌握双曲线的几何性质及其简单应用． 2. 能够熟练地求双曲线的离心率及离心率的取值范围． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　先用a, b, c表示出焦点、渐近线方程、焦距，再根据条件列等式，得到a与b间的数量关系，从而得到渐近线的方程． 例 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 变 式 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　由A, B关于原点对称，联想到右焦点关于原点的对称点F1，自然运用双曲线的定义求解． 变 式 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　设左焦点为F1，连接AF1, BF1. 由对称性可知，AF1＝BF, BF1＝AF， 从而BF－AF＝AF1－AF＝2a，即3AF－AF＝2a， 从而AF＝a，则AF1＝3a. 易证得四边形AF1BF是矩形， 那么△AF1F为直角三角形，∠F1AF＝90°， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　紧扣双曲线对称性的几何性质，灵活运用双曲线定义找到基本量关系，从而得到双曲线的渐近线方程． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 B 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 因为四边形MNPQ为矩形且面积为8， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　利用点到直线的距离公式寻找a, c的关系式，即可求得离心率e. [规范板书]　解　因为直线l过(a, 0)，(0, b)两点， 所以直线l的方程为bx＋ay－ab＝0. 例 2 将b2＝c2－a2代入上式整理得3c4－16a2c2＋16a4＝0. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　在方程的求解过程中适当换元可以简化计算，另外要关注题中的约束条件0<a<b. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　由菱形得MN＝OF＝c，得对称点M, N的坐标． 变 式 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 变 式 2 C 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 提示　不妨设PF1＞PF2，则PF1－PF2＝2a. 又PF1＋PF2＝6a，所以PF1＝4a, PF2＝2a， 从而∠PF1F2＝30°， C 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 例 3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (2) 由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.　 设A(m, 2m), B(－n, 2n), m＞0, n＞0. 设∠AOB＝2θ. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　(1) 本题是双曲线与向量、不等式、函数等知识的综合应用．首先要对双曲线的定义、方程、几何性质理解透彻，还要准确理解和掌握参数a, b, c, e的关系，从而把面积表示成关于参数λ的函数，再利用基本不等式求范围，这也是解决取值范围问题的基本方法之一． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 D 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 解　不存在符合题设条件的直线． ① 若直线l垂直于x轴， 因为l与C2只有一个公共点， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 ② 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m.　 设A(x1, y1), B(x2, y2)， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 所以Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0， 化简得2k2＝m2－3， 综上，不存在符合题设条件的直线． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 课堂小结： 1. 双曲线的离心率、渐近线方程之间的关系． 2. 掌握双曲线的对称性等几何性质的应用． 3. 双曲线的其他问题与椭圆类似，应将椭圆、双曲线的类似问题结合在一起来理解、掌握. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　要求渐近线方程，只要求出a与b间的数量关系，根据条件列出等式及a2＋b2＝c2即可得出的值． 已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)的一个焦点到一条渐近线等于焦距的，求双曲线C的渐近线方程． [规范板书]　解　因为双曲线－＝1(a>0, b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b， 所以＝，得b＝c，即b2＝(a2＋b2)，解得＝， 因此渐近线方程为x±y＝0. 当焦点在y轴上时，设双曲线C的方程为－＝1(a2>0, b2>0)． 因为＝，所以b＝3a，从而c＝4a，于是e＝＝2. 2或 若双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，则双曲线C的离心率为 ___________. [规范板书]　解析　因为x＝±y，所以y＝±x. 当焦点在x轴上时，设双曲线C的方程为－＝1(a1>0, b1>0)． 因为＝，所以a＝3b，从而c＝4b，于是e＝＝＝. 如图，已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB＝90°，且BF＝3AF，求双曲线C的渐近线方程． 则a2＋(3a)2＝(2c)2，即c2＝a2. 因为b2＝c2－a2＝a2， 所求双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 1. 已知双曲线C: －＝1(a＞0, b＞0)的离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为__________________. y＝±2x 2. 已知双曲线C: －＝1(a＞0, b＞0)的两条渐近线与圆x2＋y2＝5相交于M, N, P, Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x 提示　联立解得 所以·＝2，即2c2＝5ab， 所以2(a2＋b2)＝5ab，即2－5＋2＝0，解得＝或2(舍去)， 故所求渐近线方程为y＝±x. 已知双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求该双曲线的离心率． 由原点到直线l的距离为c，得＝c，故3c2(a2＋b2)＝16a2b2. 两边同除以a4后令＝x，得3x2－16x＋16＝0， 解得x＝4或x＝. 因为e＝＝，所以e＝2或e＝. 又由条件0<a<b知e＝＝ >，故e＝舍去，所以e＝2. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)的左焦点为F，点M, N在双曲线C上．若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为_________. ＋1 又e>1，解得e＝＋1. [题后反思]　深刻理解双曲线的对称性，从而发现，点M的横坐标为－是问题的关键． [规范板书]　解析　由四边形OFMN为菱形，得MN綊OF. 根据双曲线的对称性可知M, N的坐标，则M， 代入双曲线的方程得－＝1. 又由c2＝a2＋b2，化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2. 已知点(1, 2)在双曲线－＝1(a>0, b>0)上，则其离心率的取值范围是(　　) A. (1, ) B. C. (， ＋∞) D. [规范板书]　解析　由点(1, 2)在双曲线－＝1(a>0, b>0)上，得－＝1，则＝b2＋4，所以e＝＝＝>，从而e>. 1. 如果双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是___. 提示　因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 所以－＝－1，得a2＝b2，故e＝. 2. 已知F1, F2分别是双曲线C: －＝1(a＞0, b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C上一点．若PF1＋PF2＝6a, △PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D. 所以(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2ccos30°，化简得e2－2e＋3＝0， 解得e＝. 已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0, b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为. (1) 求双曲线C的方程； (2) P是双曲线C上一点，点A在双曲线C的一条渐近线上且位于第一象限，点B在双曲线C的另一条渐近线上且位于第二象限，若＝λ， λ∈，求△AOB面积的最小值． [处理建议]　(1) 利用离心率以及顶点到渐近线的距离求出a, b的值，进而得到双曲线的方程． (2) 由双曲线的方程与渐近线方程可设A(x1, 2x1), B(x2, －2x2)，再利用＝λ求得点P的坐标，然后代入双曲线的方程化简，最后代入面积公式求解即可． [规范板书]　解　(1) 由题意知双曲线C的顶点(0, a)到渐近线ax－by＝0的距离为， 所以＝，即＝. 由解得 所以双曲线C的方程为－x2＝1. 又OA＝＝m, OB＝＝n， 由＝λ，得点P的坐标为， 将点P的坐标代入－x2＝1中，化简得mn＝. 由此双曲线的渐近线方程可知tan＝2， 所以sinθ＝， sin2θ＝. 所以S△AOB＝OA·OBsin2θ＝2mn＝＋1. 设S(λ)＝＋1, λ∈. 由“对勾”函数的图象可知最值点可能为S(1)＝2, S＝， S(2)＝， 所以当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值，最小值为2；当λ＝时，△AOB的面积取得最大值，最大值为. (2) 第(2)问中求面积表达式还有如下解法：设直线AB的方程为y＝kx＋m.由题意知|k|＜2, m>0.由得点A的坐标为.由得点B的坐标为.由＝λ，得xP＝， yP＝.将点P的坐标代入－x2＝1中得＝.设Q为直线AB与y轴的交点，则点Q的坐标为(0, m)，所以S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝OQ·|xA|＋OQ·|xB|＝m＝＝＝＋1. 1. 已知F(， 0)是双曲线－y2＝1(a＞0)的右焦点， A为右顶点，M为右支上任意一点，则·(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A. [－1, ＋∞) B. (0, ＋∞) C. [－2, ＋∞) D. [0, ＋∞) 提示　由题意知a2＋1＝3，解得a＝，所以A(， 0)． 设M(m, n), m≥， 则·＝(m, n)·(m－， n)＝m2－m＋n2＝m2－m＋－1＝m2－m－1＝2－≥0. 当x＝－时，同理可舍去． 2. 是否存在直线l，使得l与双曲线C1: x2－＝1交于A, B两点，与椭圆C2: ＋＝1只有一个公共点，且|＋|＝||？请说明理由． 所以直线l的方程为x＝或x＝－. 当x＝时，易知A(， ), B(， －)， 所以|＋|＝2， ||＝2，舍去； 由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0. 则x1＋x2＝， x1x2＝， 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 从而·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0， 于是|＋|2≠|－|2＝||. $