第7课时 3.2.2双曲线的几何性质(1)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第3章　圆锥曲线与方程 第7课时　双曲线的几何性质(1) 学习目标 1. 掌握双曲线的几何性质． 2. 能根据双曲线的方程说出双曲线的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程等． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　先回顾双曲线的标准方程的结构特点，得出a, b, c的值，再对照几何性质解题． [规范板书]　解　由题意知a2＝4, b2＝3， 例 1 [题后反思]　易将实轴长与实半轴长、虚轴长与虚半轴长混淆，此处需提醒学生注意． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 求双曲线x2－8y2＝32的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (－∞，－3)∪(3,＋∞) R 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程： (1) 25x2－4y2－100＝0； (2) 4y2－x2－4＝0. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 根据下列条件求双曲线的标准方程： 例 2 [处理建议]　先回顾椭圆的标准方程的基本求法，然后类比得出求双曲线标准方程的基本方法． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 令x＝－3，则y＝±4. 从而双曲线的焦点在x轴上． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (2) 因为双曲线的焦点在y轴上， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (3) ① 若双曲线的焦点在x轴上， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 ② 若双曲线的焦点在y轴上， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 又c2＝4＋b2，所以(2＋b)2＝8＋2b2，即b2－4b＋4＝0，解得b＝2， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 提示　由条件可知双曲线的焦点在y轴上， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　应分类讨论，斜率不存在或斜率存在，斜率存在时，也分与渐近线平行或与双曲线相切． 例 3 ① 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，从而y＝0，即此时仅一个交点(1, 0)，符合题意． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 ② 当直线l的斜率存在时，设直线l：y－1＝k(x－1)． 当4－k2＝0，即k＝±2时，方程(*)有一解，即对应直线与双曲线有且仅有一个交点． 综上，直线l的方程为x＝1, 2x－y－1＝0, 2x＋y－3＝0, 5x－2y－3＝0. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　直线与双曲线相交，交点个数为1或2，当联立所得二次方程二项系数为0时，直线与渐近线平行，此时有1个交点；当二项系数不为0，即Δ>0时，有两个交点． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 已知双曲线x2－y2＝4与过其右焦点的直线l交于A, B两点．若AB＝4，则这样的直线有_______条．若AB＝5，则这样的直线有_______条． 变 式 1 当l的斜率为0时，l：y＝0，则AB＝4. 所以当AB＝4时有2条． 若AB＝5，由图形可知l不与x轴垂直或平行，与右支相交于A, B两点，且AB＝5，这样的直线有2条；也可与左边一支，右边一支各一个交点，这样直线有2条，则共4条． 2 4 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　解决直线与双曲线的交点、弦长问题有两个方向：一是数形结合，直接判断符合条件的直线条数；二是代数方法，联立相应方程，判断二次方程解的问题，具体情况如下： 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？ 变 式 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2，则以点P(2, 3)为中点的双曲线的弦MN所在直线的方程为(　　) A. 4x－3y＋1＝0 B. 2x－y－1＝0 C. 3x－4y＋6＝0 D. x－y＋1＝0 提示　设M(x1, y1), N(x2, y2)， 所以2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，即8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0， A 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (教材P105例1)求双曲线－＝1的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程． 所以a＝2, b＝， c＝＝. 因此，实轴长为2a＝4，虚轴长为2b＝2，顶点坐标为(±2, 0)，焦点坐标为(±，0)，离心率为，渐近线方程为y＝±x. [规范板书]　解　将方程化为－＝1，从而a＝4， b＝2， 所以c＝＝6， 从而实半轴长为4，虚半轴长为2，顶点坐标为(±4， 0)，焦点坐标为(±6, 0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 1. 在双曲线－＝1中，横坐标x的取值范围是___________________________，纵坐标y的取值范围是___. 解　(1) 双曲线的方程可化为－＝1， 所以a＝2, b＝5, c＝， 从而实轴长为4，虚轴长为10，焦点坐标为(±， 0)，顶点坐标为(±2, 0)，离心率为，渐近线方程为y＝±x. (2) 双曲线的方程可化为y2－＝1， 所以a＝1, b＝2, c＝， 从而实轴长为2，虚轴长为4，焦点坐标为(0, ±)，顶点坐标为(0, ±1)，离心率为，渐近线方程为y＝±x. (1) 实轴长为4，且过点A(2, －5)； (2) 与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3, 2)； (3) 与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，且一条渐近线方程为x－y＝0. [规范板书]　解　(1) 当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1，又其过点A(2, －5)，代入无解； 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1，又其过点A(2, －5)，代入解得b2＝16， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 所以双曲线的方程为－＝1. (2) 解法1：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.　 因为2<4，所以点(－3, 2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴的负半轴之间， 设双曲线的方程为－＝1(a>0, b>0)， 则 解得 解法2：设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)， 所以－＝λ，解得λ＝， 所以双曲线的方程为－＝1. 又双曲线与椭圆共焦点，则λ＋＝48. 所以λ＝36，故所求双曲线的方程为－＝1. (3) 解法1：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0， 则另一条渐近线方程为x＋y＝0. 可设双曲线的方程为x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1. 由椭圆的方程＋＝1得c2＝48. 解法2：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线的方程为－＝1(16<λ<64)． 由渐近线方程x－y＝0得＝，所以λ＝28， 故所求双曲线的方程为－＝1. [题后反思]　(1) 渐近线方程为±＝0的双曲线方程可表示为－＝λ(λ≠0)． (2) 与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程为－＝1(a2＋k>0，b2－k>0)，与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<k<a2)． (1) 求离心率为，虚半轴长为2的双曲线的标准方程． (2) 已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． (3) 已知双曲线的焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． (4) 求一条渐近线方程为3x＋4y＝0，且经过点的双曲线的标准方程． [规范板书]　解　(1) 由题意知b＝2, e＝， 所以＝，解得a2＝， 所以所求双曲线的方程为－＝1或－＝1. 又a2＋b2＝c2＝64，解得 故双曲线的方程为－＝1. 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0, b>0)， 则渐近线方程为y＝±x. 因为渐近线方程为y＝±x， 所以＝，即a2＝3b2. 又a2＋b2＝c2＝64，所以 故双曲线的方程为－＝1. 则可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0, b>0)， 所以渐近线方程为y＝±x. 因为渐近线方程为y＝±x， 所以＝，即b2＝3a2.　 故双曲线的方程为－＝1. 综上，所求双曲线的方程为－＝±1. 则可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0, b>0)，渐近线方程为y＝±x.　 因为渐近线方程为y＝±x， 所以＝，即a2＝3b2.　 又a2＋b2＝c2＝64，解得 (4) 依题可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．又双曲线经过点， 所以－＝λ，解得λ＝1， 因此双曲线的标准方程为－＝1. －＝1 1. 实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，且一个顶点坐标为(0, 2)的双曲线的标准 方程为_______________. 提示　设双曲线的方程为－＝1(a＞0, b＞0)． 由条件可知a＝2，则2＋b＝c. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 2. 以直线y＝±x为渐近线，且一个焦点坐标是(0, 2)的双曲线的标准方程为 __________________. 因此可设双曲线的方程为－x2＝λ2(λ≠0)， 从而4λ2＝4，解得λ2＝1，故所求双曲线的方程为－x2＝1. －x2＝1 3. 焦点在x轴上，离心率为，且经过点(6, －2)的双曲线的标准方程为 _______________. 提示　设双曲线的方程为－＝1(a＞0, b＞0)， 则解得所以双曲线的标准方程为－＝1. －＝1 已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1, 1)作直线l，使l与C有且仅有一个公共点，求直线l的方程． [规范板书]　解　由双曲线C：x2－＝1与直线有且仅有一个公共点，可知对应方程联立成方程组有且仅有一解． 联立消去y得(4－k2)x2＋2k(k－1)x－(k2－2k＋5)＝0.(*) 当4－k2≠0时，有Δ＝4k2(k2－2k＋1)＋4(4－k2)·(k2－2k＋5)＝4(20－8k)＝0，解得k＝. 即当k＝时，直线l与双曲线C相切，有且仅有一个公共点． [规范板书]　解析　当l的斜率不存在时，l：x＝2，则AB＝4； 相交 两点：Δ>0 一点：直线与渐近线平行(二次项系数为0) 相切 一点：Δ＝0 相离 Δ<0 相交不一定有两解，两解一定相交．另外弦长AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|(可类比椭圆与直线相交弦长的求解方法)． 解得a<－或a>， [规范板书]　解　联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 由题意知 解得－<a<且a≠±. 若点A, B在双曲线的同一支上，则>0， 所以<a<或－<a<. 若点A, B分别在双曲线的两支上，则<0， 解得－<a<. 则2x－y＝2, 2x－y＝2, x1＋x2＝4, y1＋y2＝6， 从而k＝＝. ±或± 2. 已知双曲线C: －y2＝1，直线l的方程为y＝kx＋1，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则k的值为_______________. 提示　联立消去y得(1－4k2)x2－8kx－8＝0. 当k＝±时，方程只有一个解，故直线与双曲线只有一个公共点； 当k≠±时，Δ＝64k2＋32(1－4k2)＝0，解得k＝±. 课堂小结： 1. 双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等)． 2. 已知双曲线的渐近线方程为± ＝0时，可设双曲线的方程为－ ＝λ(λ>0时焦点在x轴上，λ<0时焦点在y轴上). $