精品解析：江西省南昌市江西师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级数学素养测试卷 全卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像必经过点 B. 图像经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图像与直线平行 4. 若与是一元二次方程两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点E是上点，点F是延长线上一点，连接，，．点P是的中点，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域，从发射点和导弹落点粗略估算，这次导弹飞行射程大概有12000公里，数12000用科学记数法表示为_________． 8. 因式分解mn-m=_____． 9. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 10. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 11. 如图所示，在中进行折叠操作，使得点C恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为______°． 12. 在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. （1）计算：． （2）如图，点分别是等边三角形边上的点，且，与交于点.求证：． 14. （1）解方程： （2）计算：． 15. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 16. 如图，正比例函数图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集：___________． 17. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作∠BAC的平分线AM； （2）在图2中，作AC的中点F． 四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 为了解七年级学生的身高情况，某校随机抽取了七年级部分学生，测得他们的身高（单位：）如下表所示： 身高 人数/人 百分比 A： 36 B： m C： 84 n D： 48 E： 12 p 并绘制了两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题： （1）上述统计中抽取的样本容量为______，表中______，______； （2）请补全图甲中的频数分布直方图； （3）求图乙中扇形C的圆心角度数； （4）若全校共有七年级学生1200人，把E：范围内的服装定为号，请估计该校七年级需要订购号校服的学生人数． 19. 如图2、图3是图1所示的某公共汽车双开门的俯视图，，，是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时（如图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启（如图3）时，A，D分别沿，的方向匀速滑动，带动B，C滑动，B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知． （1）如图3，当时，求门打开宽度； （2）如图3，当时，求此时门打开的宽度． 20. 植树节来临之际，学校准备购进一批树苗，已知2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需113元；3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需87元． （1）求一棵甲种树苗和一棵乙种树苗售价各是多少元； （2）学校准备购进这两种树苗共100棵，并且乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 五、解答题（共2小题，满分18分，每小顾9分） 21. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六、综合题（满分12分） 23. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点E，F，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点G． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，连接交于点H． ①证明：；②求证：； （3）当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养测试卷 全卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：万元， 2022的教育经费为：万元， ∴可得方程：． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 3. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像必经过点 B. 图像经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图像与直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，根据一次函数上的点的坐标特征、一次函数系数与图像的关系，增减性，一次函数的平移逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、当时，，即图像必经过点，原结论错误，不符合题意； B、，图像过二、四象限，，图像过第一象限，即图像经过第一、二、四象限，原结论正确，符合题意； C、，图象随的增大而减小，原结论错误，不符合题意； D、由，则直线的图像与直线的图像不平行，原结论错误，不符合题意， 故选：B． 4. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】一元二次方程的两个实数根， ，， ∵，即， ∴， ， 故选． 5. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可将行程分为3段：停车休息前、停车休息中、停车休息后．根据停车前和停车后，油箱中油量随时间的增加而减少；停车休息中，时间增加但油箱中的油量不变．表示在函数图象上即可． 【详解】解：∵某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间， ∴休息前油箱中油量随时间增加而减少，休息时油量不发生变化． ∵再次出发油量继续减小，到乙地后发现油箱中还剩4升油， ∴只有符合要求． 故选：． 【点睛】本题考查了用图象法表示函数关系，明确三段行程油量随时间的增加发生的变化情况是解题的关键． 6. 如图，在正方形中，点E是上点，点F是延长线上一点，连接，，．点P是的中点，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．综合运用以上知识点是解题的关键． 根据正方形的性质证明，，再通过角的等量代换得到，再根据三角形的内角和性质进行列式，最后代入计算即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，． ， ． 点P是的中点， ，， ，点P是的中点， ， ． 与中， ， ， ，， ， ， ∴ 四边形正方形， ， 则 故选A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域，从发射点和导弹落点粗略估算，这次导弹飞行射程大概有12000公里，数12000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 因式分解mn-m=_____． 【答案】m(n—1) 【解析】 【分析】根据提公因式法因式分解即可求解． 【详解】解：原式＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 9. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此， 故答案为：． 10. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 11. 如图所示，在中进行折叠操作，使得点C恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为______°． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，利用平行线的性质求出，再利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折变换的性质可知， ． 故答案为：． 12. 在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键；根据题意得出，进而分，当点与点重合时，点与点重合，则为等腰三角形，当时，为等腰三角形，分三种情况讨论，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：，， ． ①如图1，当时，为等腰三角形， 此时，， ； ②如图2，当点与点重合时，点与点重合， 则为等腰三角形， 此时可得； ③如图3，当时，为等腰三角形， 此时，， 过点作的垂线，垂足为，可得， 又， ， ， ． 综上所述，的长为或或． 三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. （1）计算：． （2）如图，点分别是等边三角形边上的点，且，与交于点.求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）先分别化简立方根和平方根、绝对值，再计算即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解： ； （2）证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 14. （1）解方程： （2）计算：． 【答案】（1）：，；（2）2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和分式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ∴或； 解得：， （2） ． 15. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； 【小问2详解】 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16. 如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集：___________． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）利用函数图象，写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式． 【小问2详解】 解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， ， 又， ． 【小问3详解】 解：由图像可知，当时，一次函数的图象在的上面， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 17. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作∠BAC的平分线AM； （2）在图2中，作AC的中点F． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】． （1）由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线； （2）由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点． 【小问1详解】 解：由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC， 延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线，如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示：由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形得角平分线，中点，解题的关键是掌握这些知识点． 四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 为了解七年级学生的身高情况，某校随机抽取了七年级部分学生，测得他们的身高（单位：）如下表所示： 身高 人数/人 百分比 A： 36 B： m C： 84 n D： 48 E： 12 p 并绘制了两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题： （1）上述统计中抽取的样本容量为______，表中______，______； （2）请补全图甲中的频数分布直方图； （3）求图乙中扇形C的圆心角度数； （4）若全校共有七年级学生1200人，把E：范围内的服装定为号，请估计该校七年级需要订购号校服的学生人数． 【答案】（1）240，60， （2）见详解 （3） （4）60 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和频数分布表，扇形统计图，样本容量，样本估计总体，解题的关键是将各个图表中的数据结合起来． （1）用的人数除以对应百分比可得样本容量，再用样本容量乘以对应百分比可得，再用的人数除以样本容量，可得； （2）根据值补全统计图即可； （3）用乘以部分对应百分比即可； （4）用 1200 乘以部分对应百分比即可． 【小问1详解】 解：， ∴抽取的样本容量为 240 ； ，即， ，即， 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形C的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：人， 答：估计该校七年级需要订购号校服的学生有 60 人． 19. 如图2、图3是图1所示的某公共汽车双开门的俯视图，，，是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时（如图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启（如图3）时，A，D分别沿，的方向匀速滑动，带动B，C滑动，B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知． （1）如图3，当时，求门打开的宽度； （2）如图3，当时，求此时门打开的宽度． 【答案】（1）为 （2）为 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据含的直角三角形的性质求出，则，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程求出x的值，然后根据线段的和差关系求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵． ∴，， ∴， ∴， 答：门打开的宽度为； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴ 答：此时门打开的宽度是． 20. 植树节来临之际，学校准备购进一批树苗，已知2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需113元；3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需87元． （1）求一棵甲种树苗和一棵乙种树苗的售价各是多少元； （2）学校准备购进这两种树苗共100棵，并且乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 【答案】（1）一棵甲种树苗的售价为19元，一棵乙种树苗的售价为15元；（2）最省钱的购买方案为购买甲种树苗34棵，购买乙种树苗66棵，总费用为1636元． 【解析】 【详解】分析：（1）设一棵甲种树苗的售价为x元，一棵乙种树苗的售价为y元，依据2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需113元；3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需87元，解方程组求解即可． （2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100-a）棵，总费用为w元，依据w随着a的增大而增大，可得当a取最小值时，w有最大值． 详解：（1）设一棵甲种树苗的售价为x元，一棵乙种树苗的售价为y元，依题意得 ， 解得， ∴一棵甲种树苗的售价为19元，一棵乙种树苗的售价为15元； （2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100-a）棵，总费用为w元，依题意得 w=19a+15（100-a）=4a+1500， ∵4＞0， ∴w随着a的增大而增大， ∴当a取最小值时，w有最大值， ∵100-a≤2a， ∴a≥，a为整数， ∴当a=34时，w最小=4×34+1500=1636（元）， 此时，100-34=66， ∴最省钱的购买方案为购买甲种树苗34棵，购买乙种树苗66棵，总费用为1636元． 点睛：本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出函数关系式以及不等式． 五、解答题（共2小题，满分18分，每小顾9分） 21. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到 证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②延长至点，根据题意，得，结合平行四边形是菱形，得到，结合，，得到从而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先利用长方形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式； （2）分点P在上和点P在上两种情况，根据三角形面积公式列分段函数； （3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质分别求解． 【小问1详解】 解：长方形的顶点分别在轴与轴上，， ，，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当点P在上时，，即， ，边上高为6， ； 当点P在上时，，即， ，边上高为， ， 的面积关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：存在，， 满足条件的点在上， 若为等腰三角形，分三种情况考虑： 当时， 在中，，， ， ， ； 当时，过点P作于点Q， ， ， ； 当时，过点D作于点E， 在中，， ， ， ， 综上可知，满足条件的P点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想． 六、综合题（满分12分） 23. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点E，F，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点G． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，连接交于点H． ①证明：；②求证：； （3）当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3）6或9 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质证，得，过作于，再结合矩形的性质和勾股定理即可求的长； （2）①识别出和“8”字倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等于线段＋线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边三角形即可证出； （3）分两种情况讨论，①点在右上方；②点在左上方，先利用勾股定理求的长，设，利用矩形和等腰三角形的性质与判定得到，再利用线段和差建立方程即可求解． 小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过作于，则， ， 四边形是矩形， ， 在中，； 【小问2详解】 证明：①∵四边形是矩形， ， ， ， ∵四边形折叠得到四边形， ， ， 又∵， ， ， ， ； ②∵， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解∶①当点在右上方时，如图过点G作于点Q， 则， ， 四边形是矩形， 同理可得：四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 将四边形沿直线l折叠得到四边形， ， ， ， ， 设， 由（1）知，， ， 将四边形沿直线l折叠得到四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得，， 设，同理有， ， ， 解得， ， 综上，的长为6或9． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，二次根式，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $