辽宁省沈阳市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷练习卷

2025-2026学年度辽宁省沈阳市九上第一次月考数学模拟试卷 第1部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．x2﹣2xy﹣y2＝0 2．关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 4．观察表格，估计一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解的大致范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8 5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．下列命题为假命题的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 7．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD右侧作△CDE，使DE＝DC，连接AE，随着∠CDE逐渐增大，∠AEC的度数（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．保持不变 9．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，连接EF，若直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M，连接BM．有以下四个结论：①∠ABC＝60°，②如果AB＝2，那么，③，④；其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则　 　 ． 12．若a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+4a+2b的值是 　 　 ． 13．如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为AE＝1.9米，AD＝1.5米，已知小鹏的身高AC＝1.8米，小倩的身高AB＝1.5米，则该路灯的高度为 　 　 米． 14．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝9时，则BE+CF的最小值为 　 　 ． 15．如图，四边形ABCD是菱形，AC是对角线，E是边AB上的一点，连接CE，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上，若AB＝5，，则BE＝ 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）用适当的方法解方程： （5分）（1）2x（x+3）＝5； （5分）（2）x2﹣2x﹣3＝0． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC•EF的值为 　 　 ． 18．（8分）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （4分）（1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （4分）（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 19．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 20．（8分）如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，DC，BC． （4分）（1）求证：四边形ABCD是菱形； （4分）（2）若OE＝15，AC＝24，求菱形ABCD的面积． 21．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （4分）（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （4分）（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22．（12分）在正方形ABCD中，点E是射线BD上的一个点，以CE为边向右侧作正方形CEFG． （4分）（1）如图1，当点E在线段BD上时，求证：BD＝DG+DE； （4分）（2）如图2，当点E在线段BD的延长线上时，猜想线段BD、DG、DE之间的数量关系，并说明理由； （4分）（3）如图3，点M为线段EF的中点，连接AM，若AB＝4，则AM的最小值为 　 　 ． 23．（13分）【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形． 【理解运用】 （4分）（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是 　 　 （只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【拓展提升】 （9分）（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE． ①求证：四边形BCGE是强等线四边形； ②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B C A D A B 二．填空题（共5小题） 11．若，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴1， ∴． 故答案为：． 12．若a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+4a+2b的值是 　2018　 ． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根， ∴a2+2a﹣2022＝0，a+b＝﹣2， ∴a2+2a＝2022，2a+2b＝﹣4， ∴a2+4a+2b＝（a2+2a）+（2a+2b）＝2022﹣4＝2018， 故答案为：2018． 13．如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为AE＝1.9米，AD＝1.5米，已知小鹏的身高AC＝1.8米，小倩的身高AB＝1.5米，则该路灯的高度为 　7.2　 米． 【解答】解：由题意得：CA⊥EF，BA⊥DF，GF⊥EF， ∴CA∥GF， ∴△EAC∽△EFG， ∴， ∵AB＝AD＝1.5m， ∴△BAD是等腰直角三角形， ∴∠GDF＝45°， ∴△GFD是等腰直角三角形， ∴FG＝DF＝AD+AF＝（1.5+AF）（m）， ∴， 解得：AF＝5.7（m）， 经检验，AF＝5.7m是原方程的解，且符合题意， ∴FG＝1.5+5.7＝7.2（m）， 故答案为：7.2． 14．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝9时，则BE+CF的最小值为 　2　 ． 【解答】解：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG， 在△ABE和△AFG中， ， ∴△ABE≌△AFG（SAS）， ∴BE＝GF， ∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等， ∵AB＝AF＝9，且AEAF， ∴AE＝AG＝3， ∴BG＝AB﹣AG＝6， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， 在Rt△BCG中，CG2， 即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2， ∴BE+CF的最小值为2， 故答案为：2． 15．如图，四边形ABCD是菱形，AC是对角线，E是边AB上的一点，连接CE，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上，若AB＝5，，则BE＝ 　　 ． 【解答】解：作CL⊥AD于点L，则∠ALC＝∠DLC＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝5，AD∥BC， ∵AC2﹣AL2＝CD2﹣DL2＝CL2，且DL＝5﹣AL， ∴（）2﹣AL2＝52﹣（5﹣AL）2， 解得AL＝1， 由翻折得B′C＝BC＝5， ∴B′C＝CD， ∵点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上， ∴B′L＝DL＝AD﹣AL＝4， ∴AB′＝B′L﹣AL＝3， ∵AB′∥BC， ∴△AFB′∽△BFC， ∴， ∴BFABAB5，CFB′CB′C5， 作EH∥FC交BC于点H，则∠HEC＝∠B′CE， ∴∠BCE＝∠B′CE， ∴∠HEC＝∠BCE， ∴CH＝HE， ∴， ∵△BEH∽△BFC， ∴， ∴， ∴， ∴BEBFBF， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 16．用适当的方法解方程： （1）2x（x+3）＝5； （2）x2﹣2x﹣3＝0． 【解答】解：（1）2x（x+3）＝5， 2x2+6x﹣5＝0， 则Δ＝62﹣4×2×（﹣5）＝76＞0， 所以x， 故． （2）x2x﹣3＝0， x2﹣2x＝3， x2﹣2x+5＝3+5， （x）2＝8， 则x， 所以． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC•EF的值为 　30　 ． 【解答】解：连接AC、EF， ∵点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC， ∴OA＝BC＝9，OC＝AB＝3， ∴B（ 9，3），AC3， 依题意，OE＝4×1＝4，BF＝4×1＝4， ∴AE＝9﹣4＝5，则E（4，0）， ∴CF＝BC﹣BF＝9﹣4＝5， ∴F（5，3）， EF， ∴AC•EF＝330． 故答案为：30． 18．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【解答】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米， 根据题意得：30x＝12（x+120）， 解得：x＝80． 答：原计划每天摊铺沥青80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2＝（3y+6）米，宽为（2y+2）米， 根据题意得：（3y+6）（2y+2）＝2×3×2， 整理得：y2+3y0， 解得：y1＝0.2，y2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）． 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【解答】解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20%． 20．如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，DC，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝15，AC＝24，求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形AEBO是矩形， ∴∠AOB＝90°， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形AEBO是矩形， ∴AB＝BC＝OE＝15， OCAC＝12， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB9， ∴BD＝2OB＝2×9＝18，AC＝24， ∴S菱形ABCDAC•BD18×24＝216． 21．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设这个降价率为x， 依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理，得：y2﹣15y+50＝0， 解得：y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每千克应涨价5元． 22．在正方形ABCD中，点E是射线BD上的一个点，以CE为边向右侧作正方形CEFG． （1）如图1，当点E在线段BD上时，求证：BD＝DG+DE； （2）如图2，当点E在线段BD的延长线上时，猜想线段BD、DG、DE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点M为线段EF的中点，连接AM，若AB＝4，则AM的最小值为 　　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴CG＝CE，CD＝BC，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCD﹣∠DCE＝∠ECG﹣∠DCE， ∴∠BCE＝∠DCG， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴DG＝BE， ∴BD＝BE+DE＝DG+DE； （2）解：BD＝DG﹣DE，理由如下： 由上知， ∴CG＝CE，CD＝BC，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE， ∴∠BCE＝∠DCG， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴DG＝BE， ∴BD＝BE﹣DE＝DG﹣DE； （3）解：如图， 以B为原点，BC和BA所在的直线为坐标轴建立坐标系， 则A（0，4）， 作EH⊥BC于H，交AD于G， 则∠EHE＝∠EGF＝90°， ∴∠HCE+∠CEH＝90°， ∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形， ∴∠AOC＝∠CEF＝90°，EF＝CE，∠COD＝∠AOD， ∴∠FEG+∠CEH＝90°，∠OEH＝90°﹣∠COD＝45°， ∴∠FEG＝∠ECH，∠OEH＝∠COD， ∴△CEH≌△EFG（AAS），EH＝OH， ∴FG＝EH， 设E（a，a）， ∴F（2a，4）， ∴M（）， ∴， ∴y， ∴点M在直线y上运动，当AM⊥直线y时，AM最小， 设直线y交AD于V，交y轴于W（0，2），作AM′⊥WV于M′， 由得， x＝6， ∴AV＝6， ∴WV2， 由S△AWV得， AM′， ∴AM最小， 故答案为：． 23．【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形． 【理解运用】 （1）下列四边形中，一定是等线四边形的是 　②④；　 （只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【拓展提升】 （2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE． ①求证：四边形BCGE是强等线四边形； ②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长． 【解答】（1）解：一定是等线四边形的是②矩形；④正方形．理由如下： ①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形； ②矩形对角线相等，它一定是等线四边形； ③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形； ④正方形对角线相等，它一定是等线四边形， 故答案为：②④； （2）①证明：连接BG、CE，交于点O，设CE交AB于点N，如图： 菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝60°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△BAG和△EAC中， ， ∴△BAG≌△EAC（SAS）， ∴BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，即∠OBN＝∠AEN， ∵∠OBN十∠BNO+∠BOE＝∠AEN+∠ENA+∠BAE＝180°，∠BNO＝∠ENA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，即BG、CE所夹锐角为60°， ∴四边形BCGE是强等线四边形； ②解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝30°， ∴AC＝AB•cos∠BAC＝42， 菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG＝2，AE＝AB＝4，∠CAG＝∠BAE＝60°， ∴△ACG、△ABE都是等边三角形， ∴∠GAE＝∠CAG+∠BAC+∠BAE＝150°， ∴CG＝AC＝2，BE＝AB＝4，∠AGC＝∠AEB＝60°， ∠AGE+∠AEG＝180°﹣∠GAE＝30°， ∴∠CGE+∠BEG＝∠AGC+∠AEB﹣（∠AGE+∠AEG）＝90°， 连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM、QM，如图： ∵分别是BC，GE的中点， ∴PM、QM分别是△BCE、△CGE的中位线， ∴PMBE＝2，PM∥BE， QMCG，QM∥CG， ∴∠CMP＝∠CEB，∠MQE＝∠CGE， ∵∠CMQ＝∠MQE+∠CEG， ∴∠CMQ＝∠CGE+∠CEG， ∴∠CMQ+∠CMP＝∠CGE+∠CEG+∠CEB＝90°， 在Rt△PQM中，由勾股定理得， PQ， 即PQ的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $