第二章一元二次方程　单元练习　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学9年级上第二章一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）⑦2＝0⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1其中一元二次方程的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．6 2．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 3．已知，关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 4．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　） A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 5．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．12或 B．6或2 C．6 D． 6．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 7．若方程（m﹣1）x2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＝0 B．m≠1 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 8．若关于x的一元二次方程，x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 9．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门 狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门， 竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿 长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是（　　） A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2B．42+（x﹣2）2＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2D．（x﹣4）2+22＝x2 10．若mn≠1，且5m2+2023m+9＝0，9n2+2023n+5＝0，则（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为1，则a+b+c＝　 　 ；若a﹣b+c＝0，则有一个根为 　 　 ；若有一个根为0，则c＝　 　 ． 12．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　 　 ． 13．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为 　 　 ． 14．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是 　 　 ． 15．随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　 　 ． 16．已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+2b﹣3c的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．选择合适的方法解下列方程： （1）x2+3x＝0；（2）5x2﹣4x﹣1＝0；（3）x2+2x﹣3＝0． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝23，求m的值． 19．某网店销售一款童装，每件售价60元时每周可卖300件，已知该款童装每件成本价为40元． （1）每件的利润是 　 　 元；每周利润是 　 　 元； （2）为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定销售，经市场调查发现，每降价1元每周可多卖30件．若总利润要达到6480元，问每件童装的售价应降价多少元？ 20．如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若设垂直墙的边为x米，则平行墙的边长为 　 　 米（用含x代数式表示）；（2）求鸡场的两边各为多少米． 21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 22．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设x2＝y，于是原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．当y＝﹣2时，x2＝﹣2不合题意舍去；当y＝3时，x2＝3，解得，，故原方程的根为：，．请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0；（2）． 23．如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．点P停止运动时点Q也停止运动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 北师大版数学9年级上第二章一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D B C C B A A 一．选择题（共10小题） 1．下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦2＝0；⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：①y2+2x＝0含有两个未知数，不是一元二次方程； ②x2＝0是一元二次方程； ③（x2﹣1）2＝1，未知数的最高次数是4次，不是一元二次方程； ④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程； ⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程； ⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数），当a＝0时，不是一元二次方程； ⑦2＝0是分式方程； ⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知数，不是一元二次方程． 所以属于一元二次方程的有②④，共2个． 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c＝10的解． 【解答】解：由表格可知：当x＝1.5时，ax2+bx+c＝5.25，则ax2+bx+c﹣10＝﹣4.75， 当x＝2时，ax2+bx+c＝13，则ax2+bx+c﹣10＝3， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型． 3．已知，关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】关于x的一元二次方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，再根据一元二次方程得出m﹣2≠0，求出m的取值范围． 【解答】解：根据题意知Δ＝22﹣4（m﹣2）≥0， 解得：m≤3， 又∵m﹣2≠0，即m≠2， ∴m≤3且m≠2， 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0． 4．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　） A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028． 故选：D． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 5．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．12或 B．6或2 C．6 D． 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再由三角形的形状分别求出三角形的面积． 【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0， ∴（x﹣5）（x﹣3）＝0， ∴x1＝3，x2＝5． 当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD， 所以该三角形的面积是42＝2 ； 当x2＝5时，与另两边组成直角三角形， 即3，4，5符合直角三角形， ∴该三角形的面积＝3×4÷2＝6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，综合性比较强，结合等腰三角形的面积和直角三角形的判定得出答案是解决问题的关键． 6．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可． 【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得 （x+1）2＝100， 故选：C． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 7．若方程（m﹣1）x2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＝0 B．m≠1 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 【分析】先根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵此方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得m≥0且m≠1． 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 8．若关于x的一元二次方程，x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可． 【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＝0，b＞0，即kb＝0，故D不正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 9．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门 狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是（　　） A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2 【分析】若设竿长AC为x尺，则BC为（x﹣4）尺，AB为（x﹣2）尺，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设竿长AC为x尺，则BC为（x﹣4）尺，AB为（x﹣2）尺， 根据题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．若mn≠1，且5m2+2023m+9＝0，9n2+2023n+5＝0，则（　　） A． B． C． D． 【分析】将原题第二个等式左右两边同时除以n2，变形后与第一个等式比较，得到m与为方程5x2+2009x+9＝0的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【解答】解：将9n2+2009n+5＝0变形得：5×（）2+20249＝0， 又∵5m2+2023m+9＝0， ∴m与为方程5x2+2023x+9＝0的两个解， 则m•． 故选：A． 【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当方程有解，即b2﹣4ac≥0时，设方程两根分别为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 二．填空题（共6小题） 11．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为1，则a+b+c＝　0　 ；若a﹣b+c＝0，则有一个根为 　x＝﹣1　 ；若有一个根为0，则c＝　0　 ． 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为1，可以得到a+b+c＝0；再根据x＝1时，a﹣b+c＝0，可以得到若a﹣b+c＝0，方程的一个根；然后将x＝0代入一元二次方程，即可得到c的值． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为1， ∴a+b+c＝0； ∵当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， ∴a﹣b+c＝0，则有一个根为x＝﹣1； 若有一个根为0， 则c＝0， 故答案为：0；x＝﹣1；0． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出相应的数据． 12．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　13　 ． 【分析】根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：x2+6x﹣1＝0， x2+6x＝1， x2+6x+9＝1+9， （x+3）2＝10， ∴a＝3，b＝10， ∴a+b＝3+10＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，能够将一元二次方程正确配方是解答本题的关键． 13．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为 　4　 ． 【分析】把（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0看作为关于a2+b2的一元二次方程，利用因式分解法可求得a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3，然后根据非负数的性质可确定a2+b2＝4． 【解答】解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12， ∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0， ∴（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0， ∴a2+b2﹣4＝0或a2+b2+3＝0， ∴a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3（舍去）． 故答案为4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 14．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是 　　 ． 【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数×（聚会人数﹣1）＝总握手次数，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：参加聚会的人数为x人，每个人都要握手（x﹣1）次，根据题意得： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 15．随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　30%　 ． 【分析】设该种药品平均每次降价的百分率为x，利用该种药品的现价＝该种药品的原价×（1﹣该种药品平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）， ∴该种药品平均每次降价的百分率为30%． 故答案为：30%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+2b﹣3c的值为 　﹣2　 ． 【分析】由a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，可得（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，则a＝3，b＝﹣1，c＝1，然后代入求值即可． 【解答】解：由条件可知a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a+11＝0， ∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣1，c＝1， ∴a+2b﹣3c＝3+2×（﹣1）﹣3×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．选择合适的方法解下列方程： （1）x2+3x＝0； （2）5x2﹣4x﹣1＝0； （3）x2+2x﹣3＝0． 【分析】（1）直接提取公因式求出x的值即可； （2）（3）利用因式分解法求出x的值即可． 【解答】解：（1）x2+3x＝0， x（x+3）＝0， x＝0或x+3＝0， 故x1＝0，x2＝﹣3； （2）5x2﹣4x﹣1＝0， （5x+1）（x﹣1）＝0， 5x+1＝0或x﹣1＝0， x1，x2＝1； （3）x2+2x﹣3＝0， （x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣3，x2＝1． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝23，求m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝4（m+1）2﹣4×1×（m2+5）≥0，解不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），，再将所求等式左侧展开代入计算即可得到m值． 【解答】（1）解：根据题意可得：Δ＝4（m+1）2﹣4×1×（m2+5）≥0， 解得：m≥2， 所以m的取值范围m≥2； （2）∵x1，x2是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的解， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5， ∵（x1+1）（x2+1）＝23， ∴x1x2+x1+x2+1＝23，即m2+5+2（m+1）+1＝23， 解得：m1＝﹣5，m2＝3， 由（1）知，m≥2， ∴m＝3． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19．某网店销售一款童装，每件售价60元时每周可卖300件，已知该款童装每件成本价为40元． （1）每件的利润是 　20　 元；每周利润是 　6000　 元； （2）为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定销售，经市场调查发现，每降价1元每周可多卖30件．若总利润要达到6480元，问每件童装的售价应降价多少元？ 【分析】（1）由题意分别列式计算即可； （2）设每件童装的售价定为x元，则每件童装的售价应降价（60﹣x）元每件的销售利润为（x﹣40）元，每星期的销售量为（2100﹣30x）件，根据总利润要达到6480元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）每件的利润是：60﹣40＝20（元），每周利润是：20×300＝6000（元）， 故答案为：20，6000； （2）设每件童装的售价定为x元，则每件童装的售价应降价（60﹣x）元，每件的销售利润为（x﹣40）元，每星期的销售量为300+30（60﹣x）＝（2100﹣30x）（件）， 依题意得：（x﹣40）（2100﹣30x）＝6480， 整理得：x2﹣110x+3016＝0， 解得：x1＝52，x2＝58（不符合题意，舍去）， ∴60﹣x＝60﹣52＝8， 答：每件童装的售价应降价8元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米． （1）若设垂直墙的边为x米，则平行墙的边长为 　（35﹣2x）　 米（用含x代数式表示）； （2）求鸡场的两边各为多少米． 【分析】（1）设长方形的长（与墙平行的矩形边长）为x米，用总长减去一个长后即可求得与墙垂直的墙长； （2）根据面积为150平方米结合矩形的面积列出方程求解即可． 【解答】解：（1）墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米， 设长方形的长（与墙平行的矩形边长）为x米，那么与墙平行的竹篱笆的长是（35﹣2x）米， 故答案为：（35﹣2x）； （2）根据题意得：（35﹣2x）x＝150， 解得：x＝10或x＝7.5， 35﹣2x≤18， ∴x＝10， ∵35﹣2x＝15， ∴x＝15， 答：篱笆的长为15米，宽为10米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，难度不大． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 8:29:39；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0， 解得：a＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，等边三角形的性质，关键是掌握等边三角形的性质． 22．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设x2＝y，于是原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．当y＝﹣2时，x2＝﹣2不合题意舍去；当y＝3时，x2＝3，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0； （2）． 【分析】（1）设y＝x2+x，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； （2）设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由换元法可设y＝x2+x，原方程可化为y2+2y﹣8＝0， 解得y1＝﹣4，y2＝2， 当y＝﹣4时，x2+x＝﹣4，即x2+x+4＝0， ∵Δ＝﹣15＜0， ∴方程无解， 当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， 故原方程的根为x1＝﹣2，x2＝1； （2）由换元法可设，方程可化为y2﹣3y+2＝0， 解得y1＝1，y2＝2， 当y＝1时，， 解得x＝﹣1，经检验是原方程的解， 当y＝2时，， 解得x＝﹣2，经检验是原方程的解， 故原方程的根为：x1＝﹣1，x2＝﹣2． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点，熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 23．如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．点P停止运动时点Q也停止运动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质，利用梯形面积的求算方法，找出等量关系列出方程求解即可； （2）作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【解答】解：（1）依题意得 AP＝3t， BP＝AB﹣AP＝16﹣3t， CQ＝2t， DQ＝DC﹣CQ＝16﹣2t， 故S梯形PBCQ（CQ+PB）•BC． 又∵S梯形PBCQ＝33， ∴（2t+16﹣3t）×6＝33， 解得t＝5． 答：P、Q两点出发后5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点P做PE⊥CD交CD于E． QE＝DQ﹣AP＝16﹣5t， 在Rt△PQE中， PE2+QE2＝PQ2， 可得：（16﹣5t）2+62＝102， 解得t1＝4.8（舍去），t2． 答：P、Q两点从出发开始 s时，点P和点Q的距离第一次是10cm． 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．（2）利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $