广东省深圳市南头中学2026届高三上学期8月月考数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数之满足产=1+i,则x= A.0 B.-2 C.i D.-2i 2.已知集合M={信，合1,23，N=zx>x,则MnN= A{分3 R分，引 C.{1,2,3} D.{2,3} 3.已知向量a=(4,一m),b=(2,3),且ab,则m= A.6 B.-6 c-号 4.已知直线y=√3x十2与圆C:x2十y2=9相交于E,F两点，则|EF|= A.42 B.52 C.62 D.72 5.已知函数f(x)=log2(x2一8x十a2)的值域为R,则a的取值范围为 A.[-2,2] B.(-∞，-2]U[2,+∞) C.[-4,4] D.(-∞，-4幻U[4,+∞) 6.某船在海上从M岛（看成质点）出发，沿正北方向行驶10海里，接着沿北偏东30°的方向行驶 10海里，最后沿北偏东60°的方向行驶10海里到达N处，则MN|= A.(205一10)海里 B.(20+10√3)海里 C.(10√3一10)海里 D.(10+10√3)海里 7.某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度（单位：米/秒）与时间t(单位：秒)之间的函 数关系式为v(t)=一9.8t十4.7，则该运动员（身高忽略不计）在t=1秒时离水面的高度为 A.9.6米 B.9.7米 C.9.8米 D.9.9米 【高三数学第1页（共4页）】 8.已知函数f(x)= 3x2+x+3 x2+1 的最大值为M,最小值为m,则M+m= A.2 B.4 C.6 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为I,M为抛物线C上一点，MN⊥l,N为 垂足，若△MNF为等边三角形，则 A点M的横坐标为号 B直线FN与y轴交点的纵坐标的绝对值为3P C.直线NF的斜率为士√3 D.若△MNF的周长为12，则p=2 10.已知圆锥PO的轴截面为等腰直角三角形，顶点为P,底面圆心为O,EF为底面圆的直径， PO=3,G是底面圆周上异于E,F的一个动点，下列结论正确的是 A.圆锥PO的侧面积为9√2π B.当OG⊥PF时，三棱锥P-EFG的体积最大 C直线EG与直线PF夹角的取值范围是（行，） D.若二面角P-EG-O的大小为60°，则△PEG的面积为6√2 11.已知函数f(x)=sin4x十sin3x在(0，π)内的三个零点分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则 A3∈{z12 B.2x1十x2+x3=2π C.cosx1+cosx2十cosc,=-号 D.sinsinsin 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin A=5sinB,则a= 13.有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有▲ 种不同的安排方法.（用数字作答》 14已知A,B分别为椭圆r:号+y°-1(a>1)的上，下顶点，C是桶圆r上异于A,B的点，点 D在坐标平面内，且ACLAD,BCLBD,若四边形CADB的面积的最大值为7，则a 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)》 随着我国人工智能(AI)的突破性发展，近期许多优秀的人工智能(AI)应用软件发布并上 线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨 论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能(AI)应用软件，为了测试青 年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得 到如下列联表： 应用体验 组别 合计 良好 不良好 青年用户 3m十n 2m-n 中年用户 m+n m++2n 150 合计 300 (1)求出m,n的值，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，请判断这两组不同年龄段的 用户对该软件的应用体验是否存在差异； (2)先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取15人，再从这15人 中随机抽取3人提出进一步改良的建议，求恰有2人的应用体验为不良好的概率， n(ad-bc)2 附：X2-(a+b)c+i)(a+c)6+dDn=a+6+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 已知等差数列{am}满足a3十a5=22,1十2a2=a4,数列{bn}满足b+1=bnbn+2,b2=2b1, b4=8. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列1 的前n项和Sn; a,an+i (3)求数列{anbn}的前n项和T. 【高三数学第3页（共4页）】 17.（15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，BC=4,AD=3,∠BAD=120°，点 M在AD上，且AM=AB=2.将△ABM沿BM折起，使得平面ABM⊥平面BCDM,如图2. (1)求四棱锥A-BCDM的体积； PC 3 (2)若点P在图2中线段AC上，且AC=,证明：PD/平面ABM, (3)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值 M D 图1 图2 18.(17分) 在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点M满足|MF1|一|MF2| 6,记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若直线l:m.x十ny=1(n≠0,9m2一16n2≠0)与曲线C交于A,B两点，与曲线C的两条 渐近线分别交于D,E两点，证明：“D,E为线段AB的三等分点”的充要条件是“D,E 两点的横坐标之积为一8”· 19.(17分) V2sin(+i) 已知函数f(x)= (1)求f(x)在(0,3π)上的极值； (2)若对于任意的x∈[0，十o∞)，e[f(x)+1]≥ax+2恒成立，求实数a的取值范围. 【高三数学第4页（共4页）】 高三数学参考答案 题序 1 2 3 10 11 12 13 14 答案 B D B ACD ABD BCD 5 72 评分细则： 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9~11题，全部选对的得6分，每选对一个得2分，有选错的不得分. 【3】第12~14题，凡与答案不符的均不得分 1.B【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养 因为产1=1+i,所以x=-1=-2. 2.D【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养。 由x3>x,且x>0,得x>1,所以M∩N={2,3}. 3.B【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养。 因为a∥b,所以-2m=3×4,解得m=-6. 4.A【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养， 设圆心C(0,0)到直线EF的距离为d,则d=2L=1,所以1EF1=2X√9-=4V2. √/3+1 5.C【解析】本题考查函数的性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养。 因为f(x)=log(x2一8x十a2)的值域为R,所以△=(-8)2-4a2≥0，解得-4≤a≤4. 6.D【解析】本题考查应用向量解决实际应用问题，考查直观想象的核心素养与应用意识 该船沿正北方向行驶10海里记为向量a1=(0,10),沿北偏东30°的方向行驶10海里记为向 量a2=(5,5√3)，沿北偏东60的方向行驶10海里记为向量a3=(5√3,5)，则MN=a1十a2十a3 =(5+55,53+15),所以MN=√/(5+5√5)2+(15+53)2=(10√5+10)海里. 7.C【解析】本题考查应用导数解决实际应用问题，考查数学运算的核心素养」 设高度h与时间t的函数关系式为h(t),则h'(t)=v(t)=一9.8t十4.7， 故可设h(t)=-4.9t2+4.7t十k,因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+4.7t+10, 则该运动员在t=1秒时离水面的高度为h(1)=一4.9十4.7+10=9.8米. 8.C【解析】本题考查函数的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养 由f(r)=3x2十x+3 ,得)=3+所以fx)+f(-x)=6,则fx)的图象关于点 (0,3)对称，所以M+m=6. 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 9.ACD【解析】本题考查抛物线的定义与性质，考查直观想象的核心素养. 因为△MNF为等边三角形，所以|FM=|FN|,则点F在线段MN的 中垂线上.设MN的中点为P,M,N,P的横坐标分别为xM,xN,xP, 连接FP,则FP⊥MN.因为xN=一 =号，所以w=碧A正 确.因为∠OFN=∠FNM=60°，所以直线NF的斜率为士√3，C正确， 设直线FN与y轴的交点为Q,直线l与x轴的交点为K,因为OQ, 所以0--则0Q1-NK1将w-号代入方程y=0,可得1= V3p,从而1OQ1=32,B错误.因为1MN1=2p,所以6p=12,解得p=2,D正确. 2 10.ABD【解析】本题考查圆锥中的有关角、侧面积、体积等的计算，考查直观想象的核心素养. 对于A,由已知可得PO=OE=OF=3,PO⊥OE,所以PE=PF=3√2，则圆锥PO的侧面 积S=π·OE·PE=πX3X3√2=9√2π，A正确. 对于B,当OG⊥PF时，OG⊥EF,此时△EFG的面积最大，即三棱锥 P-EFG的体积最大，故B正确. 对于C,设点G关于圆心O的对称点为H,则直线EG与直线PF的夹 G 2FH FH 6 角等于直线FH与直线PF的夹角，即∠PFH,所以O<cos∠PFH= PF 6√26√2 ② ,则<∠PFH<受，C错误 对于D,可知△PEG和△OEG都是等腰三角形，取EG的中点K,连接PK,OK,可知PK ⊥EG,OK⊥EG,可知∠PKO是二面角P-EGO的平面角，则∠PKO=60°，可以求得OK =√3，所以PK=√32+3=23，EK=√32-3=6，EG=2V6,故△PEG的面积为2× 26×2√3=6√2，D正确： 11.BCD【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 对于A.B,f)=sm4十sim3x=2sin5cs5,令2sn75cos专=0，因为x长0，x. 7x cos7>0,所以sin号 7x2=2m, 7x一0，又x1x2x3,所以2二元2 7工=3，解得x1=7, 2π ,=红，A错误，B正确， 7,x3= 对于C,cosx1十cosx2十c0sx3=c0s 2十cos7 π十cos7 6π 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 2πos4π+2sin7cos7 sm+2sin2牙cos 2x6 sin 6r一sin7 4红+sim 8r一sin7 2x+sin 7 4π π 2,C 2sin7 π 2sin7 正确， 对于D.因为sinin:s,=sin牙sn纤n牙=sin号sn牙sn纤.8sn号sn牙· 7 4父 sin3-(1-cos2)(1-6os7)(1-c0s）=1-E+F-G,其中E=60s27+co x,F=cos7 cos 7 7 2红0s4红cos6买.因为F= 4十 2(eos7+oms9）+(os19+cos）+(os经+cos7）-cos经+co π -E,G=-6s号cscs经- 7 cos 2π4 cos7 8sin 7 -所以 7 cos s加牙n子m-敢m牙n号m经- 一8，D正确 12.5【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养. 因为bsin A=5sinB,所以ba=5b,解得a=5. 13.72【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学建模与数学运算的核心素养. 先排3位女同学，有A种方法，再在3位女同学之间形成的4个空位中任选2个安排男同 学去坐，有A?种方法，根据分步乘法计数原理知有AA?=72种不同的安排方法. 14.4【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养， 由题设知A(0,1),B(0,-1),设C(x1y1),D(x2y2) 因为AC⊥AD,BC⊥BD,所以AC·AD=0,BC.BD=0,所以 x1x2十(y-1)(y2-1)=0,x1x2十(y1十1)(y2+1)=0,两式相 减得y2=一y1,将y2=-y1代人x1x2+(y1-1)(y2-1)=0, 可得和：+1-对=0因为号+-1，所以。= Se=Sce+SB=x,+lz,l=(1+）lx<a(1+）)-平（当且仅当x1= 士a时，等号成立.由a十日-，解得a=4或a=子，因为。>1，所以a=4 a 15.解：(1)由已知得青年用户的人数为300一150=150，…2分 3m+n+2m-n=150, m=30, 则 解得 …4分 m+n+m+2m=150, n=30. 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 2×2列联表如下： 应用体验 组别 合计 良好 不良好 青年用户 120 30 150 中年用户 60 90 150 合计 180 120 300 …6分 零假设为H。:这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异.…7分 根据表中的数据，计算得到x:=300(120×90-30×60) 180×120×150×150 =50>10.828=x0.001, …9分 根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即认为这两组不同年龄段的用户 对该软件的应用体验存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.…10分 (2)由已知得分层轴样比为品-0 …11分 则在这15名青年用户中，应用体验为良好的有12人，为不良好的有3人，…12分 所以从中随机抽取3人，恰有2人的应用体验为不良好的概率是 CC236 455 …13分 Cis 16.解：(1)由a3十a5=2a4=22,得a4=11.… …1分 因为1十2a2=a4,所以a2=5,… 2分 则公差为25=3a1=2… …3分 所以am=3n一1.… …4分 因为=6e所以哈，则6，是等比数 ，…5分 设其公比为q,因为b2=2b1,b4=b1g3=8,所以q=2,b1=1,则bn=2-1. …6分 1 ,…8分 2(3n+2) …10分 (3)因为anbn=(3n-1)2m-1, 所以Tm=2×1+5×2+8×22+.+(3-1)×2m-1, .…11分 所以2Tn=2X2十5X22十8X23十…十(3n-1)X2”,…13分 两式相减得一Tm=2+3(21+22+23+…+2-1)一(3n一1)×2”=一4+(4-3n)×2”, 所以Tn=4十(3-4)2.…15分 17.(1)解：如图，取BM的中点O,连接AO.由AM=AB,可知AO⊥BM. 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 又因为平面ABM⊥平面BCDM,平面ABM∩平面BCDM =BM,AOC平面ABM,所以AO⊥平面BCDM.·2分 由AM=AB=2,∠BAD=120°，得BM=2√3，AO=1.… …3分 在直角梯形ABCD中，因为∠BAD=120°，AB=2,所以 ∠ABC=60°，CD=2Xsin60°=√3，…4分 所以四楼锥A-BCDM的体积为号×1+)X5X1-5 · …5分 (2)证明：过点D作BM的平行线交BC于点E,连接PE.因为DE￠平面ABM,BMC平 面ABM,所以DE/平面ABM. 6分 因为MD/BC,所以四边形DEBM是平行四边形，则DM=BE,所以C-号需， …7分 所以PE∥AB,同理可证PE/平面ABM.… …8分 因为DE∩PE=E,所以平面PDE平面ABM.… …9分 又因为PDC平面PDE,所以PD/平面ABM.…10分 (3)解：取BC的中点H,连接OH.在△BOH中，由BH=2,BO=3,∠OBH=30°，可得 HO=1.因为OB2十OH2=BH2,所以OH⊥BO.. 11分 以O为原点，OB,Oi,OA的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,1),B(3,0,0),H(0,1,0),由点B和H的坐标可求得C(一√3,2,0)， D(-3,20）小.…12分 所以-(-35，号-).i=(50.-1》.C=(-52.-1.…13分 设平面ABC的法向量为n=(x,y,之)， √3x-x=0, 则 取x=1,得n=(1,√3，W3).… …14分 -√3x+2y-x=0, 设直线AD与平面ABC所成的角为0，则sin0= |AD·n23√42 |AD1|n√8X√7 14, 所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值为型 14 …15分 18.(1)解：因为|MF1|一|MF21|=6<10=|FF2|,所以轨迹C是以F1,F2分别为左、右焦 点的双曲线， y 设C的方程为，1a>0,b>0.由2a=6,可得a宁3 ，…3分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 所以b=√/25-a2=4,… …4分 所以C的方程为号6=1 …5分 (2)证明：设A,B,D,E的坐标分别为(x1,y1),(x2y2),(x3y3),(x4y4). ma+ny=1, 由x2y2 消去y得(16n2-9m2)x2+18m.x-9-144n2=0.…7分 (916=1, 因为直线1与双曲线C相交，所以△=182m2-4(一9一144n2)(16n2-9m2)>0,化简得1+ 18m 9+144n2 16m2-9m2>0,所以x+x2=9m2-16n1x=9n2-16n …8分 mx+ny=1, 18m 由z2y2_。消去y得(16m2-9m2)x2+18mx-9=0,所以x+x-9m2-16mx4 (916=0, 9 9m2-16n2) …10分 所以x1十x2=xg十x4,则AB与DE的中点重合，…11分 所以D,E为线段AB的三等分点等价于|AB|=3|DE引.…12分 24Vm2+n2·√16n2-9m2+1 116m2-9m21 …14分 24√m2+n2 同理可得DE引= 116n2-9m2' …15分 所以√16n2-9m2+1=3,即16m2-9m2=8,所以x3x4 9 9 9n2-16n2= 8, 故“D,E为线段AB的三等分点”的充要条件是“D,E两点的横坐标之积为一？” 8 …17分 2sin(+) sinx+cosx,所以f(x)= 2sin x 19.解：(1)因为f(x)= …2分 e e 令f'(x)>0,得sinx<0,解得2kπ-π<x<2kπ，k∈Z,令f'(x)<0,得sinx>0,解得 2kπ<x<2kπ十π，k∈Z,所以f(x)在(2kπ一π，2kπ)(k∈Z)上单调递增，在(2kπ，2kπ+ π)(k∈Z)上单调递减。… …4分 因为x∈(0,3π)，所以f(x)在(0，π)，(2π，3π)上单调递减，在（π，2π）上单调递增.当x=π 时，fx)的极小值为-忌，当x=2x时，1x)的极大值为品 6分 (2)对于任意的x∈[0，十∞)，e[f(x)+1]≥ax+2恒成立，即对于任意的x∈[0，十∞)， e2十Sinx十C0Sx一ax一2≥0恒成立.…7分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】