精品解析：天津市蓟州中学2026-2027学年高三年级上学期第一次模拟练习数学试卷

高三第一学期数学第一次模拟练习 一、选择题（共9小题，每题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定可得， 原命题的否定为：. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即， 又函数在上单调递减，所以，所以． 4. 下列函数是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 6. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】 7. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. －1或－3 B. －1 C. 或1 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据极小值点有求参数，再将参数值代入验证是否满足题设即可得. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得或， 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， . 故选：B 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D. 【详解】由题可知，所以，解得， 所以，又在的图象上，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，故A正确； 令，解得， 所以的单调减区间为，故B正确； 令，解得，当时，，故C正确； 令，解得，令，则，故D错误. 故选：ABC. 9. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 二、填空（共6小题，每题5分） 10. 设为虚数单位，则复数的虚部为________． 【答案】## 【解析】 【详解】． 所以复数的虚部为. 11. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则在方向上的投影向量为. 13. 已知，求______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简求解作答. 【详解】由，得，即，因此， 所以. 故答案为： 14. 已知菱形的边长为，是的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算，将转化为，进而求得答案. 【详解】依题意，，因为菱形的边长为4．所以． 故答案为： 15. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数，则______；（ii）若在上单调递增，则的最大值为______ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象变换求出解析式，再根据偶函数的定义求解； （2）根据函数在上单调递增，结合函数的周期可得，再根据单调递增列出不等式即可求得的最大值. 【详解】函数， （i）若，则， 向右平移个单位后所得函数为， 因为平移得到一个偶函数，所以， 解得， 因为，所以，当时，满足题意， （ii）若在上单调递增， 所以函数的最小正周期,解得， 且， 即，解得， 又因为，所以当时，，即， 所以的最大值为. 三、解答题 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2） 最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对于形如的三角函数，直接代入其最小正周期公式即可求出周期； （2）首先需要确定整体相位的取值范围，然后结合正弦函数在该范围内的单调性，找出取得最大值和最小值时的相位，从而求出对应的函数值； （3）先利用同角三角函数关系求出，和，再利用两角和的正弦公式展开后即可求解. 【小问1详解】 由函数可知，，所以最小正周期. 【小问2详解】 已知，则，所以， 令，则，由于正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，此时， 在给定区间内，比较区间端点处的值： 当时，； 当时，； 因为，所以最小值为（此时 ）， 所以的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 已知，，则， 则二倍角，， 代入展开式：. 17. 已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得； （2）利用余弦定理解方程可得； （3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出. 【小问1详解】 由于，所以， 由根据正弦定理可得， 所以，且三角形为锐角三角形，即 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理知， 即，解得或（舍）， 故. 【小问3详解】 由，可得， 所以， ， 即 18. 已知是方程的根，且是第三象限角． （1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次方程求出的值，结合为第三象限角确定其符号，然后利用诱导公式化简复杂的三角函数式，最后代入数值计算； （2）利用同角三角函数关系，求出，再求目标式的平方，最后根据的范围判断符号开方求解即可. 【小问1详解】 由方程，因式分解得，解得 或 ， 因为是第三象限角，所以，故， 由此可得，， 利用诱导公式化简原式：，， ，，， 所以. 【小问2详解】 已知，两边平方得， 所以， 设，则， 所以， 因为，所以， 又因为 ，所以， 因此，故. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）当时，证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，增区间为，，极大值为，极小值为， （2）由（1）知， 则， 设，则，且在单调递增，所以， 又因为， 所以在单调递减， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）求导并讨论导函数正负，即得解； （2）先化简不等式为，构造，求导分析其在上的最小值不小于0即可完成证明 【小问1详解】 函数定义域为，因为， 当单调递增；当单调递减； 当单调递增； 所以，的极大值为，的极小值为， 综上，单调递减区间为，增区间为，，极大值为，极小值为， 【小问2详解】 略 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3） （i）的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【小问1详解】 当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一学期数学第一次模拟练习 一、选择题（共9小题，每题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 7. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. －1或－3 B. －1 C. 或1 D. －3 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 9. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空（共6小题，每题5分） 10. 设为虚数单位，则复数的虚部为________． 11. 在中，，，，则__________． 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 13. 已知，求______. 14. 已知菱形的边长为，是的中点，则______． 15. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数，则______；（ii）若在上单调递增，则的最大值为______ 三、解答题 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17. 已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 18. 已知是方程的根，且是第三象限角． （1）求的值； （2）已知，求的值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）当时，证明：． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $