3.3　勾股定理的简单应用　　同步练习　2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾 股 定 理 勾股定理的简单应用 提优点：1.能利用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题； 2.会通过构造直角三角形解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 第1关练速度 1.如图，有两棵树，一棵高 19 米，另一棵高10米，两树相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 ( ) A.10米 B.15米 C. 16米 D.20米 2.(2024·咸阳期中)如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，乙货船以 12 海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是 ( ) A.40海里 B.32海里 C.24海里 D.20海里 3.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A 表示的数是-2，AC=BC=BD=1,若以点A 为圆心,AD的长为半径画弧，与数轴交于点 E(点E 位于点 A 右侧)，则点 E 表示的数为 ( ) A. 4.(2024·宜宾模拟)如图所示的一段楼梯，高BC 是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯 上 铺 地 毯，至少 需 要 地 毯 的 长 度 为 米. 5.如图，一张长25 m的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7 m.如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动 m. 6.新趋势数学文化(宿迁中考改编)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1 尺.如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 C 恰好碰到岸边的 C'处(如图).水深和芦苇长各多少尺? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第2关练准确率 7.(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 ( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 8.如图是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4 cm、3c m、12 cm,现有一长为16 cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围是 ( ) A.3c m<h<4 cm B.3 cm≤h≤4cm C.2 cm≤h≤4 cm D. h=4cm 9.新情境(2025·昭通期末)足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线CD传球，传球落点在边线 CD上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形ABCD 为直角梯形，AD=5,AB=BC=10,∠B=60°,则两次传球中足球飞过的最短路径为 ( ) A.15 B.10 C.20 D.20 10.(2025·盐城期中)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去闽(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图①、②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙 CD的距离为2寸，点C 和点 D 距离门槛AB 都 为 1 尺 (1 尺 = 10 寸),则 AB 的长是 寸. 11.如图，铁路MN和公路PQ 在点 O 处交会，公路PQ 上点A 距离点O是270m,与MN这条铁路的距离是200 m.如果火车行驶时，周围250m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是 . 12.教材变式如图所示，直角三角形ABC 的两条直角边长为a，b，斜边上的高 CD 的长为 h，斜边长为c.求证： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13.拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图，一个某种拉杆箱箱体长AB=65 cm,拉杆最大伸长距离 BC=35 cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A 处，点A到地面的距离AD=3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A'处，求拉杆把手C离地面的距离(假设 C 点的位置保持不交). 第3关练思维宽度⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯难度级别: ☆☆☆☆☆ 14. (1)图①是一个圆柱,它的高为40cm,底面周长为60 cm.如果一只蚂蚁从圆柱下底面的点A 处沿圆柱的侧面爬到与点 A 相对的上底面的点 B 处，然后爬回点 A 处，那么蚂蚁爬行的最短路程为 cm； (2)如图②,已知长方体的长AC=2cm,宽BC=1cm,高AA'=4cm..一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到 B'点，那么需要爬行的最短距离为 cm. 15.(2025·镇江校级月考)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AC=13,BA=5,点 P 从点 C 出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 C—A——B 运动.设点 P 的运动时间为t(t>0). (1)BC= . (2)求斜边AC上的高线长. (3)①当P在AB上时,AP 的长为 ,t的取值范围是 .(用含 t的代数式表示) ②若点 P 在∠BCA 的平分线上,则 t 的值为 . (4)在整个运动过程中，直接写出△PAB 是以AB 为一腰的等腰三角形时t的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.3勾股定理的简单应用 1. B 2. A 3. B 4.7 5.8 6.设水深AB=x尺，则芦苇长AC=AC'=(x+1)尺.∵芦苇AC生长在底边长为 10尺的正方形池塘的中央，∴ (尺).在Rt△AC'B中,∴ 解得x=12,∴水深为12尺，芦苇长为13尺. 7. C 解析:在 Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米, ².在 Rt△A'BD 中,∵ ∠A'DB=90°,A'D=2米,BD²+A'D²=A'B²,∴BD²+2²=6.25,∴BD²=2.25.∵ BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选 C. 8. B解析：①当吸管放进盒里垂直于底面时，露在盒外的长度最长，最长为16-12=4(cm)；②露出部分最短时吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线为5cm，高为12cm，由勾股定理易得盒里面吸管长为13cm，则露在盒外的长度为16-13=3(cm)，则可得吸管露在盒外的部分h 的取值范围是3cm≤h≤4cm.故选 B. 9. B 解析:如图,作点A 关于CD的对称点E,连接BE交CD于点O,连接AO,过点A作AF⊥BE于点F,∴DE=AD=5,AO=EO,∴AE=AD+DE=10=AB,AO+BO=EO+BO=BE,∴∠E=∠ABE,两次传球中足球飞过的最短路径长等于BE,依题意得AD∥BC,∴∠E=∠CBE,∴∠E=∠CBE=∠ABE.∵ ∠ABC=∠ABE+∠CBE=60°,∴∠ABE=30°.又AF⊥BE,∴AF= AB=5,∴BF= √AB²-AF²=5 又AE=AB,∴BE=2BF=10 即两次传球中足球飞过的最短路径为10 故选 B. 10.101 解析:如图,设DE⊥AB 于点 E.由题意,得OA=OB=AD=BC.设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,DE=10寸,( 1寸,AE=(r-1)寸.在 Rt△ADE中, 即( 解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸. 11.15s 解析:如图,过点A作AC⊥ON,设火车行驶到点B处时,A点处开始受噪音影响，火车行驶到点 D 处时，A点处开始不受噪音影响,则AB=AD=250m.∵公路PQ上点A距离点O 是270m,与MN这条铁路的距离是200m,∴AC=200 m.∵AB=AD=250m,∴由勾股定理得 .又 150²,∴CD=150m,∴BD=BC+CD=300(m),∴A处受噪音影响的时间为300÷20=15(s). 13.如图所示,过C作CE⊥DN于E,延长AA'交CE于 F,则∠AFC=90°.设A'F =x cm,则AF=(55+x) cm.由题可得,AC=65+35=100(cm),A'C = 65 cm.在 Rt△A'CF 中, 在 Rt △ACF 中, 解得x=25,∴A'F=25cm.由勾股定理得, ∴CF=60 cm.又∵EF=AD=3cm,∴CE=60+3=63(cm),∴拉杆把手C离地面的距离为63 cm. 14.(1)100 解析：把圆柱的侧面展开，展开图如图所示,易知AB=BA',BC=40 cm,AC= 在 Rt△ABC中,由勾股定理得AB=50cm，∴蚂蚁爬行的最短路程为AB+BA'=2AB=100(cm).故填100. (2)5解析：根据题意，画出示意图如图所示，可能的路径有三种情况：①把正面、右面展开，得图①， ②把正面、上面展开，得图②； ③把左面、上面展开，得图③， ，故最短路径应为图①所示，且最短路程是5cm. 技法点拨 解这类题目时，一般采用“化曲为直”的方法，即首先将长方体按照不同的方式展开成平面图形，再利用勾股定理求出每种情况的最短距离进行比较，取其中最短即可得解. 15.(1)12 (2)过点B作BD⊥AC 于点 D,∵ 即 斜边AC上的高线长为 ② 解析:点 P 在∠BCA的平分线上时,过点 P 作PE⊥AC 于E,如图①所示,∵CP平分∠BCA,∠B=90°,PE⊥AC,∴PB=PE.又∵PC=PC,∴ Rt△BCP≌Rt△ECP(HL),∴ EC=BC=12,则AE=AC-CE=13-12=1.由(2)知AP=3t-13,∴BP=AB-AP=5-(3t-13)= 18-3t,∴ PE= 18-3t.在Rt△AEP中, 即 解方程得 点P 在∠BCA 的平分线上时 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4)t的值为 或 解析：△PAB 是以 AB 为一腰的等腰三角形时,有两种情况:当AB=AP=5时,如图②所示,则CP=AC-AP=13-5=8,∴ 当AB=BP=5时,过点 B 作 BD⊥AC 于点D,如图③所示,由(2)知 ( )²=( )²,∴AD= .∵AB=BP,BD⊥AC,∴AP=2AD= 故△PAB 是以AB为一腰的等腰三角形时，t的值为 或 $