1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时教案 　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该教案聚焦线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，从复习轴对称与线段垂直平分线定义出发，通过作图、观察、猜想、证明等环节自然过渡到新知探究，构建起旧知与新知之间的逻辑桥梁，形成清晰的学习支架。 本资料突出数学眼光中的几何直观与空间观念，体现数学思维中的推理能力与逻辑意识，彰显数学语言中的符号表达与模型应用。例如在例3中引导学生识别“筝形”并运用垂直平分线判定解决角度相等问题，强化了从现实情境抽象出数学结构的能力。课堂练习设计由浅入深，涵盖生活选址、三角形周长计算、图形全等推理等多个场景，既培养学生的建模意识与问题解决能力，又提升教师教学效率与课堂互动质量。

第一章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质   一、教材分析 本节课是苏科版初中数学八年级上册第一章第四节的第1课时．本节课是轴对称、全等三角形等知识的自然延伸，也是后续学习三角形外接圆、作图与证明的基础．也是几何知识体系中的关键链条。本节课首先通过复习线段垂直平分线的定义以及画法，自然而然引出本节课的内容，然后引导学生从问题出发，根据观察、猜想，然后证明，来学习线段垂直平分线性质定理及逆定理，也为学生今后进一步学习几何图形的有关知识打下良好的基础，发展几何直观和推理能力，体验数学发现的乐趣，形成主动探索几何规律的学习态度.   二、学习目标 　　1.探索并掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，进一步发展推理能力. 　　2.会利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决数学问题. 　　3.通过观察、猜测、验证、推理等活动，培养学生的动手能力、逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.   三、教学重难点 重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 难点：会利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决数学问题.   四、教学过程 · 复习回顾 问题：线段是轴对称图形吗？如果是，那它的对称轴是什么？ 预设答案：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线. 问题：什么是线段的垂直平分线？ 预设答案：垂直于这条线段，并且平分这条线段的直线叫线段的垂直平分线. ∵直线 l⊥AB，AO=BO， ∴直线 l是线段AB的垂直平分线. 追问：如何用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线呢？ 问题：已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D. （2）作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线. 追问：线段垂直平分线有什么性质呢？一起来探究吧！ 师生活动：学生独立思考，指定学生回答，教师演示用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线. 设计意图：通过复习线段垂直平分线的定义以及画法，对旧知的复习，直观建立新旧知识连接，为接下来的学习提供理论依据． · 探究新知 活动一：探究线段垂直平分线的性质定理 探究：线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB.线段PA与PB一定相等吗？如何证明？ 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，巡视，讲解． 分析： 预设答案： 解：线段PA与PB一定相等.证明如下： （1）当点P与点O重合时.结论显然成立； （2）当点P与点O不重合时. ∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴AO＝BO，∴∠AOP＝∠BOP＝90°. 在△AOP和△BOP中， ∴△AOP≌△BOP， ∴PA＝PB． 【概念生成】： 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：如图， ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB. 注意：该定理经常用来证明两条线段相等. 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，巡视． 设计意图：通过探索线段垂直平分线的性质定理，从点P与点O重合时和点P与点O不重合时两种情况进行证明，培养逻辑推理的能力和探究意识.经历观察——猜想——证明的过程，让学生理解并掌握线段垂直平分线的性质定理. 活动二：探究线段垂直平分线的性质定理的逆定理 问题：线段垂直平分线的性质定理逆命题是什么？ 预设答案：到线段两端距离相等的点再线段的垂直平分线上． 追问：它是真命题吗？你能证明吗？ 已知QA=QB，求证：点Q 在线段AB的垂直平分线上. 分析： 预设答案： 证明：如图，当点Q在线段AB上时， ∵QA＝QB，∴Q是线段AB的中点，∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 当点Q不在线段AB上时，如图，作QM⊥AB，垂足为M. ∴∠QMA＝∠QMB＝90°. 在Rt△QAM和Rt△QBM中， ∵ ∴Rt△QAM≌Rt△QBM. ∴AM＝BM. ∴直线QM是线段AB的垂直平分线. 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 总结：还可以通过取中点，证垂直来证明.（学生独立证明即可） 【概念生成】线段垂直平分线的性质定理逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵PA＝PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 注意：（1）线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. （2）该定理用于判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 师生活动：学生先独立思考，师适当引导，指定学生回答，全班集体交流. 设计意图：引导学生思考线段垂直平分线性质定理逆命题，从点Q在线段AB上和点Q在线段AB外时两种情况来证明线段垂直平分线的性质定理逆命题为定理，让学生进一步理解线段垂直平分线的定理及逆定理，进一步培养学生的推理能力，感受数学的魅力. · 应用新知 例1 如图，A、B表示两个仓库，要A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 分析：连接AB，线段AB的垂直平分线与河岸的交点即是码头应建的位置. 解：点P就是码头应建的位置. 例2 如图，在△ABC的边AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上. 分析：根据垂直平分线的定理及逆定理证明即可. 证明：连接OA，OB，OC. ∵ 点O在AB的垂直平分线l1上， ∴ OA=OB，(线段垂直平分线的性质定理) 同理 OA=OC，∴ OB=OC. ∴ 点O在BC 的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理） 总结：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 例3如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ 解：相等的角：∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC，∠ABE＝∠ADE，∠CBE＝∠CDE，∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED=90°. ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴点A、C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线. ∴∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED=90°. 在△ABC和△ADC 中， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC． 在△ABE和△ADE 中， ∴△ABE≌△ADE.∴∠ABE＝∠ADE． 同理：△CBE≌△CDE，∴∠CBE＝∠CDE． 总结：（1）把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. （2） S四边形ABCD=AC·BD. （3） 判断线段垂直平分线的两种方法： 定义法：证明直线过线段的中点，且垂直于线段； 线段垂直平分线的性质定理逆定理：证明有两个点到线段两个端点的距离相等. 师生活动：教师引导学生观察图形，结合线段垂直平分线的性质定理和判定定理，通过小组讨论，找出解题思路，并由一名代表展示小组讨论结果，师给与适当的提示. 设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固线段垂直平分线性质定理以及逆定理，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计符号语言说理能力，让学生理解运用本节课所学． · 课堂练习 【教材习题】 1.利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. 　　 2.如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，已知BC=8，AB=10，求△EBC的周长. 【自选习题】 3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E. (1)若△ABD的周长为13cm，则AB+BC=　　　　cm; (2)在(1)的条件下，若AE=3cm，求△ABC的周长. 4.如图所示，点P在∠AOB内，OA，OB分别垂直平分PM，PN，连接MN分别交OA，OB于点E，F，若△PEF的周长是20cm，求MN的长. 5.如图，已知△ABC，点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F . （1）求证：PE=PF ； （2）若BE=CF，求证：点P在BC的垂直平分线上. 6.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.. 7. 有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. 　　答案： 　　1.解:如图所示，点O即为所求. 　　2．解:∵DE是AC的垂直平分线， 　　∴AE=EC. 　　∴△EBC的周长为EB+BC+EC=EB+BC+AE=AB+BC=18cm. 　　3．解:(1)13 　　(2)∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE=3 cm， ∴AC=6 cm. 由(1)知AB+BC=13cm， ∴AB+BC+AC=13+6=19(cm)， 即△ABC的周长为19cm. 4. 　 　 　 　 5.（1）证明：∵ 点P为∠BAC的平分线上一点， ∴∠PAE=∠PAF. ∵PE⊥AB，PF⊥AF，∴∠PEA=∠PFA=90∘. 在△APE和△APF中， ∴△APE≌△APF(AAS)， ∴PE=PF . （2）证明：连接PB，PC ，如图， ∵PE⊥AB，PF⊥AF ， ∴∠BEP=∠CFP=90∘， 在Rt△BEP和Rt△CFP中， ∴Rt△BEP≌Rt△CFP， ∴BP=CP， ∴ 点P在BC的垂直平分线上. 6.证明：∵OE平分∠AOB, ∴∠BOE=∠AOE. ∵EC⊥OA，ED⊥OB， ∴∠ODE=∠OCE=90°. 在△ODE和△OCE中， ∴ △ODE≌△OCE(AAS). ∴ OD=OC，DE=CE ∴点O、点E在CD的垂直平分线上， ∴OE是CD的垂直平分线. 7.解：(1)连接BC，AC; (2)分别作BC，AC的垂直平分线交于点P,则点P就是所要确定的学校的位置. 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用． · 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $