第21章 《一元二次方程 》常考点提升训练-2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

第21章 《一元二次方程 》常考点提升训练 一．选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝5 B． C．x2﹣4x﹣2＝0 D．x3+3x﹣1＝0 2．用配方法解一元二次方程x2+6x+5＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+2）2＝9 3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0（m为常数），则该方程（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与m的取值有关 4．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 6．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121 7．已知一元二次方程2x2﹣x﹣6＝0有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（　　） A．y＝6x﹣3 B．y＝6x+3 C．y＝﹣6x+3 D．y＝﹣6x﹣3 8．现将一张照片【长14英寸，宽10英寸】贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同均为a英寸，如图所示．已知矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，则下列所列方程正确的是（　　） A．2（10+a）（14+a）＝14×10 B．2（10+2a）（14+2a）＝14×10 C．（10+a）（14+a）＝2×14×10 D．（10+2a）（14+2a）＝2×14×10 9．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 10．我们对一个四边形顶点和边都赋予一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相加叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图1，四边形的对边值为mn+pq，对角值为ac+bd．现有一四边形特征值如图2，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1或10 D．2或7 二．填空题 11．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a＝0的一个解为x＝﹣1，则a的值为　 　 ． 13．某村的“智慧春耕”让生产更高效，使A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，则该玉米亩产量年平均增长率为 　 　 ． 14．定义新运算：a⊗b＝a2﹣4a﹣b，若x⊗3＝﹣2，则x的值为　 　 ． 15．如图，在一块长12m、宽8m的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2．则道路的宽为　 　 m． 16．定义（a，b，c）为方程ax2+bx+c＝0的特征数．若特征数为（1，2k﹣2，k2﹣k）的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为　 　 ． 17．已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则代数式2m2+3n2﹣n﹣2的值是 　 　 ． 三．解答题 18．用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2； （2）4x2+11x﹣3＝0； （3）2x2﹣8x+3＝0； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2． 19．已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 21．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 22．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m． （1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽． （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，且a≠0）的两根分别是x1，x2，根据求根公式可以推出x1+x2，x1x2． （1）运用：若一元二次方程2x2+x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝　 　 ． （2）类比探究：小芳同学发现．请你试证明：． （3）若x1，x2是关于x的方程x2+（m﹣1）xm2﹣1＝0的两个实数根，且m﹣1，求m的值． 24．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行4﹣1＝3场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B D A D D C 二．填空题 11．解：由条件可知Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝4+4k＝0， ∴k＝﹣1； 故答案为：﹣1． 12．解：把x＝﹣1方程x2﹣3x+2a＝0得1+3+2a＝0， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．解：设该玉米亩产量年平均增长率为x， 根据题意得：1000（1+x）2＝1210， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 即该玉米亩产量年平均增长率为10%， 故答案为：10%． 14．解：由题意得x2﹣4x﹣3＝﹣2， 整理得：x2﹣4x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x， 即x的值为2或2， 故答案为：2或2． 15．解：设道路的宽度为x m， ∴（12﹣x）（8﹣x）＝60， ∴x2﹣20x+36＝0， ∴x1＝2，x2＝18（舍去）， ∴道路的宽度为2m． 16．解：根据题意可知，该方程为x2+（2k﹣2）x+k2﹣k＝0， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2﹣k） ＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4k ＝﹣4k+4≥0， ∴k≤1， 设两实数根为x1，x2，则x1+x2＝﹣（2k﹣2），， ∵ ∴（2k﹣2）2﹣2（k2﹣k）＝12， 整理得：k2﹣3k﹣4＝0， 解得：k1＝4，k2＝﹣1， ∵k≤1， ∴k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 17．解：由条件可知m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，m+n＝1， ∴m2＝m+2，n2＝n+2， ∴2m2+3n2﹣n﹣2 ＝2（m+2）+3（n+2）﹣n﹣2 ＝2m+4+3n+6﹣n﹣2 ＝2（m+n）+8 ＝2×1+8 ＝10， 故答案为：10． 三．解答题 18．解：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2， （2x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0， （2x﹣1+2﹣x）（2x﹣1﹣2+x）＝0， （x+1）（3x﹣3）＝0， 则x+1＝0或3x﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝1； （2）4x2+11x﹣3＝0， （x+3）（4x﹣1）＝0， 则x+3＝0或4x﹣1＝0， 所以； （3）2x2﹣8x+3＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2， 则x﹣2， 所以； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2， x2﹣8x+16+16x2﹣24x+9﹣9x2﹣6x﹣1＝0， 8x2﹣38x+24＝0， 4x2﹣19x+12＝0， （x﹣4）（4x﹣3）＝0， 则x﹣4＝0或4x﹣3＝0， 所以． 19．解：（1）当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c， 原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，即2a（x2﹣x）＝0， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1； （2）是直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0， ∴4a2﹣4b2+4c2＝0， ∴a2﹣b2+c2＝0，即a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形． 20．（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝（4m﹣1）2≥0， ∴不论m为何实数，方程总有实数根； （3）解：∵x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2m﹣1， ∵， ∴， ∴，整理，得5m2﹣7m+2＝0， 解得，m2＝1， ∴m的值为或1． 21．解：（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：5000（1+x）2＝7200， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为20%； （2）今年四月份新能源汽车销量是7200×（1+20%）＝8640（辆）， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务， ∴25名员工能完成的交付任务是：300×25＝7500（辆）＜8640辆， ∴该公司现有25名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务， 设需要增加m名员工， 由题意得：300（25+m）≥8640， 解得：m≥3.8， ∵m为正整数， ∴m的最小值为4， ∴至少需要增加4名员工， 答：该公司现有25名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加4名员工． 22．解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m， ∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m； （2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去； 当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意． 答：车棚的长为30m，宽为15m； （3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m， 根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525， 整理得：y2﹣25y+175＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 23．解：（1）一元二次方程的两根分别是x1，x2，则， 故答案为：； （2）证明：由题意可得，， ∴； （3）∵x1，x2是关于x的方程的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣m，，， ∴，， 整理得m2﹣6m+8＝0， 解得m1＝2，m2＝4， ∴m＝2． 24．解：（1）设这支球队胜的场次是x场，则平的场次是y场， 由题意得：， 解得：， 答：这支球队胜的场次是7场； （2）设总参赛队伍为n支， 由题意得：n（n﹣1）＝190， 整理得：n2﹣n﹣380＝0， 解得：n1＝20，n2＝﹣19（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支， ∴平均分成四个小组，每组5支球队， ∵小组内通过单循环赛确定前两名， ∴小组内比赛共440（场）， ∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴淘汰赛需4+2+1＝7（场）， ∴这种方案决出冠军共需要比赛40+7＝47（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 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