精品解析：福建省福州市仓山区福州时代中学2020—2021学年上学期八年级期末数学试卷

2020~2021学年福建福州仓山区福州时代中学 初二上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题， 每小题4分， 共40分） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 下列选项中的代数式，是分式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式定义进行解答即可． 【详解】解：A. 是分式，故此选项符合题意； B. 是整式，故此选项不符合题意； C. 是整式，故此选项不符合题意； D. 是整式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母． 3. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. （a3）2＝a6 B. a+a＝a2 C. a2•a＝2a2 D. a6÷a3＝a2 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法和除法来分别计算求解． 【详解】解：，故A项符合题意； ，故B项不符合题意； ，故C项不符合题意； ，故D项错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法和除法的运算法则，理解相关知识是解答关键． 5. 世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.00519=． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 6. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，13，12 【答案】D 【解析】 【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、12+22=5≠32，故不能组成直角三角形，错误； B、22+32=13≠42，故不能组成直角三角形，错误； C、42+52=41≠62，故不能组成直角三角形，错误； D、52+122=169=132，故能组成直角三角形，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 7. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案． 【详解】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°， 则x+3x=180， 解得：x=45°， ∴其中较小的内角是45°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补． 8. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两个数绝对值相等，则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的定义，解决本题的关键是分别写出每个命题的逆命题并判断． 逐一分析各选项的原命题及其逆命题，判断逆命题是否成立． 【详解】解：选项A：逆命题为“内错角相等，两直线平行”，根据平行线的判定定理，内错角相等可判定两直线平行，逆命题成立； 选项B：逆命题为“若两个数相等，则它们的绝对值相等”，显然，相等的数绝对值必相等，逆命题成立； 选项C：逆命题为“相等的角是对顶角”，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，说明逆命题不成立； 选项D：逆命题为“平行四边形的对角线互相平分”，根据平行四边形的性质，逆命题成立． 故选：C ． 9. 已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 32019 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称， ∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3， ∴m＝3，n＝﹣2， ∵（m+n）2019＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标对称点的特性，熟记知识点是解题关键. 10. 如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，得到，由此解答即可．此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，， ∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当_____时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，根据分子等于零且分母不等于零求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 ． 解得 ． ． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A，B之间的距离为d等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，即可得到答案． 【详解】由勾股定理得，AB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 13. 若x，y满足，则yx＝________． 【答案】9 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案． 【详解】解：∵，都有意义， ∴2﹣x≥0，且x﹣2≥0， 解得：x＝2， ∴y＝-3， ∴． 故答案为：9 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和代数式求值，正确得出x的值是解题关键． 14. 如图，在△ACB中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点M、N，BC=8，AC=4，则MC的长度为____． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意易得BM=MA，设BM=MA=x，则有MC=8-x，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵MN垂直平分线段AB， ∴BM=AM， ∵BC=8，AC=4， ∴设BM=MA=x，则有MC=8-x， 在Rt△ACM中，，即， 解得：x=5，即BM=5， ∴MC=8-5=3； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 15. 关于x的方程＝2的解是非负数，则a的取值范围是_____． 【答案】且． 【解析】 【分析】分式方程去分母表示出解，根据解为非负数求出a的范围即可． 【详解】解：去分母得： ， 解得：， 由分式方程的解为非负数，得到且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，，点关于的对称点为，联结交于点，点为的中点，联结，则的面积为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取中点，联结，联结交于，作交的延长线于．先证明是等边三角形进而，，结合30°直角三角形性质可求线段长，再利用计算即可； 【详解】解：如图，取中点，联结，联结交于，作交的延长线于． ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形（含30°或45°）解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，绝对值的化简以及二次根式的混合运算，正确求解是解决本题的关键． （1）根据零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，绝对值的化简计算，由此求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，先算括号内的减法，再算除法，最后算加法，由此计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 按要求完成下列小题． （1）因式分解：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与分式方程的求解，包括提取公因式，平方差公式，将分式方程化为一元一次方程求解等，正确求解是解决本题的关键 （1）先提取3，再由平方差公式化简即可； （2）先去分母，等式两边同乘，化为一元一次方程，再去括号，移项并合并同类项求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 等式两边同乘，可得， 去括号，可得， 移项并合并同类项，可得， 解得， 经检验，时，分式方程的分母为0，是增根， ∴原分式方程无解． 19. 先化简：，再从绝对值小于的数中选择一个合适的代入求值． 【答案】；x=时，原式＝ 【解析】 【分析】先算括号内的加法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解： = = =， ∵， ∴x不能为1，-1，0， ∴当x=时， 原式==+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20. 在ABC中，AB＝AC＝10，点D在BC上，AD＝8，BD＝6，求证：点D是线段BC的中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出∠ADB＝90°，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】证明：∵AB＝10，AD＝8，BD＝6，82＋62＝102， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴D是线段BC的中点． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2＋b2＝c2，那么这个三角形的直角三角形． 21. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【答案】 证明：已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°， 求证：． 证法一：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD， ∵∠ACB=90°，BC=CD， ∴AD＝AB，∠BAC=∠DAC=30°， ∴∠BAD＝60°． ∴△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD， ∴，即． 证法二：如图所示，取AB的中点D，连接DC，有， ∴∠DCA＝∠A＝30°， ∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°． ∴△DBC为等边三角形， ∴． 证法三：如图所示，在AB上取一点D，使得BD=BC，连接CD， ∵∠A=30°，∠ACB=90°， ∴∠B=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°，BC=CD ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°， ∴∠A=∠ACD， ∴AD=CD， ∴BC=AD， ∴； 证法四：如图所示，作△ABC的外接圆圆D，连接CD， ∵∠ACB=90°， ∴AB为圆D的直径， ∴BD=DC， ∴∠BDC=2∠A=60°， ∴△BDC是等边三角形， ∴BC=BD=CD， ∴． 【解析】 【分析】证法一：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，由三线合一定理得到AD＝AB，∠BAC=∠DAC=30°，则∠BAD＝60°．即可证明△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，则，即； 证法二：如图所示，取AB的中点D，连接DC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三线合一定理，直角三角形斜边上的中线，圆周角定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 22. 如图，中，，，． （1）求作一个点，使得点，，，围成一个以为对角线的平行四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求出（1）中所作的平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图，包含作平行四边形，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解决本题的关键． （1）根据作平行四边形的作图要求作图即可； （2）作辅助线构造直角三角形，根据，即可得，根据勾股定理和的长即可求解，再根据，得出，从而得出，即可求解平行四边形的面积． 【小问1详解】 解：以点C为圆心，的长为半径画弧， 再以点A为圆心，的长为半径画弧， 两弧相交于点D，连接，，如图，点D即为所求： 【小问2详解】 解：过点C作于点E，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∵， ∴在中，， ∴, ∴， ∴该平行四边形的面积为． 23. 某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了，行驶全程所需时间减少了4小时． （1）求列车提速前的速度； （2）现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围． 【答案】（1）列车提速前的速度为100千米/小时 （2） 【解析】 【分析】（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：列车提速前的速度为100千米/小时． 【小问2详解】 第一次提速后的速度为（千米/小时）， 第一次提速后行驶全程所需时间为（小时）． 依题意得：， 解得：， ∴． 答：m的取值范围为． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程和不等式组，是解题的关键． 24. 已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，． （2）如图2，点，都在线段上，且． ①求证：． ②若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ； （2）①证明：将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，如图所示： ∵， ， 又∵， ， ， 由（1）可知：，， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明即可得到； （2）①将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，证明可得，从而可证明结论； ②过A作于H，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：过A作于H， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用． 25. 如图1，在平行四边形中，，，，分别为，中点，将四边形绕点逆时针旋转得到图2，连接，取中点，连接，． （1）求证：． （2）试猜想，、之间的数量关系，并说明理由． （3）求证：、、三点共线． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解决本题的关键 （1）通过证明四边形是平行四边形，即可证明，由此可证； （2）由（1）中结论可得，根据四边形的内角和定理可得，再三角形的内角和定理即可求解； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再由边角边的证明方法证明与全等，由此证明即可证明． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵，分别为，中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 延长，交于点H，如图， ∵， 由（1）知四边形是平行四边形， 即旋转前， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵, ∴； 【小问3详解】 解：延长至点N，使，连接，如图， ∵点M是中点， ∴， 又∵，， 在与中， ， ∴， ∴，， 由旋转知：，， 由（1）知：， ∴， 且， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， 又 ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, 又，， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∵， ∴、、三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020~2021学年福建福州仓山区福州时代中学 初二上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题， 每小题4分， 共40分） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的代数式，是分式的为（ ） A. B. C. D. 3. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. （a3）2＝a6 B. a+a＝a2 C. a2•a＝2a2 D. a6÷a3＝a2 5. 世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，13，12 7. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两个数绝对值相等，则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 9. 已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 32019 10. 如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当_____时，分式的值为0． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A，B之间的距离为d等于_____． 13. 若x，y满足，则yx＝________． 14. 如图，在△ACB中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点M、N，BC=8，AC=4，则MC的长度为____． 15. 关于x的方程＝2的解是非负数，则a的取值范围是_____． 16. 如图，在平行四边形中，，点关于的对称点为，联结交于点，点为的中点，联结，则的面积为_________________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算． （1）． （2）． 18. 按要求完成下列小题． （1）因式分解：． （2）解方程：． 19. 先化简：，再从绝对值小于的数中选择一个合适的代入求值． 20. 在ABC中，AB＝AC＝10，点D在BC上，AD＝8，BD＝6，求证：点D是线段BC的中点． 21. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 22. 如图，中，，，． （1）求作一个点，使得点，，，围成一个以为对角线的平行四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求出（1）中所作的平行四边形的面积． 23. 某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了，行驶全程所需时间减少了4小时． （1）求列车提速前的速度； （2）现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围． 24. 已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，． （2）如图2，点，都在线段上，且． ①求证：． ②若，，求的周长． 25. 如图1，在平行四边形中，，，，分别为，中点，将四边形绕点逆时针旋转得到图2，连接，取中点，连接，． （1）求证：． （2）试猜想，、之间的数量关系，并说明理由． （3）求证：、、三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $