第一章《特殊的平行四边形》章末练习 -2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊的平行四边形 章末复习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列叙述错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线相等的四边形是平行四边形 2．菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（　　） A．13 B．52 C．120 D．240 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若CD＝4，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 5．如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 6．如图，在菱形ABCD中，AB的中垂线交对角线BD于点F，点E为垂足，连接CF，若∠DCF＝α，则∠BFC的度数为（　　） A．3α B． C． D． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C． D．6 8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A坐标为（10，0），点B坐标为（4，8），直线AC交y轴于点D，CB边交y轴于点E，连接BD，动点P从点C出发，沿折线C﹣B﹣A方向以2个单位/秒的速度向终点A匀速运动，设△PDB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，则当P在BA上运动时，S与t之间的函数关系式为（　　） A．S＝15﹣3t B．S＝3t C．S＝5t﹣25 D．S＝10t﹣50 9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OD＝6，OF＝5，则DE的长为（　　） A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6 10．如图，正方形ABCD的边长是a，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则下列结论： ①四边形EFCG是矩形； ②四边形EFCG的周长是2a； ③S△BEF+S△DEG＝2S△CFG； ④FG的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，这个菱形的面积是　 　 ． 12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A＝52°，则∠EDB＝ 　 　 °． 13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，以CE为边在矩形ABCD的外部作正方形CEFG，连接AF，H为AF的中点，连接EH，DH，则DH的长为　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　 　 ； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB＝∠AFD，求证：BE＝DF． 17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足．求证：F是CE中点． 18．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 19．已知：如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：EF＝PD． 20．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，求∠BCE的度数． 21．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点，EF⊥AC于F，EG⊥BD于F，试说明：EF+EG＝OB． 22．在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，E、F分别是AD、BC上两点，并且EF垂直平分AC，垂足为O． （1）连接AF、CE．说明四边形AFCE为菱形； （2）求AF的长． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，∠BAD的平分线交BC于点M，交BE于点N，连接AE，FM． （1）求证：四边形ABMF为菱形； （2）若AM＝6，求AE的长． 24．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 25．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 　 　 ； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G． ①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C D C C C D C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．20． 12．38． 13．3． 14．． 15．；． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF． 17．证明：如图，连接DE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，DE为AB边上中线， ∴DEAB＝BE， ∵DC＝BE， ∴DC＝DE， ∵DF⊥CE， ∴F是CE的中点． 18．证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F， ∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB＝90°﹣∠ECB， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝EB． 19．证明：连接PB，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∴PB＝PD， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°， ∴四边形BEPF是矩形， ∴PB＝EF， ∴EF＝PD． 20．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB， ∵DE＝AD，∠ADE＝36°， ∴DE＝CD，， ∴∠BCD＝72°， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA＝72°， ∵DE＝DC， ∴， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝72°﹣54°＝18°． 21．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠CBO＝45° ∵EF⊥AC，GE⊥BD， ∴∠OGE＝∠OFE＝90°； 又∵AC⊥BD， ∴四边形OGEF是矩形； ∴EF＝OG， 又∵∠EBG＝∠BEG＝45°， ∴EG＝BG， ∴EF+EG＝OB． 22．（1）证明：∵四边形ABCD矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ACF＝∠EAC， ∵EF平分AC， ∴OC＝AO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形． （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴设AF＝FC＝x cm，则BF＝（16﹣x）cm ∵AB2+BF2＝AF2， ∴82+（16﹣x）2＝x2 ∴x＝10， ∴AF的长为10cm． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠DAM＝∠AMB， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAM＝∠BMA， ∴∠BAM＝∠BMA， ∴AB＝BM，同理可得AB＝AF， ∴AF＝BM， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABMF是菱形． （2）解：由（1）得四边形ABMF是菱形， ∴ANAM＝3，NFBF， ∵F为边AD的中点， ∴AF＝5， 在Rt△ANF中，NF4， ∴BF＝8， 在△FAB和△FDE中， ， ∴△FAB≌△FDE（AAS）， ∴EF＝BF＝8， 在Rt△ANE中，AE3． 24．（1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠ECB＝∠OEC， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴OE＝OC， 同理可得OC＝OF， ∴OE＝OF； （2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD， ∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD， ∴∠ACE+∠ACF∠BCD180°＝90°， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5， 即OC的长为6.5； （3）解：当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： 当O为AC中点时，则OA＝OC， 由（1）可知，OC＝OE＝OF， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形，AC＝EF， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF为矩形． 25．解：（1）正方形邻边均相等，任意两角都互补，故一定符合题意； 平行四边形两个条件都不一定满足，故不符合题意； 菱形不满足对角一定互补，故不符合题意； 矩形不满足两边一定相等，故不符合题意； 故答案为：A； （2）①是，理由如下： 过F作FM⊥BC于M，FN⊥CD于N，如图： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC平分∠BCD，CD⊥BC， ∴FM⊥FN，FM＝FN， ∵DF⊥FG， ∴∠DFN+∠NFG＝90°，∠MFG+∠NFG＝90°， ∴∠DFN＝∠MFG， ∴△DFN≌△GFM（AAS）， ∴DF＝FG， ∵∠DFG+∠DCG＝90°+90°＝180°， ∴四边形DFGC符合“奇妙四边形”的定义； ②∵∠GFE＝90°，∠B＝90°， ∴∠GFE+∠B＝180°， ∴若四边形BGFE是“奇妙四边形”，则需要邻边相等， 若EF＝BE，连接EG，如图： ∵EG＝EG， ∴△EFG≌△EBG（HL）， ∴FG＝BG， 设DG＝FG＝BG＝x，则CG＝2x，DGx， 在Rt△CDG中，DG2＝CG2+CD2， 解得：x＝6﹣2（负值已舍）， ∴S△DFGx2＝24﹣12； 若FG＝GB，同上一情况； 若FG＝EF，则DF＝FG＝EF， ∴DG⊥EG，DG＝EG， ∴DEDG， ∵DG≥CD， ∴DGCD＝BD， ∴DE≥BD， ∵E在AB上， ∴E和B重合，此时四边形BEFG不存在； 若BG＝BE，连接EG，如图： ∵AB＝BC， ∴AE＝CG， 又∵AD＝CD， ∴△DAE≌△DCG（SAS）， ∴DE＝DG， 设AE＝x，则BE＝2x，DE＝DG， ∴DF＝FGDG，EGBE＝2x， ∴EF＝DE﹣DF， 在Rt△EFG中，EG2＝EF2+FG2， 解得：x＝23或23（舍）， ∴S△DFGDF236； 综上所述，△DFG的面积为：24﹣12或6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $