第二章《一元二次方程》章末练习题（2）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 章末复习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 2．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝4 B．（x+2）2＝8 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝8 3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 4．关于x的一元二次方程2x2+4mx+2m2＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 6．某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．500x2＝1200 B．500（1+x2）＝1200 C．500（1+x）2＝1200 D．500（1+x）+500（1+x）2＝1200 7．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 8．已知一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．24或 D．48或 9．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 10．对于二次三项式x2+ax+b（a，b为常数），以下结论： ①当b＝4，且x2+ax+b＝（x+m）2，则m＝±2； ②当x2+ax+b＝（x﹣2）（x+n）时，则2a+b＝﹣4； ③当x2+ax+b的值恒为正数时，则a2＜4b； ④当b＝12，且x2+ax+b＝（x+p）（x+q），其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．请写出一个一元二次方程，使其一个根为3，另一个根为0：　 　 ． 12．解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方得到（x+1）2＝a，则a的值为 　 　 ． 13．若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2022的值为 　 　 ． 14．三角形两边的长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是 　 　 ． 15．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图1，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+ax＝16（a＞0）的图解，如图2，若，则a的值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 17．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，求m的值． 18．已知关于x的二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）＝0有两个整数根，试求出所有满足条件的正整数a． 19．先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个解． 20．已知a，b，c是△ABC的三边长，其中a，b满足a2+b2＝4a+10b﹣29，c满足|4﹣c|＝1，试判断△ABC的形状． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 22．在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． （1）若每顶头盔降价10元，则平均每周售出　 　 顶，共获利　 　 元； （2）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ （3）商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤4）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 23．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0、3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、，且c＜5，求c的最大值． 24．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求a2﹣4a+3的最小值． 解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1． ∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）直接写出多项式x2﹣4x﹣3的最小值为　 　 ； （2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 25．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是x+1，可设x2﹣x+5＝（x+1）（x+m）+n． 则x2﹣x+5＝（x+1）（x+m）+n＝x2+mx+x+m+n＝x2+（m+1）x+m+n． ∵对于任意x的值上述等式都成立，∴，解得． ∴． 这样，分式就拆分成了整式x﹣2与分式的和的形式． （1）若将分式拆分成（a，b为整数），则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数x的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C D C B B A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x2﹣3x＝0（答案不唯一）． 12．2． 13．2024． 14．25或21． 15．6． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）∵x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝6， ∴（x﹣1）2＝6， ∴， ∴x11，x21； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （3）x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣1． 17．解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0， ∴m2﹣2m＝0且m≠0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 18．解：将原方程变形为（x+2）2a＝2（x+6）． 显然x+2≠0，于是a， 由于a是正整数，所以a≥1，即•1， 所以x2+2x﹣8≤0， （x+4）（x﹣2）≤0， 所以﹣4≤x≤2（x≠﹣2）． 当x＝﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，，1， ∴a＝1，3，6，10， 说明从解题过程中知，当a＝1时，有两个整数根﹣4，2， 当a＝3，6，10时，方程只有一个整数根． 综上所述，所有满足条件的正整数a的值为1． 19．解： ＝（）×（x+1）（x﹣1） ＝x（x﹣1）﹣2（x+1） ＝x2﹣3x﹣2， ∵x2﹣3x﹣4＝0， ∴x2﹣3x﹣2＝2， ∴原式＝2． 20．解：∵a2+b2＝4a+10b﹣29， ∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0． ∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0． ∵（a﹣2）2≥0，（b﹣5）2≥0， ∴（a﹣2）2＝0，（b﹣5）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，即a＝2，b＝5， ∵|4﹣c|＝1， ∴4﹣c＝±1． ∴c＝5或3． 当a＝2，c＝3，b＝5时，不满足三角形的三边关系，构不成三角形； 当a＝2，b＝5，c＝5时，能构成三角形，此三角形为等腰三角形． 21．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2） ＝4m2+4m+1﹣4m+8 ＝4m2+9＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2， 由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1， 解得m． 22．解：（1）根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出（顶）， 共获利（68﹣10﹣40）×300＝5400（元）． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价a元， 根据题意列一元一次方程可得，， 整理得，a2﹣23a+60＝0， 解得a1＝20，a2＝3， 当时a＝20时，售价为68﹣20＝48（元）； 当时a＝3时，售价为68﹣3＝65（元）； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价x元， 根据题意，得 ＝﹣20x2+（20m+2260）x﹣1460（40+m）， 则该函数图象的对称轴为，开口向下， 当x≤58时，利润仍随售价的增大而增大， ∴根据题意列一元一次方程得，， 整理得，m+113≥116， 解得m≥3， ∵1≤m≤4，且m为整数， m＝3或4． 23．解：（1）当m≠n时， 由题意知，m、n可看作方程3x2﹣x﹣2＝0的两根， ∴， ∴原式， 当m＝n，则原式＝1+1＝2； 综上所述，原式的值为或2； （2）∵， ∴将a、b看作是方程 的两实数根， ∵，而 c＜5， ∴（5﹣c）3≥64， ∴5﹣c≥4， 即c≤1， ∴c的最大值为1． 24．解：（1）由题意得，x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2﹣7≥﹣7． ∴当x＝2时，x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝﹣7，即有最小值为﹣7． 故答案为：﹣7． （2）由条件可得，M﹣N＝2a2+3a﹣（3a2+5）＝﹣a2+3a﹣5＝﹣（a）2． ∵， ∴，即M﹣N＜0． ∴M＜N． （3）由题意得，四边形ABCD面积为：， ∵（AC﹣5）2≥0， ∴． ∴当时，四边形ABCD面积的最大值为． 25．解：（1）∵， ∴若将分式拆分成（a，b为整数），则a＝3，b＝4， 故答案为：3；4． （2）因为分母是x﹣2，可设x2+4x﹣6＝（x﹣2）（x+m）+n， 则x2+4x﹣6＝（x﹣2）（x+m）+n＝x2+（m﹣2）x+n﹣2m． ∵对于任意x的值上述等式都成立， ∴， 解得， ∴． （3）因为分母是x﹣4，可设2x2+6x﹣25＝2（x﹣4）（x+m）+n， 则2x2+6x﹣25＝2（x﹣4）（x+m）+n＝2x2+（2m﹣8）x+n﹣8m． ∵对于任意x的值上述等式都成立， ∴， 解得， ∴． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴x﹣4＝±1或x﹣4＝±31， 当x﹣4＝1时，x＝5，，不合题意； 当x﹣4＝﹣1时，x＝3，，符合题意； 当x﹣4＝31时，x＝35，，不合题意； 当x﹣4＝﹣31时，x＝﹣27，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数x的值为3或﹣27． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $