第二章《一元二次方程》章末练习题（1）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 章末复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x﹣9＝0 B．x3+x＝5 C．x2﹣2x＝8 D．ax2+bx+c＝0 2．方程x2﹣2x＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 3．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+6x+9＝0 C．4x2﹣3x﹣2＝0 D．3x2﹣x+2＝0 5．将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 6．若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0及9b2+2024b+5＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 8．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 9．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且，则m的值是（　　） A． B．﹣3 C． D． 10．已知多项式M＝x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（　　） ①若M＝0，则代数式的值为； ②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14； ③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则的值为　 　 ． 12．如果关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　 　 ． 13．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣5）2＝9的一个根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 14．如图是一张长54cm的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为1458cm2的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为x cm，则根据题意，可列方程为　 　 ． 15．已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则 值等于 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2； （2）4x2+11x﹣3＝0； （3）2x2﹣8x+3＝0； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2． 17．方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ （2）当m取何值时是一元一次方程？ 18．先化简，再求值，其中x的值是方程x2﹣x﹣2＝0的根． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣4）x﹣4k＝0． （1）求证：无论k为何值，该方程都有实数根； （2）当k＝﹣2时，已知α，β是关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣4）x﹣4k＝0的两个根，不解方程求α3β+αβ3的值． 20．已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为5，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 21．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 22．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 23．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　 　 　 　 　 　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 24．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 　 　 ； （2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 25．问题： 有一个正方形的边长为a+3，面积为S1，一个长方形的长和宽分别为a+2和2，面积为S2，试比较S1和S2的大小． 尝试•思考： 甲组认为a是一个变量，可以取几个特殊值验证： 填空：当a＝1时，S1　 　 S2；当a＝5时，S1　 　 S2；… 乙组提出质疑：以上结论是否具有一般性？大家开始了探究! 思考•交流： 丙组提出比较两个整式的大小可采用“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B． 据此得到：S1﹣S2＝ 　 　 （用含a的代数式表示）． 为了比较S1﹣S2与0的大小关系，丁老师给出了问题解决策略： 对于形如a2+2ab+b2的二次三项式，可以写成（a+b）2的形式．但对于二次三项式x2+2x﹣3，就不能直接写成完全平方的形式了．对此，我们可以这样解决： x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． ①如果x2+kx+16是完全平方式，则k＝ 　 　 ． ②二次三项式x2+8x+17配方后可变形为 　 　 ，该式子的值 　 　 0（填“＞”“＜”或“＝”）． 问题解决：根据你学到的解题策略写出本题完整的解答过程． 有一个正方形的边长为a+3，面积为S1，一个长方形的长和宽分别为a+2和2，面积为S2，试比较S1和S2的大小． 回顾•反思： 回顾解决本题的过程，你得到了哪些解决此类问题的策略？（30字以内） 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D A C A C A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．7． 12．m． 13．18． 14．4x（54﹣2x）+2x2＝1458． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2， （2x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0， （2x﹣1+2﹣x）（2x﹣1﹣2+x）＝0， （x+1）（3x﹣3）＝0， 则x+1＝0或3x﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝1； （2）4x2+11x﹣3＝0， （x+3）（4x﹣1）＝0， 则x+3＝0或4x﹣1＝0， 所以； （3）2x2﹣8x+3＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2， 则x﹣2， 所以； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2， x2﹣8x+16+16x2﹣24x+9﹣9x2﹣6x﹣1＝0， 8x2﹣38x+24＝0， 4x2﹣19x+12＝0， （x﹣4）（4x﹣3）＝0， 则x﹣4＝0或4x﹣3＝0， 所以． 17．解：（1）∵方程是一元二次方程， ∴， ∴m＝1； （2）当m＝0时，原方程为x﹣3x﹣1＝0，是一元一次方程，符合题意； 当m≠0时， ∵方程， ∴， ∴m＝﹣1； 综上所述，m＝0或m＝﹣1． 18．解：原式 ＝﹣x2+x． 由x2﹣x﹣2＝0可得x＝2或x＝﹣1， ∵当x＝2时，原式无意义， ∴当x＝﹣1时， 原式＝﹣（﹣1）2+（﹣1）＝﹣2． 19．（1）证明：Δ＝[﹣（k﹣4）]2﹣4×1×（﹣4k）＝k2﹣8k+16+16k＝k2+8k+16＝（k+4）2， ∵无论k为何值，（k+4）2≥0，即Δ≥0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣4）x﹣4k＝0都有实数根； （2）解：当k＝﹣2时，原方程为x2+6x+8＝0，则α+β＝﹣6，αβ＝8， ∴α3β+αβ3＝αβ[（α+β）2﹣2αβ]＝8×[（﹣6）2﹣2×8]＝160． 20．解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根，AB的长为5， ∴把x＝5代入x2﹣8x+m＝0，得： 52﹣8×5+m＝0， 解得：m＝15； （2）∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0， ∴m＝16， 此时方程为x2﹣8x+16＝0， ∴x1＝x2＝4， ∴AB＝AD＝4，即菱形的边长为4； 答：m＝16，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4． 21．解：（1）是“黄金方程”，理由如下： ∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1， ∵c＝﹣3， ∴一元二次方程x2+2x﹣3＝0是“黄金方程”； （2）∵关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”， ∴2c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴2c＝﹣b﹣1， ∴b2﹣2c+1＝b2+b+1+1＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣2c+1的最小值为． 22．（1）解：一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．理由如下： ∵（2x+1）2＝1， ∴4x2+4x+1＝1， ∴4x2+4x＝0， ∵a＝4，b＝4，c＝0， ∴b＝a+c， ∴一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”． （2）证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”， ∴b＝a+c， ∴ax2+（a+c）x+c＝0， ∴（x+1）（ax+c）＝0， ∴x＝﹣1为“有爱方程”的根． （3）解：∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”， ∴﹣a＝3+b， ∴3x2﹣ax﹣（a+3）＝0， ∵a是该“有爱方程”的一个根， ∴3a2﹣a2﹣（a+3）＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， ∴a＝﹣1或． 23．解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量＝60，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60）×20． 故答案为：60；200+x；（60）×20； （2）依题意得：（200+x）（60）﹣（60）×20＝14000， 整理，得 x2﹣420x+32000＝0， 解得x1＝320，x2＝100． 当x＝320时，有游客居住的客房数量是：6028（间）． 当x＝100时，有游客居住的客房数量是：6050（间）． 所以当x＝100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100＝300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 24．解：（1）∵关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为x＝c， 代入方程得，c2+2c＝0， 解得c＝0或﹣2； 故答案为：0或﹣2； （2）∵关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为x＝m+1， 代入方程得，（m+1）2+2m（m+1）+m+1＝0， 整理得，3m2+5m+2＝0， 解得或﹣1． （3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根， ∴方程的一个根为x＝c，且c≠0， 代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∵c≠0， ∴ac+b+1＝0， ∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边， ∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根， ∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 25．解：尝试•思考：由题意，当a＝1时，S1＝16，S2＝6， ∴S1＞S2； 当a＝5时，S1＝64，S2＝14， ∴S1＞S2； 故答案为：＞，＞； 思考•交流：由题意，S1＝（a+3）2，S2＝2（a+2）， ∴S1﹣S2＝（a+3）2﹣2（a+2） ＝a2+6a+9﹣2a﹣4 ＝a2+4a+5． 故答案为：a2+4a+5； ①由题意，∵x2+kx+16是完全平方式，且x2±8x+16＝（x±4）2， ∴k＝±8． 故答案为：±8． ②由题意得，x2+8x+17＝（x+4）2+1． 又∵对于任意实数x都有（x+4）2≥0， ∴（x+4）2+1≥1＞0． 故答案为：（x+4）2+1；＞． 问题解决：由题意，∵， ∴S1﹣S2＞0． ∴S1＞S2． 回顾•反思：比较两个数或式子大小，可以转化为比较它们的差． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $