第22章《二次函数》章末练习题 -2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 章末复习题（2） 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 2．关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标是（1，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大 3．已知一次函数y＝（m﹣n）x+n的图象如图所示，则二次函数y＝mx2+nx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．如果将二次函数y＝x2﹣3的图象平移，使得平移后图象的解析式为y＝（x+3）2﹣5，那么它平移的过程可以是（　　） A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移5个单位 D．向右平移3个单位，再向下平移5个单位 5．小轩在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 ﹣3 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．在函数图象上有两点（x1，﹣1），（x2，﹣2），则x1＞x2 C．该函数图象经过点（3，0） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 6．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+c过点（﹣2，y1）（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3 7．已知抛物线L的解析式为y＝ax2﹣6ax+3（a≠0），则下列说法正确的是（　　） A．若点（﹣1，y1）与点（2，y2）都在抛物线L上，且y1＞y2，则有a＜0 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则a＞3 D．当﹣1≤x≤4时，y有最小值为1，则a的值为或 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．抛物线与y轴的交点的纵坐标是3 9．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为10米的圆形喷水池，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱OA，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心2m处到达最大高度为1.8m，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点A处汇合，则OA要修建的高度是（　　） A．0.8米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米 10．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．若是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 12．把二次函数y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　 ． 13．抛物线y＝2x2+（m﹣1）x+4的对称轴是y轴，则m的值为 　 　 ． 14．如图，已知函数y＝2x2与函数y＝﹣ax2+bx的交点为y＝﹣ax2+bx的顶点，阴影部分的面积为2，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． 15．求y＝（x﹣1）2+2图象沿着直线y＝4翻折后的图象对应的解析式是 　 　 ． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0，c＜0）经过点（﹣3，m），且m＞0．下列结论：①b＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一个根是大于﹣3的负数；③b＜3a；④若a﹣b+c＝m，抛物线过点，且y1•y3＜0，则，y2•y4＜0．其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？ 18．已知y＝（m+1）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 19．函数y＝3x2+6x+3的图象如何平移，能与y＝3x2的函数图象重合． 20．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 21．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上，若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值． 22．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）当y＜0时，写出x的取值范围； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 23．2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，将她从点A（3，10）起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）下表为平时训练中完成一次207C动作，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，求y与x近似满足的二次函数解析式，并求出h的值； （2）某一次10米跳台练习中，如果y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+bx﹣35，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到O点的距离是多少？ 24．已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线与直线y＝m有交点，求m的取值范围； （3）若把二次函数的图象沿x轴向右平移n（n＞0）个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，求n的值． 25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点D（0，1）的直线与y轴右侧的抛物线交于F，与y轴左侧的抛物线交于E，若DF＝2DE，求直线的解析式； （3）设点P是抛物线上任一点，点Q在x轴正半轴上，△PCQ能否构成以∠CPQ为直角的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B B D D B C 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．﹣2． 12．y＝（x﹣2）2+3． 13．1． 14．2；4． 15．y＝﹣（x﹣1）2+6． 16．②③④． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：由二次函数可知：k2﹣k≠0， 即k（k﹣1）≠0， 解得k≠0且k≠1． 18．解：（1）∵y＝（m+1）\;x4{{m}^{2}+m}$是关于x的二次函数， ∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴m+1＜0，即m＜﹣1． 所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）； （2）当x＝0时，y最大＝0． 19．解：由题知， y＝3x2+6x+3＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2， 则将此函数图象向右平移1个单位长度能与y＝3x2的函数图象重合． 20．解：（1）当； 当； 当； 当； 当； （2）将（1）中的每对x，y的对应值在平面直角坐标系中描出，再连线即可得到函数图象，如图： 21．解：（1）由题意，∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴1＝1． ∴b＝4． （2）由题意，∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴y12x1． ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴y1+h＝﹣（x1+t）2+4（x1+t）． ∴2x1+h＝﹣（x1+t）2+4（x1+t）． ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， 又∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3． 22．解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， 将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中， 解得c＝﹣3． ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点， A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0， ∴当y＜0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3； （3）①若a+1≤1，即a≤0时， 则当x＝a+1时，函数值最小， ∴（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得：a＝1或a＝1（舍去）； ②如a＜1＜a+1，即0＜a＜1时， 则当x＝1时函数值最小， ∴1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（不合题意）； ③若a≥1， 则当x＝a时函数值最小， ∴a2﹣2a﹣3＝2a， 解得：a＝2或a＝2（舍去）， ∴a的值为1或2． 23．（1）解：根据表格得，函数图象过点（3，10），（4，10）， ∴二次函数的对称轴为直线． 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k， 将点（3，10），（4.5，6.25）代入y＝a（x﹣3.5）2+k， 得， 解得， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25． 将y＝11.25代入y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 可得h＝3.5． （2）∵y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+bx﹣35， ∴将A（3，10）代入，可得10＝﹣4×32+3b﹣35． 解得b＝27． ∴y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+27x﹣35． 当y＝0时，0＝﹣4x2+27x﹣35， 解得x1＝5，（舍）． 答：全红婵完成跳水动作入水时的入水点到O点的距离是5m． 24．解：（1）将（2，﹣4），（4，0）代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2），即：x2﹣2x﹣8﹣2m＝0， ∵抛物线与直线有交点，则4﹣4×（﹣8﹣2m）≥0， 解得； （3）由（2）可得的对称轴为直线x＝1， 且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大， ∴抛物线在x＝2时有最小值为﹣4， ①向右平移n个单位，当平移后对称轴在2左边时，即n≤1，函数在x＝2处取得最小值﹣3， 即， 解得：，都不符合题意； ②当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； ③当平移后对称轴在3右边时，即n≥2时，函数在x＝3时，存在y的最小值﹣3， ∴， 解得：，，（舍去） ∴，综上所述，． 25．解：（1）由已知可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线EF的解析式为y＝kx+1，E、F的横坐标分别为x1，x2， ∴kx+1＝﹣x2+2x+3， 整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0， 过点E作EG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，则有EG∥y轴∥FH， ∴， 即OH＝2OG， ∴x2＝﹣2x1， 由x1•x2＝﹣2，得： x1（﹣2x1）＝﹣2， 解得：x1＝±1， ∴x1＝﹣1， ∴E点的横坐标为（﹣1，0）， 把（﹣1，0）代入y＝kx+1，得k＝1， ∴直线的解析式为y＝x+1； （3）△PCQ能构成以∠CPQ为直角的等腰直角三角形． 过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，设P点的坐标为（x，﹣x2+2x+3），Q（m，0）， 则M（x，0），N（0，﹣x2+2x+3）， ∴PM，PN，QM，CN， 由题意可知：PC＝PQ，∠CPQ＝90°，四边形OMPN是矩形， ∴∠MPN＝90°， ∴∠CPN＝∠QPM， ∴△CPN≌△QPM（AAS）， ∴PM＝PN，QM＝CN， ∴， 由﹣x2+2x+3＝x， 解得： ，（舍去）， ， ∴， 由﹣x2+2x+3＝﹣x，得： ，， 当时，﹣x2+2x+3， ∴， 当时，﹣x2+2x+3， ∴， ∴P点的坐标为，，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $