第22章《二次函数》章末练习题（1）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 章末复习题（1） 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y 2．二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 3．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1 5．将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝5（x﹣1）2+1 B．y＝5（x﹣4）2+3 C．y＝5（x﹣4）2﹣1 D．y＝5（x﹣3）2+4 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　） A．3 B．2 C．0 D．1 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③2a+b＝0；④3a+c＜0；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．已知函数y＝（a﹣1）x2+3x﹣1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是　 　 ． 12．已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．已知y2，当x 　 　 时，函数值随x的增大而减小． 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，当y＞0时，自变量x的取值范围是 　 　 ． 15．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y（x﹣5）2+6，则CD的长为 　 　 m． 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　 　 （点C'不与点A重合）． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 18．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3． （1）直接写出x轴两交点和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象． 19．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x+m． （1）有公共点； （2）没有公共点． 20．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3． （1）求当x＝﹣2时，y的值． （2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向． 21．已知抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （2）当a＞0时，求证：该抛物线的对称轴一定在直线的右侧． 22．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T． （1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量y（单位：mg）和时间x（单位：h）之间的函数图象，其中在服用后前9h，图象是抛物线的一部分，9h后图象为直线的一部分． （1）若某个成年人在服药后浓度最高可达到4mg． ①求a，b的值； ②求药物在服用期间浓度不低于2mg持续的时间； （2）若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12h，且不得超过16h，求a的取值范围． 24．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴方程及抛物线与x轴的交点坐标； （2）若a＝﹣2，当时，求函数y的取值范围，并说明理由； （3）若a＝1，设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a交于点A，B，与抛物线y＝2x2﹣4x﹣7交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且B（5，0），C（0，5）． （1）求抛物线的表达式； （2）若将平面内一点M（3，n）向左平移3m（m＞0）个单位，到达图象上的N点；若将点M向右平移m（m＞0）个单位，则到达图象上的Q点，求Q点坐标． （3）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接AD，BC相交于E点，△CDE的面积为S1，△CAE的面积为S2，求的最大值及此时点D的坐标． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B A C C C C 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．a≠1． 12．＜． 13．＜﹣1． 14．﹣3＜x＜0． 15．22． 16．（2，﹣3）或（，）． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：由已知条件可得：m+3≠0，m2+2m﹣1＝2， 解得：m≠﹣3，m1＝﹣3，m2＝1， ∴m＝1． 18．解：（1）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1）， ∴该函数与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），顶点坐标为（﹣1，4）； （2）由（1）可知：y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为（﹣1，4），过点（﹣3，0），（1，0），（0，3），（﹣2，3）， 函数图象如图所示． 19．解：由题意得x2＝x+m，整理得x2﹣x﹣m＝0， △＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝4m+1． （1）4m+1≥0， m，有公共点； （2）4m+1＜0， m，没有公共点． 20．解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得， a•32＝3，解得a， 所以这个二次函数的表达式为yx2； 当x＝﹣2时，y（﹣2）2； （2）∵yx2，a0， ∴图象开口向上； 对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）． 21．解：（1）对于抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0）， ∵顶点在x轴上， ∴△＝[﹣（3a+1）]2﹣4×a×3＝0， ∴9a2+6a+1﹣12a＝0，即9a2﹣6a+1＝0， ∴（3a﹣1）2＝0， ∴a． （2）证明：∵抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0）的对称轴为x，a＞0， ∴0， ∴， ∴抛物线的对称轴一定在直线x的右侧． 22．解：当时，函数表达式为y＝12x+6，令y＝0，得，不符合题意， 当时，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0，得0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4， 解得或， ∵，a是整数， ∴当2a+1是6的因数时，是整数， ∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6， 解得或a＝﹣2或或a＝﹣1或a＝0或或a＝1或， ∵a是整数， ∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1． 23．解：（1）①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4， ∴，解得． ．∴ 当x＝9时，． 把（9，3）代入， 解得b＝6． ∴，b＝6． ②将y＝2代入，解得，（舍去）； 将y＝2代入，解得x＝12， 故持续时间为：（h）． （2）由题意可知，当x＝12时，y≥0， 代入中，即， ∴b≥4； 当x＝16时，y≤0． 代入中，即， ∴； ∴， 当x＝9时，81a+12＝b﹣3，此时b＝81a+15， ∴． ∴． 24．解：（1）抛物线的对称轴为直线2； 令ax2﹣4ax﹣5a＝0． ∵a≠0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， 解得 x1＝5，x2＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（5，0）和（﹣1，0）； （2）若a＝﹣2，则 y＝﹣2x2+8x+10． 由条件可知抛物线开口向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，函数y有最大值，最大值为y＝18． ∵，且抛物线上的点离对称轴越远，y值越小， ∴当x＝﹣2时，y的值最小，最小值为y＝﹣2×（﹣2）2+8×（﹣2）+10＝﹣14， ∴当 时，y的取值范围为﹣14≤y≤18； （3）当a＝1时，y＝x2﹣4x﹣5． 联立 ， 得x2﹣4x﹣5＝m， 解得 ， ∴． 联立 ， 得 2x2﹣4x﹣7＝m， 解得 ， ∴， ∴， 即线段AB与线段CD的长度之比为． 25．解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）由平移的性质知，点N（3﹣3m，n）、Q（3+m，n）， 将点N、Q的坐标代入抛物线表达式得：n＝﹣（3﹣3m）2+4（3﹣3m）+5＝﹣（3+m）2+4（3+m）+5， 解得：m＝1（不合题意的值已舍去），n＝5，即点Q（4，5）； （3）由抛物线的表达式知，点A（﹣1，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5， 过点D、A分别作y轴的平行线交BC于点H、N， 当x＝﹣1时，y＝﹣x+5＝6，即AN＝6， 设点D（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+5），则DH＝﹣x2+5x， ∵AN∥DH， 则△NEA∽△HED， ∵DE：AE＝DH：AN（﹣x2+5x）（x）2， 即的最大值为：，此时点D（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $