第1章三角形综合素养测评卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章综合素养测评卷 (考试时间:100分钟 满分:120分 成绩: ) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 如图,在△ABC 中,AD 是高,AE 是中线.若AD=4,S△ABC=12,则BE 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”.在等腰三角形ABC 中，若∠A=80°，则它的特征值k 等于 ( ) A. C. B. D. 3. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在BC 上,E 是AB 的中点,连接AD,CE 相交于点F,且AD=BD.若∠AFE=120°,则∠CAD 的度数是 ( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 4. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是AC的中点,CE⊥BD,交BD的延长线于点E，交 BA 的延长线于点F.若△FBC 的面积是48，则AC 的长为() A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5.(2025·江苏徐州模拟)如图,在△ABC 中,外角∠CBM 和∠BCN 的平分线相交于点P,PE⊥AC 于点E.若S△BPc=10,PE=4,S△ABC=13,则△ABC 的周长为 ( ) A. 16.5 B. 14.5 C.12.5 D. 10.5 6. 如图,在△ABC中,DE 垂直平分AC,∠EBC+∠ABE=180°,过点 E 作EF⊥AB 于点F,连接AE.若AF=8,BC=6,则AB 的长为 ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7.(2024·四川巴中)如图,在△ABC中,D 是AC的中点,CE⊥AB 于点E,BD 与CE交于点O，且BE=CD，则下列说法错误的是 ( ) A. BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 B. ∠BDC=3∠ABD C.当 E 为AB 的中点时,△ABC 是等边三角形 D.当 E 为AB 的中点时, 8. 如图,在△ABC中,BC=10,AC-AB=4.过点 C 作∠BAC 的平分线的垂线,垂足为D,连接BD,则 S△BDC的最大值为 ( ) A. 10 B. 15 C. 12 D. 14 9.新素养 推理能力 如图，△ABC的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D，P 是AD上异于点A 的任意一点,连接PB,PC.设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则m+n与b+c的大小关系是 ( ) A. m+n>b+c B. m+n<b+c C. m+n=b+c D.无法确定 10. 如图,在等边三角形ABC 中,D,E 分别为边AB,AC上的动点,BD=2AE,连接DE,以DE 为边在△ABC 内部作等边三角形DEF，连接CF，当点D 从点A 向点 B 运动(不运动到点 B)时，∠ECF 大小的变化情况是 ( ) A.不变 B.变小 C.变大 D.先变大后变小 二、细心填一填(每小题3分，共24分) 11.在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆(如图)，这样做的数学原理是 . 12.(2024·青海西宁)若长度分别为3，6，a的三条线段能首尾相连组成一个三角形，则整数 a 的值可以是 .(写出一个即可) 13. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD平分 , P 是BD 的中点.若CP=6,则AD 的长为 . 14. 如图,在△ABC 和△CDE 中,点 A 在DE 上,AB 与CD 相交于点F,且 BC=DC,DE=3,∠BCD=∠ACE=∠BAD,则AB 的长为 . 15. 如图,在△ABC中,△ABC 是边长为6cm的等边三角形,动点 P,Q 分别从A,B 两点同时出发，分别在边 AB，BC 上匀速移动，它们的速度分别为 — 2 — 学科网（北京）股份有限公司 1cm/s，当点 P 到达点B 时，P，Q 两点同时停止运动.设点 P 的运动时间为t s，则当t= 时,△PBQ 为直角三角形. 16. 如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.若AB=6,AC=3,则BE= . 17. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,∠BAC 的平分线交BC 于点D,且AD=4,M,N 分别是边AD 和AB 上的动点,连接BM,MN,则 BM+MN的最小值为 . 18. 如图,AO⊥OM,OA=4,B 为射线OM上的一个动点,分别以OB,AB 为直角边,B 为直角顶点，在OM 的两侧分别作等腰直角三角形OBF 和等腰直角三角形ABE，连接EF,交OM 于点 P,当点 B 在射线OM 上移动时,线段 PB 的长为 . 三、耐心解一解(共66分) 19.(6分)如图，OM，ON 是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心 P，使得活动中心 P 到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等.如何利用尺规作图确定活动中心 P 的位置?(不写作法，保留作图痕迹) 20.(6分)(2024·四川南充)如图,在△ABC 中,D为边BC 的中点,过点 B 作BE∥AC,交 AD 的延长线于点E. (1)求证:△BDE≌△CDA; (2) 若AD⊥BC,求证:BA=BE. — 3 — 学科网（北京）股份有限公司 21.(6分)(2024·江苏常州)如图,B,E,C,F 是直线l上的四点,AC 与DE 相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC=EF. (1) 求证: 是等腰三角形； (2)连接AD,则AD 与l 之间的位置关系是 . 22.(8分)如图，在等边三角形ABC 中，顶点 A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同的速度由点A 向点 B 和由点C 向点A 爬行，经过t s后，它们分别爬行到了D,E 两点处,设 DC 与BE 的交点为 F. (1) 求证: (2)小蚂蚁在爬行过程中，DC 与 BE 所成的 的大小有无变化?请说明理由. 23.(8分)如图,射线 BD 交 的外角 的平分线CE 于点 P，AC 的垂直平分线交BD 于点Q,交 AC 于点G, 于点M， AB=4. (1) 求证:BD 平分 (2) 求 MC 的长. — 4 — 学科网（北京）股份有限公司 24. (10分)如图,在 Rt△ABC 中, 点 D 在边 AC 上(不与A,C 两点重合), 于点E,连接BD,F 为BD的中点,连接EF,CF,CE. (1) 若 BD=10,求 EF 的长; (2)直接写出图中的所有等腰三角形； (3)试猜想∠A 与∠CEF 之间的数量关系，并证明. 25.(10分)已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形. (1)将△ADE 绕点A 旋转到如图①所示的位置时，连接 BD，CE 并延长相交于点 P(点P 与点A 重合),有PA+PB=PC(或 PA+PC=PB)成立,请证明; (2)将△ADE 绕点A 旋转到如图②所示的位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC 之间有怎样的数量关系?并加以证明； (3)将△ADE 绕点A 旋转到如图③所示的位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论，不需要证明. — 5 — 学科网（北京）股份有限公司 26.(12 分)【问题背景】如图①，在四边形 ABCD 中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕点 B 旋转，它的两边分别交 AD，DC 于 E，F 两点，探究图中线段 AE，CF，EF 之间的数量关系。小李同学探究此问题的方法是延长 FC 到点 G，使 CG=AE，连接 BG，先证明△BCG ≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是 。 【探究延伸 1】如图②，在四边形 ABCD 中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN 绕点 B 旋转，它的两边分别交 AD，DC 于 E，F 两点。上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不用说明理由； 【探究延伸 2】如图③，在四边形 ABCD 中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN 绕点 B 旋转，它的两边分别交 AD，DC 于 E，F 两点。上述结论是否仍然成立？并说明理由； 【实际应用】如图④，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30°的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等。接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离. — 6 — 学科网（北京）股份有限公司 — 7 — 学科网（北京）股份有限公司 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 第1章综合素养测评卷参考答案 1. B 2. C 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A9. A 解析:在 BA 的延长线上取点E,使 AE=AC,连接 EP.因为 AD 是△ABC 的外角平分线,所以∠CAP=∠EAP.在△ACP 和△AEP 中 所以△ACP≌△AEP (SAS). 所以 PC= PE.在△PBE 中,PB+PE>BE.又 BE=AB+AE,所以PB+PE>AB+AE,即 PB+PC>AB+AC.因为PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,所以m+n>b+c. 10. A 11. 11.三角形的稳定性 12. 12.答案不唯一，如：4 13. 12 14. 3 15. 1.5 或2.4 16. 1.5 17. 18. 2 19.如图所示： 20.(1)因为D为边BC的中点,所以BD=CD.又BE∥AC,所以∠EBD=∠C.在△BDE 和△CDA 中, 所以△BDE≌△CDA(ASA). (2) 由(1),得△BDE≌△CDA.所以 BE=CA.又AD⊥BC,D为BC 的中点,所以AD 垂直平分BC,即BA=CA.所以BA=BE. 21. (1) 在△ABC 和△DFE 中, 所以△ABC ≌△DFE (SSS). 所以∠ACB =∠DEF,即∠GCE=∠GEC.所以GE=GC.所以△GEC 是等腰三角形. (2) AD∥l 解析:由(1),得GE = GC,∠GEC=∠GCE,且 AC= DE.所以 AC-GC=DE-GE,即 AG=DG.所以∠GAD=∠GDA.又∠AGD+∠GAD+∠GDA=180°,∠CGE +∠GEC+∠GCE=180°,∠AGD=∠CGE,所以 即∠GAD=∠GCE.所以AD∥l. 22. (1) 由题意,得 AD=CE,AC=CB,∠A=∠BCE = 60°. 在 △ACD 和 △CBE 中, 所以△ACD≌△CBE(SAS). (2) ∠BFC 的大小无变化.理由如下:由(1),得△ACD≌△CBE.所以∠ACD=∠CBE.因为△ABC 是等边三角形,所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠ACD+∠BCF,所以∠CBE +∠BCF =60°. 因为∠BFC+∠CBE+∠BCF=180°,所以∠BFC=180°-(∠CBE+∠BCF)=120°.所以∠BFC 的大小无变化. 23. (1) 因为∠ACF=∠A+∠ABF,∠ECF=∠BPC+∠DBF,∠A=78°,∠BPC=39°,所以∠ABF =∠ACF-78°,∠DBF =∠ECF-39°. 因 为 CE 平 分∠ACF,所以∠ACF =2∠ECF.所以 39°)=2∠DBF.所以BD 平分∠ABC. (2) 连接AQ,CQ,过点 Q 作QN⊥BA,交 BA的延长线于点 N.因为 QG 垂直平分AC，所以AQ=CQ.由(1),得 BD 平分∠ABC,且QM⊥BC,所以 QM=QN.在 Rt△QNA 和 Rt△QMC中， 所 以 Rt△QNA ≌ Rt△QMC(HL). 所 以 NA = MC. 在 Rt△QNB 和Rt△QMB 中, 所 以 Rt△QNB≌Rt△QMB(HL).所以 BN=BM.又BC=BM+MC,BN=AB+NA,所以BC=BN+MC=AB+2MC.又BC=7,AB=4,所以7=4+2MC,解得 MC=1.5.则 MC 的长为1.5 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 — 8 — 学科网（北京）股份有限公司 24. (1) 因为 DE⊥AB,所以∠BED=90°.又 F 为BD 的中点，所以 又BD=10,所以EF=5. (2)△DEF,△BEF,△DCF,△BCF,△CEF都是等腰三角形. (3) ∠A = ∠CEF. 证明如下:由(1),得∠BED=90°.又∠ACB=90°,F 为 BD 的中点，所以 即FE=FB= FC. 所 以∠CEF = ∠ECF,∠FEB =∠FBE,∠FCB=∠FBC.又∠EFD=∠FEB+∠FBE, ∠CFD = ∠FCB + ∠FBC, 所 以∠EFD = 2∠FBE,∠CFD = 2∠FBC. 所以∠CFE = ∠EFD + ∠CFD = 2(∠FBE +∠FBC).又∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°,所以 因为∠A+∠ABC=90°,∠ABC=∠FBE+∠FBC,所以 .所以∠A=∠CEF. 25.(1)证明如下：因为△ABC 是等边三角形，所以AB=AC.因为点 P 与点 A 重合,所以 PB=AB,PC=AC,PA=0.所以 PA+PB=PC 或PA+PC=PB. (2) PA+PC=PB.证明如下:如图①,在 BP上截取 BF=CP,连接AF.因为△ABC 和△ADE 都是等边三角形,所以AB=AC,AD=AE,∠BAC = ∠DAE = 60°. 所 以∠BAC +∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中, 所以△BAD≌△CAE(SAS).所以∠ABD=∠ACE.在△CAP 和 △BAF 中, 所以△CAP≌△BAF(SAS).所以∠CAP=∠BAF, AP=AF.所以∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF,即∠FAP=∠BAC=60°.所以△AFP是等边三角形.所以 PF=PA.所以 PA+PC=PF+BF=PB. (3) PA+PB=PC. 解析:由(2),得AB=AC,∠BAC=60°.如图②,在CP 上截取CH=BP,连接AH.同(2),得△BAD≌△CAE.所以∠ABD=∠ACE.在△BAP 和△CAH 中, 所 以 △BAP ≌△CAH (SAS).所以∠BAP=∠CAH,AP=AH.所以∠BAH +∠BAP =∠BAH +∠CAH,即∠HAP=∠BAC=60°.所以△AHP 是等边三角形.所以 PH=PA.所以 PA+PB=PH+CH=PC. 26.【问题背景】EF=AE+CF 解析:如图①,延长 FC 到点G,使 CG=AE,连接 BG.因为∠BCD+∠BCG=180°,∠BCD=∠BAD=90°,所以 ，即∠BCG= ∠BAE. 在△BCG 和△BAE 中, 所 以 △BCG ≌△BAE (SAS). 所以 BG=BE,∠CBG=∠ABE.又∠ABC=120°,∠MBN=60°,所以∠ABE+∠CBF = ∠ABC - ∠MBN = 60°. 所 以∠CBG+∠CBF=60°,即∠GBF=60°.所以∠GBF = ∠EBF. 在△BGF 和△BEF 中, 所以 △BGF ≌△BEF — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 (SAS).所以GF=EF.因为GF=CG+CF=AE+CF,所以EF=AE+CF. 【探究延伸1】结论EF=AE+CF 成立. 解析:如图②,延长FC到点G,使CG=AE,连接BG.同【问题背景】,得△BCG≌△BAE(SAS).所以 BG= BE,∠CBG =∠ABE. 又∠ABC =2∠MBN,所以∠ABE +∠CBF =∠EBF = 所以 即 所以∠GBF=∠EBF.在△BGF和△BEF 中, 所以△BGF ≌△BEF(SAS).所以GF=EF.因为GF=CG+CF=AE+CF,所以EF=AE+CF. 【探究延伸2】结论 EF=AE+CF 仍然成立.理由如下：如图③，延长 FC 到点 G，使CG=AE,连接BG.因为 BC=BA,∠BAD+∠BCD=180°,∠BCG+∠BCD=180°,所以∠BCG=∠BAD. 在△BCG 和△BAE 中, 所以 △BCG ≌△BAE (SAS).所以BG=BE,∠CBG=∠ABE.因为∠ABC=2∠MBN,所以∠ABE+∠CBF= 所以∠CBG+∠CBF= 即 所以∠GBF = ∠EBF. 在△BGF 和△BEF 中, 所 以 △BGF ≌△BEF (SAS). 所以GF=EF.又GF=CG+CF=AE+CF,所以EF=AE+CF. 【实际应用】如图④,连接EF,延长AE,BF相交于点 G.因为 70°) = 140°,∠EOF = 70°,所以∠EOF = 又 OA =OB,∠OAG+∠OBG= ，所以符合【探究延伸2】中的条件.所以结论 EF=AE+BF 仍然成立,即 EF=75×1.2+100×1.2=210(海里).则此时两舰艇之间的距离为210海里. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 — 11 — 学科网（北京）股份有限公司 $