重难点01：丰富的图形世界（5大类型+拔优特训） 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

重难点01：丰富的图形世界专题训练 导 航 类型1：常见的几何体及其分类………………………………………1 类型2：从不同方向看几何体及其相关运算…………………………4类型3：与几何体展开图有关的计算…………………………………8 类型4：正方体的展开与折叠…………………………………………12 类型5：与七巧板有关的计算…………………………………………17 拔 优 特 训……………………………………………………………19 类 型 类型1： 常见的几何体及其分类 1．下列立体图形不属于多面体的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图中柱体有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列几何体中，是棱柱的几何体个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 6．写出下图中各个几何体的名称，并按锥体和柱体把它们分类． ①       ②        ③ ④       ⑤        ⑥ 其中，柱体有： 锥体有： 类型2：从不同方向看几何体及其相关运算 1．如图桌面上摆放了几块相同的小正方体积木，从正面和左面看都是，桌上至少摆了（   ）个小正方体积木． A．3 B．4 C．5 D．6 2．兰兰摆出一个立体图形，从左面、右面看到的图都是，那么兰兰摆出的图形可能是（   ）图形． A． B． C． D．以上答案都不对 3．下面几何体（   ）符合要求． A． B． C． D． 4．如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看得到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是 （    ） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个或8个 D．7个或8个或9个 5．一个立体图形由若干个相同的小正方体组成． （1）要保持从上面看到的图形不变，最多可以拿走 个小正方体． （2）要保持从正面看到的图形不变，最多可以拿走 个小正方体． 6．把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，下图是从正面看和从上面看的图形，则组成这个图形最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 7．由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则 ． 8．如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 9．如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从上面看到的图形不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 类型3：与几何体展开图有关的计算 1．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 3．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 4．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 5．如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是 ． 6．小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 7．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 8．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 类型4：正方体的展开与折叠 1．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．下面有4个正方体，只有一个是用下图的纸片折叠而成的，这个正方体是：（   ） A． B． C． D． 3．一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“国”字相对的字是（   ） A．民 B．歌 C．之 D．乡 4．如图形状的方格式纸片是一个正方体的表面展开图，此表面展开图所折成的正方体是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 6．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 8．如图，这是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值是多少？ 9．如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 10．下图所示的是一个几何体的表面展开图，每个面上都标注了数字．请根据要求回答下列问题： (1)如果1在几何体的上面，那么哪个数字会在几何体的底面？ (2)如果6在前面（面向自己），从左面看是2，那么哪个数字会在上面？ (3)如果从右面看是3，而4又在后面，那么哪个数字会在上面？ 类型5：与七巧板有关的计算 1．七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 2．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 3．七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 4．如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 拔优特训 1．如图是一个正方体的表面展开图，上面标有“国御温泉之都”六个字，则原正方体中与“温”字所在面相对面上的字是（　　） A．国 B．御 C．之 D．都 2．若一个棱柱有条棱，则它的底面一定是（  ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形 3．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数之和相等，则这六个数之和是（    ） A．39 B．45 C．51 D．以上均可 4．用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 5．如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 6．如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 7．用数学知识解释下列现象： （1）飞机做飞行表演时的“飞机拉线”，解释为 ． （2）汽车雨刷刷过的路径，解释为 （3）一个圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成球，解释为 ． 8．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    9．小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 10．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 11．如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来． ． 12．一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 13．如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 14．已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： (1)将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． (2)已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，求长方体的体积． 15．如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：________； (2)若，，，，计算这个多面体的表面积． 16．如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3) 根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 17．如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 18．已知：如图1为一个长方体，，，图2为图1的表面展开图，请回答下面问题：    (1)请用三角符号在图2中标出在图1中与面相对的面； (2)在图1中，点、均为所在棱的中点，试在图2中画出、的位置； (3)根据图中所给的数据，求图2中面积． 19．观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 20．综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01：丰富的图形世界专题训练 导 航 类型1：常见的几何体及其分类………………………………………1 类型2：从不同方向看几何体及其相关运算…………………………4类型3：与几何体展开图有关的计算…………………………………8 类型4：正方体的展开与折叠…………………………………………12 类型5：与七巧板有关的计算…………………………………………17 拔 优 特 训……………………………………………………………19 类 型 类型1： 常见的几何体及其分类 1．下列立体图形不属于多面体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、C、D中的立体图形的每个面都是平面，是多面体，B中的立体图形有一个曲面，不是多面体． 故选：B． 2．下列图中柱体有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】解：柱体分为圆柱和棱柱， 图中的柱体有①③④⑥，共4个． 故答案为：C． 3．下列几何体中，是棱柱的几何体个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：是棱柱的几何体是  ，  ，共2个， 故选：B ． 4．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 5．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④ 【解析】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤； （2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类． 故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④． 6．写出下图中各个几何体的名称，并按锥体和柱体把它们分类． ①       ②        ③ ④       ⑤        ⑥ 其中，柱体有： 锥体有： 【答案】①圆柱；②圆锥；③四棱锥；④五棱柱；⑤三棱锥；⑥四棱柱（或长方体）；柱体有：①④⑥；锥体有：②③⑤ 【解析】解：根据观察可得： ①圆柱；②圆锥；③四棱锥；④五棱柱；⑤三棱锥；⑥四棱柱（或长方体）， ∴柱体有：①④⑥，锥体有：②③⑤． 故答案为：①圆柱；②圆锥；③四棱锥；④五棱柱；⑤三棱锥；⑥四棱柱（或长方体），柱体有：①④⑥，锥体有：②③⑤． 类型2：从不同方向看几何体及其相关运算 1．如图桌面上摆放了几块相同的小正方体积木，从正面和左面看都是，桌上至少摆了（   ）个小正方体积木． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：结合从正面、左面看到的图形，可以得出下面的几何体： 所以桌上至少摆了3个小正方体积木． 故选：A． 2．兰兰摆出一个立体图形，从左面、右面看到的图都是，那么兰兰摆出的图形可能是（   ）图形． A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】解：兰兰从左面、右面看到的图都是，可以排除选项A、选项C， 只有选项B符合题意． 故选：B ． 3．下面几何体（   ）符合要求． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：符合从正面看的几何体有选项B、C， 选项B、C中符合从上面看的几何体只有B，且选项B符合从左面看的图形， 故选：B． 4．如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看得到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是 （    ） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个或8个 D．7个或8个或9个 【答案】C 【解析】解：根据从左面看到的形状图，可得该几何体由3层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，2列，所以上层至少1块，底层2行共有4块， 所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是块， 至多是块， 则搭成这个几何体的小立方块的个数是6个或7个或8个． 故选：C． 5．一个立体图形由若干个相同的小正方体组成． （1）要保持从上面看到的图形不变，最多可以拿走 个小正方体． （2）要保持从正面看到的图形不变，最多可以拿走 个小正方体． 【答案】 4 3 【解析】（1）解：从上面看图形有5个正方形，要保持从上面看到的图形不变，则最多可以拿走4个小正方体； （2）解：从正面看图形有6个正方形，要保持从正面看到的图形不变，则最多可以拿走3个小正方体； 故答案为：4；3． 6．把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，下图是从正面看和从上面看的图形，则组成这个图形最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 【答案】 9 13 【解析】解：当组成这个图形需要小正方体最少时，从上面看的图形如下（正方形内的数字表示小正方体实际的层数）： 此时小正方体个数为（个）； 当组成这个图形需要小正方体最多时，从上面看的图形如下（正方形内的数字表示小正方体实际的层数）： 此时小正方体个数为（个）； ∴综上所述，组成这个图形最少需要9个小正方体，最多需要13个小正方体． 故答案为：9；13． 7．由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则 ． 【答案】 【解析】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数为，从主视图可以看出每一层小正方体的层数为层和中间一层为个到个，最上面为个到个， ∴堆成这个几何体最少需要：（个）小正方体， 最多需要：（个）小正方体， 即，，所以． 故答案为：． 8．如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【解析】解：∵从正面看有3列，最左边一列有4个正方形，中间一列有2个正方形，最左边一列有2个正方形，从左面看有3列，最左边一列有2个正方形，中间一列 有4个正方形，最右边一列有1个正方形， ∴从正面和从左面看到的这个几何体的形状图，如图所示： 9．如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从上面看到的图形不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【解析】（1）解： 所以该几何体的表面积含下底面为28， 故答案为：． （2）如图所示： （3）添加小正方体是中间1列前面的2个，最多可以再添加2个小正方体 故答案为：． 类型3：与几何体展开图有关的计算 1．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 2．一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【答案】B 【解析】解：由题意知，笔筒的表面积为：（平方厘米）． 故答案为：B． 3．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【解析】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 4．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【解析】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 5．如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是 ． 【答案】 【解析】解：这个圆柱的侧面积． 故答案为：． 6．小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【答案】64 【解析】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 7．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【解析】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 8．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；1 (2)， 【解析】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的侧面积为：； 该几何体的体积． 类型4：正方体的展开与折叠 1．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题意，不是正方体的表面展开图是： 故选：C． 2．下面有4个正方体，只有一个是用下图的纸片折叠而成的，这个正方体是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由原图可知，三角形的对面是实心圆， ∴选项A、B不符合题意； 由原图可知，空心圆和三角形相邻， C选项，若左侧面为三角形的话，则右侧面为实心圆；若底面为三角形的话，则上面为实心圆； ∴该选项不符合题意， D.该选项符合题意； 故选：D． 3．一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“国”字相对的字是（   ） A．民 B．歌 C．之 D．乡 【答案】D 【解析】解：由题意得：国与乡是相对面， ∴与“国”字相对的字是乡， 故选：D． 4．如图形状的方格式纸片是一个正方体的表面展开图，此表面展开图所折成的正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据展开图可以得出正方体有两底面是两阴影小正方体相连接组成的图案， 符合要求的只有A，D， 但是对角线相连部分，不可能与正方形再次相连，则D错误． 故选：A． 5．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 【答案】2 【解析】解：由正方体展开图的特点可得，一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点， 再“马走日”一次，就与原数字重合． 所以数字6“马走日”一次到数字9，数字9“马走日”一次到2， 所以与数字6重合的是数字2． 故答案为：． 6．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【答案】④ 【解析】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 【答案】 【解析】解：根据题意可知：剪去或或可以围成一个正方体，剪去不能围成正方体， 故答案为： ． 8．如图，这是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值是多少？ 【答案】 【解析】解：∵“”与面“”相对，面“”与面“”相对，“”与面“”相对， 又∵相对面上的两个数互为相反数， ∴，，， ∴ 9．如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 【答案】(1)见解析 (2)F、N (3)12 【解析】（1）解：拼图存在问题，多了，如图： （2）解：修正后所折叠而成的长方体中，所有与点A重合的点：F、N； 故答案为：F、N； （3）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为、、 ， ∴体积为：． 故答案为：12． 10．下图所示的是一个几何体的表面展开图，每个面上都标注了数字．请根据要求回答下列问题： (1)如果1在几何体的上面，那么哪个数字会在几何体的底面？ (2)如果6在前面（面向自己），从左面看是2，那么哪个数字会在上面？ (3)如果从右面看是3，而4又在后面，那么哪个数字会在上面？ 【答案】(1)6会在几何体的底面 (2)3会在上面 (3)1会在上面 【解析】（1）解：由正方体表面展开图的特征可知，面“1”与面“6”相对，1在几何体的上面，那么数字6会在几何体的底面； （2）解：由正方体表面展开图的特征可知，面“2”与面“4”相对，面“1”与面“6”相对，面“3”与面“5”相对，当6在前面，2在左面，那么确定5在下面，3在上面； （3）解：由正方体表面展开图的特征可知，面“2”与面“4”相对，面“1”与面“6”相对，面“3”与面“5”相对，当3在右面，4在后面，那么确定6在下面，1在上面． 类型5：与七巧板有关的计算 1．七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ∴图中①号部分的面积是正方形面积的， 故选：B． 2．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 【答案】40 【解析】解：的面积等于， 和的面积为，的面积为，的面积为， 由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于． 故答案为：． 3．七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 【答案】32 【解析】解：∵七巧板中的那块小正方形的面积为4， ∴七巧板中的那块小正方形的边长为2， ∴七巧板中的那块大等腰直角三角形的边长为， ∴图中利用七巧板拼成的大正方形的面积为， ∴拼出的“灵蛇开运”图的面积是32， 故答案为：32． 4．如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【解析】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：16． 拔优特训 1．如图是一个正方体的表面展开图，上面标有“国御温泉之都”六个字，则原正方体中与“温”字所在面相对面上的字是（　　） A．国 B．御 C．之 D．都 【答案】D 【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，与“温”字所在面相对面上的字是“都”． 故选：D． 2．若一个棱柱有条棱，则它的底面一定是（  ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形 【答案】C 【解析】解：棱柱有条棱，又，因此底面是八边形， 故选：C． 3．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数之和相等，则这六个数之和是（    ） A．39 B．45 C．51 D．以上均可 【答案】A 【解析】解：由题意得，这 6 个整数可以为或或， ∵相对面上所标数字之和相等， ∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面， 当这6个整数为，则和为对面，和8为对面，和7为对面，符合题意， ∴此时这 6 个数的和为； 当这 6 个整数为，则由相对面上所标数之和相等，可知和为对面，而图中它们是相邻面，不符合题意； 当这 6 个整数为，则由相对面上所标数之和相等，可知和为对面，而图中它们是相邻面，不符合题意， 综上所述，这 6 个整数的和为， 故选：A． 4．用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【解析】解：用刀截一个正方体豆腐块，截面可能是三角形、矩形、六边形，不可能是七边形， 故选：D． 5．如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 【答案】A 【解析】解：如图所示，周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个， ∵每个小正方形的边长为2， ∴表面积为． 故选：A． 6．如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 7．用数学知识解释下列现象： （1）飞机做飞行表演时的“飞机拉线”，解释为 ． （2）汽车雨刷刷过的路径，解释为 （3）一个圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成球，解释为 ． 【答案】 点动成线 线动成面 面动成体 【解析】解：（）飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释：点动成线； （）汽车雨刷刷过的路径，解释：线动成面； （）一个圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释：面动成体； 故答案为：①点动成线②线动成面③面动成体 8．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【答案】1 【解析】解：由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点， 即A、B的距离是正方体的棱长1， 故答案为：1． 9．小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 【答案】③ 【解析】解：如图所示， 故答案为：③． 10．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【解析】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 11．如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来． 【答案】见解析 【解析】解：如图连线． ． 12．一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【解析】解：如图所示， 13．如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 【答案】(1)12 (2)18， (3) 【解析】（1）解：（1）六棱柱有12个顶点； 故答案为：12． （2）这个棱柱有18条棱， 所有的棱长的和是． 故答案为：18，． （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是， 故答案为：． 14．已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： (1)将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． (2)已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，求长方体的体积． 【答案】(1) (2)长方体的体积为： 【解析】（1）解：根据图示可得，将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是，与点重合的点是点， 故答案为：； （2）解：根据长方体展开图可得，，， ∵长方体的表面展开图中，四边形是正方形， ∴四边形也是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长方体的底面长为，宽为，高为， ∴长方体的体积为：． 15．如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：________； (2)若，，，，计算这个多面体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【解析】（1）解：共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）（2）∵，，，， ∴表面积为． 16．如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)72立方厘米 【解析】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③④； （3）解：， 答：体积是72． 17．如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 【答案】(1)5；9 (2)见解析 (3)135；37 【解析】（1）解：这个三棱柱有5个面，有条棱， 故答案为：5；9； （2）如图所示（画法不唯一）．    （3）侧面积为：；    如图所示的几种展开图： 由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是：(条)， 故至少需要剪开的棱的条数是5条， 需剪开棱的棱长的和的最大值为：， 故答案为：135；37 18．已知：如图1为一个长方体，，，图2为图1的表面展开图，请回答下面问题：    (1)请用三角符号在图2中标出在图1中与面相对的面； (2)在图1中，点、均为所在棱的中点，试在图2中画出、的位置； (3)根据图中所给的数据，求图2中面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)36或138 【解析】（1）如图所示，    （2）如图，点M、N即为所作：    （3）如图，    因为点为所在棱的中点， 所以点到的距离为6或者23， 所以 或者 19．观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【答案】(1)长方形，长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高；转化的数学思想 (2)两个底面和一个侧面组成 (3) 【解析】（1）解：根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高运用转化的数学思想． 故答案为：长方形． （2）解：根据题意，得圆柱两个底面和一个侧面组成． （3）解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r， 故． 故答案为：． 20．综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【解析】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用按照图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $