精品解析：2020-2021学年吉林省长春市外国语学校八年级（上）期末数学试卷(word)

2020-2021学年吉林省长春外国语学校八年级（上）期末数学试卷 一、填空题（每小题3分，共24分） 1. 的立方根是（ ） A. B. 8 C. 和4 D. 和8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念是解题的关键． 根据立方根的概念进行求解即可得答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是, 故选：A 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. ，3，4 D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+32≠42不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选C． 3. 下列计算中正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】，故选项A不合题意； x3＋x3＝2x3，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意； （−a3）2＝a6，正确，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 4. 列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案． 【详解】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意； B．由此作图可知BA=BP，不符合题意； C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意； D．由此作图可知PA=PC，符合题意. 故选D． 【点睛】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键. 5. 若(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项,那么a与b一定是( ) A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. a比b大 【答案】A 【解析】 【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把看作常数合并关于的同类项，的一次项系数为0，得出的关系. 【详解】∵ 又∵的积中不含的一次项 ∴ ∴与一定是互为相反数 故选：A. 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0. 6. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A. 3：2 B. 9：4 C. 2：3 D. 4：9 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ∵AD为∠BAC的平分线， ∴DE=DF，又AB:AC=3:2， 故选A. 点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等. 7. 如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，适当长度（大于 长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点和；②作直线 交于点 ，连接．若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据作图可得 是 的垂直平分线， ∵ 是 的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ． 故选：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的性质是解题关键． 8. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1， ∴OE=AE=AB=1． DE=， ∴OD的最大值为：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 10. 计算：___． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查的是零指数幂，掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．依据零指数幂的法则和有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：0． 11. 分解因式：4x2–1=_______________． 【答案】（2x+1）（2x–1） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）． 故答案为：（2x+1）（2x–1）． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 12. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可． 【详解】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题， 故答案为真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13. 若，，则__________． 【答案】11 【解析】 【分析】将a-b=3两边同时平方，利用完全平方公式展开，将ab的值代入即可求出所求式子的值． 【详解】解：将a-b=3两边平方得：（a-b）2=32，即a2+b2-2ab=9， 将ab=1代入得：a2+b2=11． 故答案为：11． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14. 如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中部分的面积是____． 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知建立方程组求解是解题关键．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为16，建立方程组，进而得出a，b的长，即可解题． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意得出：， 解得：， 故图2中部分的面积是：， 故答案为：64． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先利用算术平方根化简，然后进行有理数的乘法和减法运算法则求解即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 化简： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算括号内的平方差公式、整式的加减，再计算整式的除法即可得． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 17. 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题； 【详解】∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED 考点：三角形全等的判定． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 18. 如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴AF∥EC，∵DF=DC，BE=BA， ∴BE=DF， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE=CF． 19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形； （2）此三角形的面积是 　 　． 【答案】（1）画图见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图， 即为所求作的三角形， 其中： （2） 故答案为： 【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键. 20. “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3 【解析】 【分析】（1）直接配方即可； （2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， 故答案为：-2，1； （2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 则x+y＝2﹣1＝1； （3）x2﹣1﹣（2x﹣3） =x2﹣2x+2 =（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x2﹣1＞2x﹣3． 【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 21. 如图，矩形 中，点 在边上，将沿折叠，点 落在 边上的点 处，过点 作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形. （2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积. 【详解】（1）略 （2）∵矩形 中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 22. （1）拓展：如图①，在 中，，点D是 上一点，点E是 延长线上一点，且．过点D作交 于点F，连接交 于点M．求证：，． （2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件，然后过点D作，垂足为点N．若，则 的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再证明，可得； （2）根据等腰三角形的性质可得，根据，利用勾股定理即可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 23. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分.而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如将多项式因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码或等. （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出四个即可）? （2）将多项式因式分解成三个一次式的乘积后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，求 ，的值. 【答案】（1）形成的数字密码可以是、、、；（2） ，的值分别是，. 【解析】 【分析】（1）先分解因式得到，然后利用题中设计密码的方法写出相对应的密码即可； （2）由题意可得，之后利用多项式乘法法则展开，然后与前者对比，列出方程组即可求解. 【详解】（1） 当，时， ，， ∴形成的数字密码可以是、、、； （2）由题意，得， 因为，所以 解得 ∴ ，的值分别是，. 【点睛】本题主要考查了多项式的混合运算在新规律中的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 24. 定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图2，在等腰直角 中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点 逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程． 【答案】（1）或 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）分当 为最大线段时和当为最大线段时，两种情况利用勾股定理即可解决问题； （2）先证明，得，由勾股定理得即可解答． 【小问1详解】 解：①当 为最大线段时， ∵点 M , N是线段 的勾股分割点， ∴； ②当为最大线段时， ∵点M , N是线段 的勾股分割点， ∴， 综上所述：或； 【小问2详解】 证明：如图，把绕点C逆时针旋转，得到，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点M，N是线段 的勾股分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年吉林省长春外国语学校八年级（上）期末数学试卷 一、填空题（每小题3分，共24分） 1. 的立方根是（ ） A. B. 8 C. 和4 D. 和8 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. ，3，4 D. 1，，3 3. 下列计算中正确的是 A. B. C. D. 4. 列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　） A. B. C. D. 5. 若(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项,那么a与b一定是( ) A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. a比b大 6. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A. 3：2 B. 9：4 C. 2：3 D. 4：9 7. 如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，适当长度（大于 长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点 和；②作直线 交 于点 ，连接．若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 25的平方根是_____． 10. 计算：___． 11. 分解因式：4x2–1=_______________． 12. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 13. 若，，则__________． 14. 如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中部分的面积是____． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2）． 16. 化简： （1）； （2） 17. 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED． 18. 如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF． 19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形； （2）此三角形的面积是 　 　． 20. “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 21. 如图，矩形 中，点 在边上，将沿 折叠，点落在 边上的点 处，过点 作交 于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 22. （1）拓展：如图①，在 中，，点D是上一点，点E是延长线上一点，且．过点D作交于点F，连接交于点M．求证：，． （2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件，然后过点D作，垂足为点N．若，则的长为 ． 23. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分.而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如将多项式因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码或等. （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出四个即可）? （2）将多项式因式分解成三个一次式的乘积后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，求，的值. 24. 定义：如图1，点把线段 分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段 的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段 的勾股分割点，若，求的长． （2）如图2，在等腰直角 中， ，点为边 上两点，满足，求证：点是线段 的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转 试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $