精品解析：2025年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学四模数学试题

前郭三中2024—2025学年度下学期九年级第四次学识大练兵 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 在数轴上表示下列实数的点中，位于原点左侧的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 3. 为迎接2025年亚洲冬季运动会，本届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积100万平方米，创历史之最，用冰用雪量达300000立方米．把“300000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与相切于点B，的延长线交于点C，D为优弧上任意一点，若，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________. 8. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________． 9. 如果关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 10. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接．若，则的度数为______°． 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 如图，有3张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人， 现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．请用树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张为“A哪吒”的概率． 14. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？ 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 16. 如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅：图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点到地面的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，，，）． 17. 数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）若，求密度的变化范围． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．清明节假期，小力和姐姐同时从家出发骑自行车沿着同一路线去净月潭公园游玩，小力先以250米/分钟的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后，再以某一速度匀速到达净月潭公园，姐姐则始终以190米/分钟的速度骑行，两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示（速度调整时间忽略不计）．请结合图象，解答下列问题： （1）小力休息后骑行的速度比休息前骑行的速度______（填“快”或“慢”）； （2）求线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，请直接写出时间的取值范围． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______ （2）扇形统计图中组对应的圆心角为______度； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； （2）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 21. 如图，是的对角线，，，．动点P从点D出发，以的速度沿运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线运动到终点C，在，上分别以、的速度运动．过点Q作，交射线于M，连接，以，为边作．设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为． （1）_______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在边时，_______； （3）求S与t之间的函数关系式； 七、解答题（每小圆12分，共12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当点为抛物线顶点时，求的值； （3）当平行于轴时，求的值； （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图象（包括端点），当图象的最大值和最小值之差为时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭三中2024—2025学年度下学期九年级第四次学识大练兵 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 在数轴上表示下列实数的点中，位于原点左侧的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴与实数的对应，解题的关键是熟练掌握数轴． 利用数轴的意义即可解答此题． 【详解】解：根据数轴的意义，原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，原点所表示的数为0， 故选：D． 2. 如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，即可得出答案，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【详解】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化， 故选：． 3. 为迎接2025年亚洲冬季运动会，本届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积100万平方米，创历史之最，用冰用雪量达300000立方米．把“300000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．正确的确定的值即可. 【详解】解：； 故选：C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方等知识点．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时要用实心圆点表示；要用空心圆点表示”是解答此题的关键．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： 故选：D． 6. 如图，与相切于点B，的延长线交于点C，D为优弧上任意一点，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由切线的性质求得，则，根据圆周角定理，得，于是得到问题的答案． 本题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案. 【详解】对用平方差公式，得 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 8. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．熟练掌握性质是解题的关键； 根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆． 故答案为：两点确定一条直线． 9. 如果关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】m＜9且m≠0 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根， ∴，解得：且. 故答案为且. 【点睛】本题中m的取值需同时满足两个条件：（1）原方程是一元二次方程，故；（2）原方程有两个不相等的实数根，故根的判别式△=b2-4ac=(-6)2-4m>0. 10. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接．若，则的度数为______°． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的， ∵，， ∴， ∵垂直平分线的， ∴， ∴， ∴， 故答案为：26 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】2π 【解析】 【分析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝，再根据旋转的性质得出△ABC≌△A′B′C，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇形CAA'的面积），代入数值解答即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴BC＝， ∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C， ∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°， ∴阴影部分的面积＝− ×4×4＋×4×4−＝2π， 故答案为2π． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，先利用平方差公式、去括号法则计算，然后合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 如图，有3张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人， 现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．请用树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张为“A哪吒”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格或画出树状图得到所有等可能性的结果是，再找到取出的两张卡片中至少有1张为“A哪吒”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 由表格可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等，其中取出的两张卡片中至少有1张为“A哪吒”的结果有5种， ∴取出的两张卡片中至少有1张为“A哪吒”的概率为． 14. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？ 【答案】甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元，根据元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，可列关于的分式方程，解分式方程要注意检验． 【详解】解：设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的根，且符合题意， ， 答：甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 【答案】（1）如图，为所作： （2） 如图，为所作： （3） 如图，点F为所作： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质等知识； （1）连接格点P、Q与交于点，连接即为所求作的中线； （2）取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E，则为所作； （3）取格点S、T，连接交于点F，则点F满足条件． 【小问1详解】 解：如图，连接格点P、Q与交于点， 由于四边形是矩形，则点D为的中点， ∴为边上的中线； 【小问2详解】 解：； 如图，取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴平分， ∴平分， 即为所作； 【小问3详解】 解：如图，取格点S、T，连接交于点F， ∵， ∴， ∴， 即， 故点F满足题意． 16. 如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅：图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点到地面的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点G作的延长线于点M，得，继而得到，在中，根据，代入数据计算即可． 【详解】解：过点作的延长线于点， ∴， ∴， ∵点到地面的垂直距离为， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的长约为． 17. 数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）若，求密度的变化范围． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将和代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答， 【小问1详解】 解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入，可得， 解得：． 当时，代入，可得， 解得：． ∴当时，密度的变化范围为． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．清明节假期，小力和姐姐同时从家出发骑自行车沿着同一路线去净月潭公园游玩，小力先以250米/分钟的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后，再以某一速度匀速到达净月潭公园，姐姐则始终以190米/分钟的速度骑行，两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示（速度调整时间忽略不计）．请结合图象，解答下列问题： （1）小力休息后骑行的速度比休息前骑行的速度______（填“快”或“慢”）； （2）求线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，请直接写出时间的取值范围． 【答案】（1）快 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据时间路程速度，即可求出小力休息前骑行的时间，结合休息的时间为 5 分钟，即可得出，再根据速度路程时间，即可求出小力休息后骑行的速度，即可求解； （2）根据数量关系找出线段所在直线的函数解析式； （3）求出所在直线的函数解析式，求出两人相遇时的时间，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：小力休息前骑行的时间为（分钟）， ∴， ∵（分钟）， ∴． 小力休息后骑行的速度， ∵， 故答案为：快； 【小问2详解】 解：设线段的函数表达式是， 把点和点代入，得：， 解得：， ∴线段的函数表达式是． 【小问3详解】 解：根据题意：线段的函数表达式是：． 线段的函数表达式是：． 解方程组：，得：， 解方程组：，得：， 故在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，时间的取值范围是． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______ （2）扇形统计图中组对应的圆心角为______度； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1）85， （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （3）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则， 根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， 第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数． 故答案为：85，； 【小问2详解】 解：∵乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， C组有8人， ∴组有人， ∴扇形统计图中组对应的圆心角为， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； （2）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 【答案】（1） ，，理由： 延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，； （2） ， 证明：设，交于， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即：； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，得出，延长交于点，进而求出，从而证明即可； （）设，交于，设，求得，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到； （）由（）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 21. 如图，是的对角线，，，．动点P从点D出发，以的速度沿运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线运动到终点C，在，上分别以、的速度运动．过点Q作，交射线于M，连接，以，为边作．设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为． （1）_______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在边时，_______； （3）求S与t之间的函数关系式； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先表示，可得； （2）如图1，点落在边上，则，，证明，列比例式得方程，可得的值； （3）分三种情况①当点在线段上运动时，时，如图2，过点P作于点E，重叠部分图形是，②当点在线段上运动时，时，重叠部分图形是四边形，③当点在线段上运动时，时，重叠部分图形是五边形，根据三角形和四边形面积和与差可得结论； 【小问1详解】 （1）由题意得：， ， ， 故答案为； 【小问2详解】 如图1，点落在边上，则，， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 ①当点在线段上运动时，时，如图2，过点P作于点E，与重叠部分图形是， 则． ； ②当点在线段上运动时，时，如图3，与重叠部分图形是四边形，则， ， ， ∴； ③当点在线段上运动时，， 如图，与重叠部分图形是五边形， 则，，， ， ∴， ∴， ， ； 综上所述：函数关系式为 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了相似或全等三角形的判定与性质、解一元一次方程、三角形的面积、三角函数及二次函数等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 七、解答题（每小圆12分，共12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当点为抛物线顶点时，求的值； （3）当平行于轴时，求的值； （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图象（包括端点），当图象的最大值和最小值之差为时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）根据二次函数顶点坐标的横坐标与对称轴相同求解即可； （3）当当平行于轴时，，据此列方程求解即可； （4）根据二次方程的性质，分类讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线（为常数）经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当点为抛物线顶点，且点的横坐标为， ； 【小问3详解】 解：当平行于轴时，， 点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为， ， 解得：或， 的值为或； 【小问4详解】 解：当时，最高点为顶点，最低点为，则， 解得：或（舍去）， 当时，最高点为顶点，最低点为，则； 当时，最高点为，最低点为，则， 解得：； 当时，最高点为点，最低点为，则，解得：或（舍去）． 综上所述，当或时，图象的最大值和最小值之差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $