精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高二下学期月考(二）数学试题

重庆八中2024—2025学年度（下）高二年级月考（二） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学考试中，某校学生的成绩，且.若从该校的考生中随机抽取一名学生，则其成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个.若从中任取2个，至少有一个白球的概率是，则袋中白球个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的方法数有（ ） A. 6种 B. 20种 C. 40种 D. 120种 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 来自3个班的6名同学一起参与登山活动，其中一班有3人，二班有2人，三班1人，到达山顶之后6人排成一排合影留念，则同班同学不相邻的站法总共有（ ） A. 150种 B. 120种 C. 84种 D. 72种 8. 为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（） 参考公式及数据：，其中. 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 A. 12人 B. 13人 C. 14人 D. 15人 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A. B. 含项的系数为112 C. 展开式中共有4个有理项 D. 展开式的各项系数的和为 10. 甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，函数，则（ ） A. 当时，有且仅有1个零点 B. 当时，有两个零点 C. 当时，恒成立 D. 当时，有两个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量的分布列如下，且，则______. 0 1 2 13. 近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂.下表是某地2025年3月1日至2025年3月5日电池级碳酸锂的价格的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格 4.1 3.9 3.8 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为______. 14. 当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”： 若在的展开式中，项的系数为5，则实数______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬传统文化，传承端午民俗，我市特举办“粽情端午，舟竞风流”双队对抗赛.现有甲、乙两支队伍参加对抗赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲队获胜的概率为，假设每局比赛的结果互不影响. （1）比赛进行四局结束且乙队获胜的概率； （2）记比赛结束时甲队胜的局数为，求的分布列与期望. 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面. （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线（）与椭圆交于不同的两点，（点在点的上方），直线与直线交于点，且（是坐标原点），设直线、的斜率分别为、. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的值. 18. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 19. 已知函数，． （1）若函数在单调增，求实数a的取值范围： （2）当时，，求实数a的值； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年度（下）高二年级月考（二） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求切线的倾斜角为. 故选：D. 2. 在一次数学考试中，某校学生的成绩，且.若从该校的考生中随机抽取一名学生，则其成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】学生的成绩，且， 所以成绩在区间内的概率. 故选：B 3. 已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个.若从中任取2个，至少有一个白球的概率是，则袋中白球个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设袋中有个白球，利用古典概型概率公式得，求解即可. 【详解】设袋中有个白球，则， 因为至少有一个白球的概率是，所以全为黑球的概率是， 所以，即，所以， 所以，解得或（舍去）. 所以袋中白球个数为个. 故选：C. 4. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对立事件和独立事件的概率公式求出的值，然后利用二项分布的方差公式可求出的值. 【详解】因为随机变量，若， 解得，故. 故选：A. 5. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的方法数有（ ） A. 6种 B. 20种 C. 40种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据捆绑法，计算排列中的计数问题. 【详解】将数字2，2捆绑，现在相当于将5个单位全排列，且其中三个单位是一样的，共有种方法. 故选：B. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，借助导数研究在上的单调性，利用单调性得到，，将变形，利用函数在上单调性得到，即可得解. 【详解】因为，所以令，. 令，解得. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 因为，所以，即； 因为，所以，即. 而和，则 综上可知，. 故选：D 7. 来自3个班的6名同学一起参与登山活动，其中一班有3人，二班有2人，三班1人，到达山顶之后6人排成一排合影留念，则同班同学不相邻的站法总共有（ ） A. 150种 B. 120种 C. 84种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件按的相对位置分类，再结合插空及排列数计算求解. 【详解】不妨设一班3人为，二班2人为，三班1人为，则不能相邻，不能相邻. 以下分两类，先排的相对位置： 若之间没有，则打包可知这三人共有种相对位置，再让来进行插空， 因为不能相邻，所以他们之间必然会有且只有一个一班同学，所以总共有种； 若之间有，则这三人共有种相对位置，再让来进行插空，总共有种， 综上，总共有种. 故选：B 8. 为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（） 参考公式及数据：，其中. 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 A. 12人 B. 13人 C. 14人 D. 15人 【答案】D 【解析】 【分析】假设男生的人数为，利用独立性检验得到关于的不等式，从而得解． 【详解】由题意可设男生的人数为：，则女生的人数为， 根据题意可列出如下的列联表： 男生 女生 合计 喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食 合计 ， 因为根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关， 所以；解得：， 因为,所以的最小值为， 则的最小值为， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A. B. 含项的系数为112 C. 展开式中共有4个有理项 D. 展开式的各项系数的和为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再利用二项式定理逐项判断. 【详解】由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项， 对于A，，则，A正确； 展开式的通项， 对于B，由，得，则含项的系数，B正确； 对于C，当时，是有理项，共5项，C错误； 对于D，由，得展开式的各项系数的和为，D错误. 故选：AB 10. 甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式，全概率公式直接计算出结果逐一判断即可. 【详解】A选项，由条件概率知：，选项错误； B选项，由条件概率知：，B选项正确； C选项，，由全概率公式知：，C选项正确； D选项，由条件概率知：， 又，选项正确. 故选：BCD 11. 已知，且，函数，则（ ） A. 当时，有且仅有1个零点 B. 当时，有两个零点 C. 当时，恒成立 D. 当时，有两个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.直接判断函数的单调性，结合函数的零点，即可判断；B.将方程转化为，构造函数，利用导数判断函数的图象和性质，即可判断；C.将不等式转化为证明，即可判断；D.首先求函数的导数，将，转化为通过构造函数，判断函数的性质，结合零点存在性定理，即可判断. 【详解】A.当时，单调递减，单调递增，所以函数单调递减，且，所以有且仅有1个零点，故A正确； B.时，方程，即，两边取以为底的对数，得，即， 设，，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，且，当，恒成立， 所以当且时，方程有2个零点，当时，方程有1个零点，故B错误； C.当时，若不等式恒成立，即，两边取对数，得，即，由B选项可知此不等式正确，故C正确； D. 当时，函数，，即，两边取对数得， ，即， 设，，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ，则，，所以在有1个零点， 所以有2个变号零点，即有2个极值点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量的分布列如下，且，则______. 0 1 2 【答案】## 【解析】 【分析】利用分布列与数学期望的定义即可求解. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂.下表是某地2025年3月1日至2025年3月5日电池级碳酸锂的价格的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格 4.1 3.9 3.8 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为______. 【答案】 【解析】 【分析】计算样本中心，代入回归方程计算回归方程，再根据残差定义求解即可. 【详解】由样本数据可得，， 所以，即经验回归方程为， 样本点处的残差为. 故答案为： 14. 当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”： 若在的展开式中，项的系数为5，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目中广义杨辉三角形的信息由前四行总结归纳找出规律，确定第五行、第六行的系数，然后根据题意求得. 【详解】由题目中广义杨辉三角形的信息可知的展开式中，第行共有个数字，从左向右第一个数字是1，第2个数字为，从第3个数字开始是它“头顶”上的数字与其前、后两个数字之和，例如第4行的第3个数字是10，则10=3+1+6，故由第4行的数字为1，4，10，16，19，16，10，4，1；则第5行的数字为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；则第6行的数字为1，6，21，50，90，126，141，126，90，50，21，6，1；展开式中的指数从降幂排列， 故， ， 所以的展开式中，的系数为：，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬传统文化，传承端午民俗，我市特举办“粽情端午，舟竞风流”双队对抗赛.现有甲、乙两支队伍参加对抗赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲队获胜的概率为，假设每局比赛的结果互不影响. （1）比赛进行四局结束且乙队获胜的概率； （2）记比赛结束时甲队胜的局数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 ，【解析】 【分析】（1）由题意，乙队前三局输一局，第四局一定赢，根据相互独立事件的乘法公式即可得解； （2）先写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，乙队前三局输一局，第四局一定赢， 所求概率； 【小问2详解】 由题意，可取， ， ， ， ， 所以的分布列为 . 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面. （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，故， 又为直径，故，且平面， 所以平面，又平面， ，且，平面，， 平面，又平面，故. （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，平面，所以， 而，当且仅当时等号成立， 所以当时，取到最大值，过点作于，则是中点. 如图建立以为原点，直线为轴，直线为轴，过点垂直于平面的方向为轴的空间直角坐标系， 则，则， 所以，设平面的一个法向量为. 则， 令，可得，所以， 而，设与平面所成的角为， 则. 17. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线（）与椭圆交于不同的两点，（点在点的上方），直线与直线交于点，且（是坐标原点），设直线、的斜率分别为、. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）不妨设在的上方， 由直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角， 又因为，所以， 所以； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）（ⅰ）不妨设在的上方，易得直线的倾斜角，直线的倾斜角，从而可得，即可得证； （ⅱ）设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据的值计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设， 联立，消得， 则，解得， 故， 因为，所以， 即，即， 所以，所以， 又，所以. 【点睛】 18. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） （3）0.3 【解析】 【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【小问1详解】 解：设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， . 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. 【小问2详解】 因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【小问3详解】 净利润为，， 令， 所以. 可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 19. 已知函数，． （1）若函数在单调增，求实数a的取值范围： （2）当时，，求实数a的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知：对恒成立， 令，， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）函数在某区间单调递增，可通过其导数在该区间大于等于0恒成立来求解参数范围； （2）要根据函数在给定区间的取值情况确定参数值，需结合函数的单调性等性质进行分析； （3）证明不等式需要利用前面得到的函数性质以及一些常见的放缩技巧变形，结合裂项求和即可. 【小问1详解】 据题意：，， 则当时，，则在单调减，所以， 由于在单调增，则恒成立，即，故． 【小问2详解】 下面证明：当时，恒成立，此时， 由（1）知，当时，，符合； 当时：，， ，则在单调增，由于， ，则存在使，则，即在单调减，，即在单调增，又，，所以对恒成立，即在单调减，故．、 综上，． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，经常将第一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $