精品解析：福建省厦门外国语学校海沧校区2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

厦门外国语学校海沧校区2024-2025学年第二学期质检模拟考 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：，结合向量的坐标运算求解. 【详解】若向量，，共面，则， 可得，解得， 所以实数为. 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 3. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可. 【详解】因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以种排法, 其他4个节目有种排法， 所以不同播出方案的种数为. 故选：D. 4. 若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出，解方程求出，即可求出的渐近线方程. 【详解】由题意可得：，所以， 则，所以的渐近线方程为. 故选：B. 5. 已知数列前项和为，且满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【详解】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 6. 含甲、乙的5名同学分成两组参加志愿服务活动，则甲、乙不同组的分配方案有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】先分析分组情况，再分别计算不同分组下甲、乙不同组的方案数，最后相加得到结果. 【详解】名同学分成两组，有和分组以及和分组这两种情况.  若甲在人组，乙在人组，这是种情况； 若甲在人组，乙在人组，这又是种情况. 所以和分组时甲、乙不同组的方案数为种.  若甲在人组，乙在人组，那么从剩下人中选人与甲一组，根据组合数公式，则种情况； 若甲在人组，乙在人组，同样从剩下人中选人与乙一组，也有种情况. 所以和分组时甲、乙不同组的方案数为种.  根据分类加法计数原理，将两种分组情况的方案数相加，可得甲、乙不同组的分配方案共有种.  故选：B. 7. 已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分析在附近的符号变化，令， 分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】对函数求导得：， 因为是函数极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化， 令，则，， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近，当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意. 综上所述：的取值范围为. 故选：B 8. 在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若，，…，是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 B. 已知X是随机变量，则 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，分的奇偶讨论即可；对于BD，举反例判断即可；对于C，由残差图的特点判断即可. 【详解】对于A，如果是奇数，则中位数与平均数都是， 如果是偶数，则中位数与平均数都是，故A正确； 对于B，，即，等号可取，故B错误； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，比如，但是相关系数为的线性相关性比相关系数为0.9的线性相关性更强，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，则（ ） A. 的值为2 B. 值为 C. 的值为 D. 当时，除以11的余数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】因， 对于选项A：令，则； 对于选项B：因为的通项为， 可知含项为， 所以的值为，故B错误； 对于选项C：令，则； 令，则； 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 因为， 可知除以11的余数为， 则除以11的余数为，且除以11的余数为， 所以当时，除以11的余数为10，故D正确； 故选：ACD. 11. （多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为8 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求解即可. 【详解】由，，得； 所以， 所以，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 14. 已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据定义列出当，条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结合组合数定义确定有个，个，，时数列的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论. 【详解】（1）当时，满足要求的“规范数列”有 ；；；； ； 所以当，时，“规范数列”的个数为. （2），，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为， 当，，时，由已知数列共有项，其中项为，项为， 所以满足条件的数列的个数为， 若数列为“规范数列”，则第一项为， 若第一项为，第二项为时，“规范数列”个数为， 当第一项为，第二项为，第三项必然为，此时“规范数列”个数为， 所以. 故， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，， 故答案为：；. 15. 甲在进行某项试验时，设计了A，B两种方案.为了判断方案的选择对试验结果是否有影响，方案A运行了60次，试验成功了40次;方案B运行了70次，试验成功了60次. （1）根据题干信息，完善以下列联表，依据的独立性检验，能否认为方案的选择对试验结果有影响. 方案 结果 合计 成功 未成功 A B 合计 （2）以题干样本数据中两个方案试验成功的频率为相应试验成功的概率，若甲在每次试验中，选择方案A的概率为现已知甲在一次试验中获得了成功，请问此次试验选择方案A的概率是多少. 参考公式及数据：. 【答案】（1）列联表见解析，有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，利用列联表计算卡方，利用独立性检验可得结论； （2）在一次试验中，选择方案A记为事件A，选择方案B记为事件B，试验成功记为事件，根据全概率公式求得成功的概率，进而利用条件概率求得. 【小问1详解】 完善列联表如下， 方案 结果 合计 成功 未成功 A 40 20 60 B 60 10 70 合计 100 30 130 零假设方案的选择对试验结果没有影响， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为方案的选择对试验结果有影响，此推断犯错的概率不超过； 【小问2详解】 在一次试验中，选择方案A记为事件A，选择方案B记为事件B，试验成功记为事件， 由题意，得A与B是对立事件，且，， ，， 所以， 故甲在一次试验中获得了成功， 则此次试验选择方案A的概率是. 16. 如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直. （1）画出直线说明作法和理由； （2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件找出直线与平面内两条相交直线垂直，从而判定直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质得到直线与平面内其他直线的垂直关系. （2）先根据已知点的坐标求出相关向量的坐标，再通过向量垂直的性质求出平面的法向量，最后利用向量夹角公式求出直线与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 如图所示，连接，在上底面过点作直线即可， 因为面，所以， 根据作法知， 又因为在平面上， 所以平面， 所以. 【小问2详解】 依题两两垂直 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ∴，∴， ∴直线l的一个方向向量为， 设为平面的法向量， ，即，可取， 从而， 所以直线l与平面夹角的正弦值为. 17. 随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 . （1）现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望; （2）将样本的频率视为概率. （i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率； （ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 . 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i） ；（ii） 或 40或41 【解析】 【分析】（1）的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）（i）由条件概率公式即可求解；（ii）由二项分布概率最大可列不等式求解. 【小问1详解】 ，所以 5 个女生中喜欢神话故事和不喜欢神话故事的人数分别为 3 人和 2 人，故的取值范围是 ， ， 的分布列为 1 2 3 P 故 的期望为 ； 【小问2详解】 （i） 因为已知 ，女生有 50 人，所以喜欢神话故事的女生人数为 30 人， 又因为 ，所以喜欢神话故事的人数为 45 人，可得 . （ii） 随机变量 ， 令 ， 解得 ， 因为 ，所以 或 40或41. 18. 点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. （1）求点的轨迹方程； （2）记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②直线与圆相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，可得直线和直线的方程，分和两种情况求解即可； （2）①设，，，直线：，联立方程由韦达定理即可求解；②设直线：，直线：与抛物线方程联立结合韦达定理可得，联立中垂线和中垂线即可证明. 【小问1详解】 设，则直线：，直线：， 时，直线：，点的轨迹为， 时，， 综上，点的轨迹方程； 【小问2详解】 ①设，，， 由已知直线的斜率存在， 所以设直线：， 联立方程得， 所以，由题意得， 所以，解得，所以； ② 当时，由可得，求导可得， 当时，，所以切线的斜率为，所以直线：， 设直线：，联立抛物线方程得， ，， 可得，所以， 中垂线：， 同理，中垂线：， 联立可得，， ，即直线与圆相切. 19. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 【答案】（1）答案见详解 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得，进而利用导数求单调区间； （2）构建，可知对任意恒成立，注意到，可得，，并代入检验充分性； （3）可设，根据求导法则结合数列知识可得，，分析可知对任意恒成立，结合二次函数运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，则， 若函数在处的切线与直线垂直， 则，解得，所以， 令，则，解得或； 令，则，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 构建，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 则，解得， 若，则， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即对任意恒成立， 且对任意恒成立， 可知对任意恒成立，所以符合题意； 综上所述：. 【小问3详解】 由（1）可知：， 根据求导法则可设，其中， 则， 则 可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，则， 对于，则， 当时， ， 且符合上式，所以， 则， 若对任意恒成立， 则对任意恒成立， 且的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则，解得， 所以满足条件的正整数的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校海沧校区2024-2025学年第二学期质检模拟考 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数为（ ） A 1 B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 3. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ） A 24 B. 36 C. 72 D. 144 4. 若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 含甲、乙的5名同学分成两组参加志愿服务活动，则甲、乙不同组的分配方案有（ ） A 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 7. 已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若，，…，是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 B. 已知X是随机变量，则 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 10. 已知，则（ ） A. 的值为2 B. 的值为 C. 值为 D. 当时，除以11的余数为10 11. （多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为8 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 13. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 14. 已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________. 15. 甲在进行某项试验时，设计了A，B两种方案.为了判断方案的选择对试验结果是否有影响，方案A运行了60次，试验成功了40次;方案B运行了70次，试验成功了60次. （1）根据题干信息，完善以下列联表，依据的独立性检验，能否认为方案的选择对试验结果有影响. 方案 结果 合计 成功 未成功 A B 合计 （2）以题干样本数据中两个方案试验成功的频率为相应试验成功的概率，若甲在每次试验中，选择方案A的概率为现已知甲在一次试验中获得了成功，请问此次试验选择方案A的概率是多少. 参考公式及数据：. 16. 如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直. （1）画出直线说明作法和理由； （2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 17. 随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 . （1）现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望; （2）将样本的频率视为概率. （i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率； （ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 . 18. 点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. （1）求点的轨迹方程； （2）记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 19. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $