广东省深圳市多校联考2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

绝密 启用前 试卷类型:A 2025-2026学年第一学期开学质量检测 高三 数学 2025.9 注意事项: 1.全卷共4页,19小题,考试时间120分钟,满分150分。 2.答题前,请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的 位置上,并把条形码粘贴好。 3.作答单项选择题时,选出每题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息 点框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。作答非选择题时,用黑色 字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内,写在本试卷或草稿纸上,其答案 一律无效。 4.考试结束后,请将答题卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.设集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x(x-2)≤0},则A∩B= A.} B.{L,2 C.{0,1,2} D.{-2,-1,0,1,2} 2.设向量4=(x,2),b=(-3,6),若a/川b,则x= A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.设复数z满足(1-i)z=2,则z= A.√2 B.√5 C.2 D.5 4.已知函数f(x)=tanx,则“x。=k ,k∈Z”是“f(x)的图象关于点(x,0)对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若双曲线C苦-y产-a>0的蒲近线方程是y=士5,则C的离心率为 A. B.3 c.5 D.5 2 2 6.已知定义在R上的偶函数f(x)的最小正周期为2,当x∈(L,2)时,f(x)=2,则 4 f(log)= A.2 B.3 C.4 D.6 高三数学试卷第1页共4页 7.若函数f(x)=alnx+(x-a)存在极大值点,则实数a的取值范围是 A.0 B.(-o0,0) C.(2,+o) D.(-0,0)U(2,+o) 8。已知随机变最X,y均服从两点分布,且X=)=克PY=)=号若P心灯=0-} 则P(Y=1X=0)= B.5 8 15 D. 15 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知直线1:3x+y-6=0与圆C:x2+(y-1)2=5相交于A,B两点,则 A.I是圆C的一条对称轴 B.圆C的半径为√5 C.圆心C到1的距离为30 D, ABC的面积为号 10 10.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,P,2分别是棱AD,BC上的动点(含端 点),则 A.AB,⊥平面PBC B.不存在P,Q,使得∠PAQ-号 C.三棱锥C,-PQB,的体积为定值 D.当A,P=CQ时,DQ/∥平面APB 1l.已知函数f(x)=sin2mx+cos2mx(n≥2,且neN),则 A.x+爱=f四 B.曲线y=()关于直线x=工对称 C.()在区间(0,孕上单调递增 D.fn(x)的值域为[2m,1] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,若41=2,4,a2,a4成等比数列,则ag= 高三数学试卷第2页共4页 13.已知抛物线 :x2=2y(p>0)的焦点为F,直线1与T交于P,2两点,其中2在第一 象限,若2PF=FQ,则直线1的斜率为 14.在 ABC中,D为AC的中点,且BD=2,若AB=AC,则当BC.CD取得最大值时, cosA=_ 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an=n+n+2(n∈N),设bn=an+1. (1)证明:数列{b}是等比数列; (2)求数列{nbn}的前n项和Tn. 16.(15分) 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤,为探究某药物在人体中的代 谢情况,研究人员统计了血液中药物浓度y(gL)与代谢时间x(h)的相关数据,如下表所示: 2 55 20 若采用一元线性回归模型,根据最小二乘法,可求得经验回归方程少=一12x+ ①:若采 用一元非线性回归模型,可求得经验回归方程夕=ex+6②. (1)求a; (2)①与②哪个更适合作为y关于x的经验回归方程?请比较其决定系数的大小,并 说明理由, 附:(i)参考数据: =3471:在经验回归方程②中,立,-≈22: 2y- (i)对于一组数据(4,),(2,2),…,(4n,),决定系数R2=1- 高三数学试卷第3页共4页 17.(15分) 如图,在六面体PABCDE中,四边形ABCD是正方形,平面PAD∥平面BCE,CE⊥ 平面ABCD,CD=PD=2CE. (1)证明:PB⊥AC: (2)求平面PBD和平面PAB夹角的正弦值. 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中,动点M,N分别在x轴和y轴上,满足|MN=3,点T满 足O7=2OM+ON,T的轨迹记为C. (1)求C的方程; (2)已知点D(2,0),过点(,0)且斜率不为0的直线1与C交于A,B两点. (i)证明:DA⊥DB; (i)求 ABD面积的最大值. 19.(17分) 已知函数f(x)=e-lnx. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(I)处的切线方程; (2)设函数g)=1+l血x-nx+1. 86): ①设为8的极值点,证明:9、 (ii)证明:对任意正实数a,b,都有f(a-g(b)≥0. 高三数学试卷第4页共4页绝密★启用前 试卷类型：A 深圳市高三开学考试 数学参考答案及评分参考 2025.9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A B D 则P(Y=1X=0)= 83 7 C.15 8 D5 解析：，随机变量X,Y均服从两点分布， PK=o)1-P(X=-P(X=17=刂=P心w=0=1-Pw=0-号 又：P(T=)=P(X=0,r=)+P(x=1,r=1)=P(x=0,y=1)+2-2. 53 4 (=0,I=由条件概率公式PT=1x=-0)=P(X=0,X=.58 4 P(X=0)115 故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 11.己知函数f(x)=sin2mx+cos2mx(n≥2，且n∈N),则 Afx+-.田 B.曲线y=方()关于直线x=匹对称 C.(四在区间(0，乃上单调递增 D.fn(x)的值域为[2m+1,1] 解析：(1)考查选项A:根据诱导公式，选项C显然正确： (2)考查选项B::f2(w)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sinm2xcos2x =1-sin22x=1-×1-cs4_3+cos4,万()的对称轴为-，keZ,枚选项B 22 4 4 答案第1页，共9页 正确： (3)考查选项C:'f,(w)sin6x+cos6x=sin6x(1-sim2x)=3sin4x-3sinm2x+1, 8(④=312-31+1，其对称轴为t= 2 :y=g@)在(0,2 内单调递减，且t=sin2x在0， 内单调递增， 方(x)在 0, 上单调递减，故选项C错误： 4 (4)考查选项D:令m=sin2x∈[0,1]，则cos2x=1-me[0,1],h(m)=m+(1-m)”, .)=m--na1-m)-nm1-(1-m). 令h(m)=0,可得=(1-m,即m=1-m,∴.m= 2 mE0时.s0,ko网单河滋减：m行时，A侧>0，h叫单调造培， .a.hoo.100h0-)-1. 故选项D正确： 综上所述，应选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.16: 13.② 4 14.在△ABC中，D为AC的中点，且BD=2,若AB=AC,则当BC.CD取得最大值时， cosA=- 解析：设BC=m,CD=n,则AB=2n, 由cOS∠ADB+COS∠CDB=O,再分别对△BCD和△ABD用余弦定理， 得2+2,2m+心+2-m=0,化简得m2+2m2=8, 2.2n 2.2n 根据基本不等式，有m2+2n2=8≥2W√2wm,当且仅当m=√2n=2时等号成立， 所以当BC-CD取得最大值时，cosA=2m02+(2m2-m_2V22+(22)?-2_3 2.2n.2n 2.2W2.2W2 4 答案第2页，共9页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知数列{a,}的前n项和为Sn,且2an=Sn+n+2(n∈N),设b=a+1. (1)证明：数列b}是等比数列： (2)求数列{bn}的前n项和T. 解：(1)由数列{a}的前n项和为Sn,且2a.=Sn+n+2(neN), 当n=1时，可得2a=4+3,解得4=3： …】分 当n≥2时，可得an=Sn-Sn-1=(2a.-n-2)-[2m-1-1-1)2]=2n-2n-1-1, 整理得an=2a-1+1, …3分 即an+1=2(an-1+1), b,=2(n22), ba-i …4分 ∴.数列bn}是首项b=4+1=4,公比为2的等比数列. ……5分 （2)由(1)知b。=4×2”-1=2+1, …6分 从而T=122+2·23+3.24+.+(n-1)2”+21, 则2T=12+2·24+32++(02-1)2++n.2+2 …8分 两式相减，可得-T,=1.22+(23+24++2+)-.2+2 ……10分 =4+20-2）-nz2=4+0-0-z, 1-2 .T=4+(0n-1)-2+2. …13分 16.(15分) 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤，为探究某药物在人体中的代 谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y(gL)与代谢时间x(h)的相关数据，如下表所示： 若采用一元线性回归模型，根据最小二乘法，可求得经验回归方程为少=-12x+à①； 答案第3页，共9页 若采用一元非线性回归模型，可求得经验回归方程夕=ex+6②. (1)求a: (2)①与②哪个更适合作为y关于x的经验回归方程？请比较其决定系数的大小，并 说明理由； 附：(i)参考数据： =3471；在经验回归方程②中，∑y-)2≈222： Σ心-) (i)对于一组数据，)，)，…，，y,),决定系数R2=1- 解：(1)由题意，x=4, …1分 )=17, …3分 à=+12x=65. …5分 (2)在方程①中， ∑0y-)=466, …9分 j= 在方程②中， 0-)2<466, …10分 L=】 ∑y-)2 ,决定系数R2=1- I=1 …12分 ∑2-5 ①的决定系数小于②的决定系数， …14分 ∴.②更适合作为y关于x的经验回归方程。 …15分 17.（15分) 如图，在六面体PABCDE中，底面ABCD是正方形，平面PADII平面BCE,CE⊥ P 平面ABCD,CD=PD=2CE (1)求证：PB⊥AC; (2)求平面PBD和平面PAB所成角的正弦值. D 解：(1)证明：连接BD, .在正方形ABCD中，AC⊥BD, …】分 ,平面PAD∥平面BCE,平面PDCE∩平面PAD=PD,平面PDCE∩平面BCE=CE, 答案第4页，共9页 .PD∥CE, …3分 ,CE⊥平面ABCD,∴.PD⊥平面ABCD, …4分 ,ACC平面ABCD,∴.PD⊥AC, …5分 ,'PD,BDC平面PBD,PD∩BD=D, AC⊥平面PBD, …6分 ,PBC平面PBD,∴.PB⊥AC. …7分 P D B (2)方法1：由(1)可知PD⊥平面ABCD, ,AD,CDC平面ABCD,PD⊥AD,PD⊥CD, 在正方形ABCD中，有AD⊥CD, .以D为原点，以DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，二轴建立空间直角坐标系， …9分 设CE=1,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2), .AC=(-2,2,0),PB=(2,2,-2),AB=(0,2,0),…10分 由（1)可知AC⊥平面PBD,∴.AC是平面PBD的一个法向量，…11分 n.PB=2x+2y-2==0, 设n=(x,y,)是平面PAB的一个法向量，则 n-AB=2y=0, 取==1，则n=(1,0,1), …13分 设平面PBD和平面PAB所成角为O, 21 则cos6cos<ACnN2XE=2 …14分 ·sim0=-cos'6=5 即平面PBD和平面PAB所成角的正弦值为5 2 …15分 答案第5页，共9页 E D人 4 方法2： 设AC与BD的交点为O,过点A作AQ⊥PB,交PB于点Q,连接OQ,设CE=1, …8分 由(1)可知AC⊥BD,PB⊥AC,AC⊥平面PBD, :AC,AQC平面AO9,AC∩AQ=A,∴.PB⊥平面AOQ, …9分 ,O2C平面AO2,.PB⊥O2, …10分 又，OQC平面PBD,AQC平面PAB,平面PBD∩平面PAB=PB,O2∩AQ=Q, ∴.∠AQO是平面PBD与平面PAB的夹角， …11分 在正方形ABCD中，BD=2N2,AO=√2 由(1)可知PD⊥平面ABCD, ,AD,BDC平面ABCD,PD⊥AD,PD⊥BD, .在Rt△PAD中，PA=VPD2+AD2=2W2, …12分 在Rt△PBD中，PB=VPD2+BD2=2√3， …13分 在△PAB中，.PB2=PA+AB2,.PA⊥AB, ∴8a=号PA1B=P8-Ae,A40-26 …14分 3 ,AC⊥平面PBD,OQC平面PBD,∴.AC⊥O2, 六在Rt△AOe中，sn∠AO0=A0-V3 A0 2 平面PBD与平面PAB的夹角的正弦值为V …15分 2 答案第6页，共9页 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，动点M,N分别在x轴和y轴上，满足|MN|=3,点T满 足oT-号O+号o示，T的执迹记为c. (1)求C的方程； (2)已知点D2,0),过点0)且斜率不为0的直线1与C交于A,B两点， (i)证明：DA⊥DB; (ii)求△ABD面积的最大值. 解：(1)设M(m,0),N(0,n),则m2+n2=9.…1分 OT-2M+N, 21 …2分 +1,C的方程为+y白 …4分 .6 (2)D设直线1：x=mg+写，A,W,B,) x=y+ 6 联立 5,得om+4y+2mw-64-0, 一y 5 25 …6分 4+y2 -12m -64 由韦达定理，得y+为50m+利’片为250m+④ ……7分 则直线DA与DB的斜率之积为 y.y2= 2 yy 二 4、 4 -2-20y09,2my2-4m6y+y2)+ 16 5 64 25 =-1 64 5+250m+49 DA⊥DB.… ……………10分 m直，得4号14 0m2+40=160m2+64)>0,…1分 251 25 答案第7页，共9页 且y为F+2-4- /m2+64 25 m2+4 …13分 则△ABD的面积为g= 2-91- 8/m2+6网 25,…14分 5(m2+4) 8 8 52+36 36、 251 5t+ 25t 由于函数p0)=t+36 8、5 25t 在+o0）上单调递增，则p0n=9(=,…16分 则Sn 816 5-25 5￥2 ·△4BD面积的最大值16 .…17分 5 19.(17分) 己知函数f()=e-nx, (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程： (2)设函数)=1+血x-mx+1. (D设为g的极值点，证明：0<g)<: 40 (i)证明：对任意正实数a,b,都有f(a-g(b)≥0. 解：（1)fy=e0=e-L,f0=0,…2分 ∴曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-f(I)=f'(I)(x-1),…3分 即(e-1)x-y+1=0.…4分 aw-世 设h(x)=-nx-x,显然h(x)单调递减， 答案第8页，共9页 :3=n2->0, 2 易证mxsr-1,则点=-n=m88-1--<0. 81 8858-5840 日存在6∈（号令，使得(）=0，即-n-=0,………6分 当x∈(0，x)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈(x,+w)时，g(x)<0,g()单调递减， .七为(0的极大值点，g（)+n。n花+1=+，8分 xo xo 西童)--在区同 3单调递减，“g,)=1+,∈ 895 . 408)<2 …l0分 (i)f()=e-1，易知f)单调递增， x 令f5)=0,即e-1=0,即5+n5=0, …11分 易知f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(x,+∞)上单调递增， f(x的最小值为f(化)，…I2分 由(i)可知，g()的最大值为g(x),且nx。+x。=0, 由于函数y=x+nx为增函数，.=，…14分 任意正实数a，,b,都有f(a)-g(b)≥f(x)-g(xo)=f(x)-g(x) =e-h,-1+n+n,-1=e+ln-西-e-1-n5--0, Xo o .任意正实数a,b,都有f(a-g(b)≥0.… …17分 答案第9页，共9页