第一章 特殊平行四边形 重难点检测卷 -2025-2026学年北师大版数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第一章 特殊平行四边形 重难点检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 5 分钟收取答题卡 一、选择题(共10题；共30分) 1． 在菱形ABCD中，若，，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 2． 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 3． 如图，在正方形内有一点 ，且 ，连接，，，要求的面积，只需要知道下列哪条线段的长（　　） A． B． C． D． 4． 如图，在正方形 ABCD 内有一点 E，且 AD=DE，连结 AE， BE， CE，要求 的面积，只需要知道下列哪条线段的长（　　） A．AE B．BE C．CE D．DE 5．如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形ABCD中，E为边AD上一点（不为端点），交AC于点F，要求的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 8．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（　　） A．12 B．8 C．6 D．10 10．如图，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 二、填空题(共8题；共24分) 11． 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为　 　． 12． 如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则　 　 13．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若BE=2cm，则EF=　 　cm. 14． 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　. 15． 如图，在矩形中，对角线，交于点，的平分线交于点，连结．已知，，则　 　． 16．如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为　 　． 17． 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　． 18． 如图，由两个全等菱形（菱形ABCD与菱形EFGH）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点A，C在EG上，点F，H在BD上，若，则BD的长为　 　. 三、解答题(共6题；共46分) 19．如图，平行四边形ABCD中，，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E． （1）求证：四边形BDEC是菱形； （2）连接BE，若，，求BE的长． 20． 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的面积． 21．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 22．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 23．如图，在▱ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BE⊥AC 于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF. （1）求证：▱ABCD 是矩形. （2）若OD=13，CF=12，求 BF的长. 24．如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG. （1）求证：矩形 DEFG 是正方形. （2）若 求 CG 的长. （3）当 时，求∠EFC的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第一章 特殊平行四边形 重难点检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 5 分钟收取答题卡 一、选择题(共10题；共30分) 1． 在菱形ABCD中，若，，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相平分，已知， ， 所以. 故答案为： D. 【分析】利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，得到直角三角形，再根据勾股定理求出边长. 2． 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【解析】【解答】解：如图 ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OB=OD，AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴， ∴BD=2OB=8， ∴菱形ABCD的面积， 故答案为：C. 【分析】由菱形的性质得OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，由勾股定理求出OB=4，则BD=8，由菱形面积公式即可得出答案. 3． 如图，在正方形内有一点 ，且 ，连接，，，要求的面积，只需要知道下列哪条线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD于点D， ∴∠AME=∠ANE=∠DNE=90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=90°，AD=AB， ∴∠AME=∠ANE=∠BAC=90°，AD=DE=AB， ∴四边形AMEN是矩形， ∴ME=AN， 设ME=AN=a，ND=b， ∴AD=DE=AB=a+b， 由勾股定理得：NE2=AE2-AN2=AE2-a2，NE2=DE2-ND2=(a+b)2-b2=a2+2ab， ∴AE2-a2=a2+2ab， ∴AE2=2a2+2ab， 即， 由△ABE的面积为， ∴要求△ABE的面积，只需要知道线段AB的长. 故答案为：A. 【分析】过E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD于点D，由正方形性质可得∠BAC=90°，AD=AB，然后证明四边形AMEN是矩形，则ME=AN，设ME=AN=a，ND=b，故有AD=DE=AB=a+b，由勾股定理得：NE2=AE2-AN2=AE2-a2，NE2=DE2-ND2=(a+b)2-b2=a2+2ab，所以AE2-a2=a2+2ab，然后通过由△ABE的面积为即可求解. 4． 如图，在正方形 ABCD 内有一点 E，且 AD=DE，连结 AE， BE， CE，要求 的面积，只需要知道下列哪条线段的长（　　） A．AE B．BE C．CE D．DE 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD于点D， ∴∠AME=∠ANE=∠DNE=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=90°，AD=AB， ∴∠AME=∠ANE=∠BAC=90°，AD=DE=AB， ∴四边形AMEN是矩形， ∴ME=AN， 设ME=AN=a，ND=b， ∴AD=DE=AB=a+b， 由勾股定理得：NE2=AE2-AN2=AE2-a2，NE2=DE2-ND2=(a+b)2- b2=a2+2ab， ∴AE2-a2=a2+2ab， ∴AE2=2a2+2ab，即， 由△ABE的面积为， ∴要求△ABE的面积，只需要知道线段AB的长. 故答案为：A. 【分析】过E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD于点D，由正方形性质可得∠BAC=90°，AD=AB，然后证明四边形AMEN是矩形，则ME=AN，设ME=AN=a，ND=b，故有AD=DE=AB=a+b，由勾股定理得：NE2=AE2-AN2=AE2-a2，NE2=DE2-ND2=(a+b)2-b2=a2+2ab，所以AE2-a2=a2+2ab，然后通过由△ABE的面积为即可求解. 5．如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵在菱形中，， ∴，，O为的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】由菱形的每一条对角线平分一组对角求得，由菱形的对角线互相垂直得，由菱形的对角线互相平分得点O是BD的中点，根据三角形中位线平行于第三边得到，由二直线平行，同位角相等求得，最后根据∠AOE=∠AOD+∠DOE列式计算即可. 6．如图，矩形ABCD中，E为边AD上一点（不为端点），交AC于点F，要求的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连结DF，过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N， 四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD// BC， ∴∠DAC=∠ACB， 在△ADN和△CBM中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故选：C. 【分析】连接DF、过B作 于点M，过D作I 于N， 证明 得 ，由三角形的面积公式可得 和 的面积都等于 的面积，便可得出答案. 7．如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，，， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据菱形对角线互相平分得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 8．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【分析】根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 9．如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（　　） A．12 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【解析】【解答】解：作于点，交于点，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC， ∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EPNB，四边形PNCF都是矩形， ∵BE=2， ∴PN=CF=BE=2， ∵FP=6， ∴S△PFC===6， ∵四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EPNB，四边形PNCF都是矩形， ∴S△AEP=S△APM，S△PEB=S△BN，S△PDM=S△PFD，S△PCN=S△PFC，S△ABD=S△CBD， ∴S矩形AEPM=S矩形PNCF， ∴S△AEP=S△CFP，即S1=S2=6， ∴， 故答案为：A． 【分析】作于点，交于点，求出△PFC的面积，证明△APE得面积＝△PFC的面积即可. 10．如图，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点A作于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， 在矩形中， ，， ， 故， 故选：B． 【分析】连接，过点A作于G，根据勾股定理求出长，然后根据三角形的面积得到长，再利用的面积得到解题． 二、填空题(共8题；共24分) 11． 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，，， AC=BD， ∴OD=OA， ∴∠ADO=∠DAO=29°， ∴∠DOE=58°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEO=90°， ∴∠BDE=∠DEO-∠DOE=90°-58°=32° 故答案为：32°. 【分析】根据菱形的性质证明∠ADO=∠DAO=29°，进而可以解决问题. 12． 如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则　 　 【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=140°， ∴∠ABC=40°，∠CBD=20°， ∵AE⊥BC， ∴∠BFE=70°， ∴∠BFA=110° 故答案为：110°. 【分析】根据菱形性质求∠ABC和∠CBD的度数，再结合余角性质求出所求角度. 13．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若BE=2cm，则EF=　 　cm. 【答案】 【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，则A0=CO，BO=OD， 由菱形性质可知AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，AC⊥BD ∵∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30°， ∵， ∴， ∴BO=3cm， ∴， ∴， ∵BE⊥AB，DF⊥CD. ∴∠CDF=∠ABE=90°； ∴△CDF≌△ABE(ASA) ∴AE=CF， ∵∠BAE=30° ∴， ∴(cm) 故答案为：. 【分析】根据菱形的性质证明△ABD是等边三角形，△CDF≌△ABE(ASA)，得AE=CF，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题. 14． 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I， ∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG ∴BF=AE=2 ∴EF=BF-BE=1 ∴E为BF的中点 又∵EI||CF ∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线 ∴EI=CF= ∵AP||QI ∴，设QI=a，则AP=4a 在△BEQ和△DGP中 ∴△BEQ≌△DGP ∴PD=BQ 设BQ=b，则PD=b ∵I为BC的中点 ∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ= 故答案为： . 【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长. 15． 如图，在矩形中，对角线，交于点，的平分线交于点，连结．已知，，则　 　． 【答案】6 【解析】【解答】如图所示，过点E作交AB于点F，连接OF，再过点O作于点G. 平分 四边形ABCD是矩形 ，即 四边形ABCD是矩形 是的中位线 设，则 整理得：，即 则在中， 即 解得 【分析】由于可过点E作OE的垂线交AB于点F，因为AE平分，则可证明，由全等的性质可得，此时可过点O作BC的垂线段OG，则可由一线三垂直全等模型证明，由全等的性质可得，等量代换可证明OC=EC，又利用矩形的性质可得OG是的中位线，此时为方便计算可分别，则AB、BC、AC均可表示，可在直角三角形ABC中应用勾股定理求出x与y的数量关系，再在直角三角形BEF中应用勾股定理即可求出y，则x可求，即AB可求. 16．如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， 在与中， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ∵菱形的周长为， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ， 的最小值为， 故答案为：． 【分析】先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，当点、、共线，的最小值为的长，再根据菱形的周长求出AB，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出的长即可． 17． 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G， 由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴，∠BEF=90°， ∴∠EBF=∠BFE=45°. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB//CD，AD//BC， ∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°， ∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形， ∴， 设CG=x，则BC=2x， 在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2， 即， 解得x=1， ∴CG=1， ∴. 故答案为：. 【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解. 18． 如图，由两个全等菱形（菱形ABCD与菱形EFGH）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点A，C在EG上，点F，H在BD上，若，则BD的长为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：设BC交EH于点L，连结CH， ∵菱形ABCD与菱形EFGH全等，且重叠部分是正八边形， ∴AB=FE，∠ABC=∠FEH，CB=HE， 在△ABC和△FEH中， ∴△ABC≌△FEH(SAS) ∴AC=FH， ∵AC⊥BD，，， ∴∠EOH=90°，OC=OH， ∴CL=HL，EH=GH，， ∴ ∴CH=CE=1， ∵， ∴ ∴， 在Rt△BOC和Rt△EOH中， ∴Rt△BOC≌Rt△EOH(HL)， ∴ ∵OD=OB， ∴ 故答案为：. 【分析】设BC交EH于点L，连结CH，因为菱形ABCD与菱形EFGH全等，且重叠部分是正八边形，所以AB=FE，∠ABC=∠FEH，CB=HE，可证明△ABC≌△FEH得，AC=FH，推导出∠EOH=90°，OC=OH，由CL=HL， EH=GH，∠CLH=∠EHG=135°，求得∠CHE=∠LCH=∠CEH=∠HGE=22.5°，则CH=CE=1，由，求得，则，再根据“HL”证明Rt△BOC≌Rt△EOH，进而即可得出结论. 三、解答题(共6题；共46分) 19．如图，平行四边形ABCD中，，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E． （1）求证：四边形BDEC是菱形； （2）连接BE，若，，求BE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形BDEC是平行四边形， 又∵ ∴四边形BDEC是菱形； （2）解：如图，BE交CD于O， ∵四边形BDEC是菱形， BE， 在 中， 【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD∥BC， AD = BC 由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，即可得结论； (2)连接BE交CD于O，由菱形的性质可得 由勾股定理可求BO的长，即可求解. 20． 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的面积． 【答案】（1）证明： ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC=90°， ∴四边形OCED为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=BC， ∵BD=BC=6， ∴△BDC是等边三角形， ∴∠CDB=60°， ∴∠DCO = 30°， ∴△ACE的面积 【解析】【分析】(1)证根据平行四边形的性质得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理得到四边形OCED为矩形； (2)根据菱形的性质得到CD=BC，根据等边三角形的性质得到∠CDB=60°， 求得∠DCO=30°，根据勾股定理得到 求得. 根据三角形的面积公式即可得到△ACE的面积 21．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、G分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离线段的点在线段的垂直平分线上可得BD=CD，根据三角形的中位线等于第三边的一半可推得AE=DE=DG=AG，根据四条边线段的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的对边平行可得AB∥DG，根据题意可得∠BEC=∠CFD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推得BD=DE=BE，根据三条边线段的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°可得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余即可求解. 22．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中， 在中， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，． 【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质及垂直可得，再证出四边形是矩形即可； （2）先利用线段的和差求出BE的长，再利用勾股定理求出AE和AC的长，再利用菱形的性质可得，最后求出即可． （1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中， 在中， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，． 23．如图，在▱ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BE⊥AC 于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF. （1）求证：▱ABCD 是矩形. （2）若OD=13，CF=12，求 BF的长. 【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°， ∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF， ∴△BOE≌△COF（AAS）， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AO＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵OD＝13， ∴OB＝OC＝OD＝13， ∵CF＝12， 在Rt△OFC中 ∴OF5， ∴BF＝OB+OF＝18． 【解析】【分析】（1）根据BE⊥AC，CF⊥BD 可得到∠BEO＝∠CFO，然后根据“AAS”可得△BOE≌△COF从而得到OB＝OC，再根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，可求得AC＝BD，即可解答； （2）先由OD的长可求得OC的长，然后在Rt△OFC中根据勾股定理可求OF的长，从而可求出BF的产即可解答． 24．如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG. （1）求证：矩形 DEFG 是正方形. （2）若 求 CG 的长. （3）当 时，求∠EFC的度数. 【答案】（1）证明：如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N， 则∠EMC=∠ENC=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， ∴四边形ENCM是矩形； ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB=∠ACD=45°， 又∵∠EMC=∠ENC=90°， ∴EN=EM， ∴四边形CMEN是正方形， ∴∠MEN=90°， 即∠MEF+∠FEN=90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF=90°， 即∠MEF+∠DEM=90°， ∴∠FEN=∠DEM， 在△FEN和△DEM中， ， ∴△FEN≌△DEM（ASA）， ∴EF=ED， ∴矩形DEFG是正方形. （2）解：如图：过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N， ∵矩形DEFG是正方形，四边形CMEN是正方形， ∴DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM， 在Rt△ENC中，CE2=CN2+EN2=2EN2， 即， 解得：， ∵△FEN≌△DEM， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， 在Rt△DEM中，， ∴DE=2； ∴FG=DE=2. （3）解：∵∠ADE=40°，∠ADC=90°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-40°=50°； ∵△FEN≌△DEM， ∴∠EDC=∠EFC=50°. 【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四个角是直角可得∠BCD=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ENCM是矩形，根据正方形的对角线平分对角可得∠ACB=∠ACD=45°，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得EN=EM，根据邻边相等的矩形是正方形，正方形和矩形的四个角是直角可推得∠FEN=∠DEM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得EF=ED，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明； （2）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四条边都相等可得DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得EN的值，得到EM和MV的值，求出DM的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出DE的值，即可求解； （3）根据题意可求得∠EDC=50°，根据全等三角形的对应角相等即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $