第一章 直线与圆测试（单元测试·提升卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 直线与圆·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 4．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 6．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 10．已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 11．已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，已知两点，，圆，点是圆上任意一点，若为定值，则的值为 ． 14．函数的最大值为 ，最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 16． （15分） 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 17． （15分） 在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 18． （17分） 已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 19．（17分） 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 直线与圆·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C B B A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABC AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0 14． 0 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为．（6分） （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得．（13分） 16． （15分） 【答案】(1)，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2). 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.（7分） （2）解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为.（15分） 17． （15分） 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为．（3分） （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即．（9分） 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为．（9分） （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为．（15分） 18． （17分） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）由，代入坐标并化简可得结果； （2）由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； （3）由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）由，化简整理得． 所以曲线的方程为．（3分） （2）因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以．（9分） （3）当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7．(17分） 19． （17分） 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）根据题中新定义可求得结果； （2）设出点的坐标，结合曼哈顿距离得到的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据定义得到等式，转换为恒成立问题，即可求得结果. 【详解】（1）由题可得， ， ；（3分） （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形，    其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为；（10分） （3）易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和.（17分） 【点睛】本题考查了距离的新定义问题，解题关键有： （1）注意新定义的概念以及求解方法； （2）结合向量夹角的余弦值求余弦距离以及考虑最值问题； （3）本题还涉及到动点问题，结合分段函数以及不等式问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 直线与圆·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 4．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 6．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 10．已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 11．已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，已知两点，，圆，点是圆上任意一点，若为定值，则的值为 ． 14．函数的最大值为 ，最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 16． （15分） 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 17． （15分） 在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 18． （17分） 已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 19．（17分） 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 直线与圆·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 3．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 4．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 5．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示：    曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B. 6．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 7．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图：   ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设反射前光线所在直线方程为，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离， 所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为， 即．由，解得或－1， 故的方程为或． 故选：AC. 10．已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】ABC 【分析】由于，且为定点，根据隐圆第三定义知点在以为直径的圆上．由此方法一，可建立坐标系，结合圆与圆的位置关系求解；方法二，可利用向量的数量积求解；方法三，设原点为，判断原点为斜边的中点，结合圆的几何性质即可求解. 【详解】方法一：设原点为，则以为直径的圆的方程为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 当时，点既在圆上又在圆上，所以两圆要有公共点， 所以，即， 即，解得，又，所以， 所以的取值可以为12，13，14． 方法二： 圆的圆心为，半径为． 设点，则，， 已知，则，即，所以， 其几何意义是圆上的点到原点的距离．而， 则，所以的取值可以为12，13，14． 方法三：设原点为，因为，且原点为斜边的中点， 连接，则， 当点在上移动时， ，即， 三点共线时取等号, 所以的取值可以为12，13，14． 故选：ABC 11．已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 【答案】AD 【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得的取值范围，即可判断AB；当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C；当直线平分圆的周长时, 直线过点，设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D. 【详解】如图示：、，    根据直角三角形的等面积方法可得，， 因为，，即， 故，故A正确，B错误； 当直线与圆相切时，由题意可知的斜率存在， 故设的方程为，则有 ，即， 即或， 设原点到直线的距离为，则， 当时， ；当时，，故C错误； 当直线平分圆的周长时，即直线过点, 则直线斜率存在，设直线方程为，即 ， 则 ，即，则， 故原点到直线的距离为,则 ，故D正确. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可. 【详解】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，已知两点，，圆，点是圆上任意一点，若为定值，则的值为 ． 【答案】0 【分析】解法1：设，化简与圆的一般方程比较系数可得答案；解法2：由阿氏圆的性质可知，圆心就在定点，所确定的直线上可得答案． 【详解】解法1：设，，则，整理得 ， 又是圆上的任意一点，故， 圆的一般方程为， 所以，解得， 因此； 解法2：为定值，是圆上任意一点， 由阿氏圆的性质可知，圆心就在定点，所确定的直线上， 因为直线所在的直线方程为， 所以． 故答案为：0. 14．函数的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / 0 【分析】方法一，利用辅助角公式：（为辅助角）；方法二，利用几何意义求解. 【详解】 方法一：可化为，即， 即，解得． 方法二：的几何意义是过和两点的直线的斜率，而在单位圆上， 因此表示过点与圆上一点的直线的斜率，如图所示，要求的最值在直线和圆相切时取得． 显然直线的斜率存在，令直线方程为，即， 则原点到直线的距离为，即，解得或， 故函数的最大值为，最小值为0． 故答案为：①；②0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为．（6分） （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得．（13分） 16． （15分） 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1)，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2). 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.（7分） （2）解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为.（15分） 17． （15分） 在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为．（3分） （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即．（9分） 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为．（9分） （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为．（15分） 18． （17分） 已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）由，代入坐标并化简可得结果； （2）由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； （3）由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）由，化简整理得． 所以曲线的方程为．（3分） （2）因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以．（9分） （3）当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7．(17分） 19． （17分） 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）根据题中新定义可求得结果； （2）设出点的坐标，结合曼哈顿距离得到的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据定义得到等式，转换为恒成立问题，即可求得结果. 【详解】（1）由题可得， ， ；（3分） （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形，    其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为；（10分） （3）易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和.（17分） 【点睛】本题考查了距离的新定义问题，解题关键有： （1）注意新定义的概念以及求解方法； （2）结合向量夹角的余弦值求余弦距离以及考虑最值问题； （3）本题还涉及到动点问题，结合分段函数以及不等式问题. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $