第二章 圆锥曲线（单元测试·提升卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（    ） A．点必在椭圆上 B．点必在椭圆上 C．点必在椭圆上 D．点必在椭圆上 3．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 4．过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 5．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 8．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点坐标是 . 13．已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 14．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 16． （15分） 过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 17． （15分） 已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 18． （17分） 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． (1)求抛物线的方程； (2)若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； (3)设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 19．（17分） 已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B B A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以.（6分） （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. （13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）联立直线和双曲线方程利用弦长公式计算可得； （2）利用点到直线距离公式以及三角形面积公式计算即可； （3）由双曲线定义证明即可得出结论. 【详解】（1）易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示： 设，， 由得， 所以，， 可得.（5分） （2）原点到直线l：的距离, 所以．（10分） （3）证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点， 由双曲线的定义得，． 所以， 整理得．（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为.（3分） （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为.（9分） （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点.（15分） 18．（15分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先确定点的坐标，然后根据两点距离公式求出，进而求出抛物线方程. （2）先求出圆的方程，确定该圆与轴只有一个公共点，然后求出直线的方程，联立直线与抛物线方程组可求得公共点. （3）设，先求出的斜率，进而求出直线的方程，进而得到点的中点，根据已知条件求出最小值即可. 【详解】（1）根据题意，当时，，此时点. 而，所以. 化简得，解得. 继续化简得，因为， 所以. 所以抛物线的方程为.（3分） （2）由题意知，，设中点为，则. 而的半径，因此到轴的距离等于的半径，说明与轴相切， 有唯一公共点. 直线的斜率，因此. . 故直线与抛物线相切，只有一个公共点.（10分） （3）设，的斜率. 同理斜率. 由于，有. 直线的方程为，令. 因此，由（2）可得，若是抛物线的切线，有. 即，整理得. 由可得，因此. 故的最小值为.（17分）    19．（15分） 【答案】(1) (2)（i）存在，，理由见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，设为曲线上点旋转后的对应点，设，进而可求出的坐标，再代入曲线的方程，即可求出求出曲线的方程，进而可得出结论； （ii）根据题意问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值.分直线是否与重合讨论，当直线与重合时，设直线，联立方程，理由韦达定理求出，再根据弦长公式求出，同理求出，列出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以；（3分） （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 设为曲线上点旋转后的对应点， 设， 则， 又因为， 所以， 整理得， 点到点和点的距离之和为， 旋转时，曲线形状不变，所以为定值， 定点的坐标分别为；（9分） （ii）由（i）知曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 定点为曲线的两个焦点，在曲线对应点和点， 在旋转过程中图形不变，问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值. 与交点满足，且在椭圆内部， 当与重合时，； 当与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以， 同理可得， ， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以四点构成四边形面积的最小值为， 即四点构成的四边形面积的最小值为.（17分） 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 2．已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（    ） A．点必在椭圆上 B．点必在椭圆上 C．点必在椭圆上 D．点必在椭圆上 【答案】A 【分析】由题不妨设，易得为的两个焦点，则，推得，利用椭圆的定义即可求解. 【详解】因椭圆的四个顶点为， 不妨设， 因为椭圆的焦点为， 则为的两个焦点，则， 所以， 所以点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上. 设该方程为， 依题意，则， 即点必在椭圆上. 故选：A. 3．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 4．过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设点在轴的正半轴上，由已知可得点，根据直线与渐近线垂直可得，即可求解双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，为坐标原点， 不妨设点在轴的正半轴上，，有， 可得点，直线的斜率为， 又由直线与渐近线垂直，有， 可得，可得双曲线的离心率为. 故选：B. 5．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据角平分线推可得出，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如图，连接、，是的内心， 则、分别是和的角平分线，为的角平分线，    可得， 由比例关系性质可知． 又因为，所以椭圆的离心率. 故选：A． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】通过双曲线的定义以及勾股定理求出，再结合几何关系求出直线的斜率. 【详解】设，因为，所以， 根据双曲线的定义，可得，即， 解得，所以，， 又， 因为为中点，且，所以， 那么， 所以，则， 则， ， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以直线的斜率. 故选：. 8．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】吧问题转化成抛物线上的点到焦点的距离与到定直线的距离之和的最小值问题，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图： 根据题意，的几何意义为点与点之间的距离， 分析可得点在抛物线上，点在直线上， 抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点. 所以的几何意义为. 由. 过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点. 则（当与点重合，与点重合时取等号） 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆定义可知，则点在以为圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点坐标是 . 【答案】 【分析】将抛物线方程化为标准形式再读取焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则焦点坐标为 故答案为： 13．已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据面积比可确定，结合定义和勾股定理可构造方程求得，进而求得，由可求得结果. 【详解】 的面积是面积的两倍，， 设，则， 由双曲线定义知：，， ，， 即，解得：或（舍），，， ，即，， 双曲线的离心率. 故答案为：. 14．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】已知直线QM的斜率为，P，Q为C上关于原点对称的两点,直线PF交椭圆C于另一点M，不妨计算直线的斜率，利用斜率乘积为定值，得到直线的斜率.即直线的斜率.再根据椭圆的定义列出关于的方程，求得椭圆的离心率. 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以.（6分） （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. （13分） 16．（15分）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）联立直线和双曲线方程利用弦长公式计算可得； （2）利用点到直线距离公式以及三角形面积公式计算即可； （3）由双曲线定义证明即可得出结论. 【详解】（1）易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示： 设，， 由得， 所以，， 可得.（5分） （2）原点到直线l：的距离, 所以．（10分） （3）证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点， 由双曲线的定义得，． 所以， 整理得．（15分） 17．（15分）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为.（3分） （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为.（9分） （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点.（15分） 18．（15分）已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． (1)求抛物线的方程； (2)若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； (3)设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先确定点的坐标，然后根据两点距离公式求出，进而求出抛物线方程. （2）先求出圆的方程，确定该圆与轴只有一个公共点，然后求出直线的方程，联立直线与抛物线方程组可求得公共点. （3）设，先求出的斜率，进而求出直线的方程，进而得到点的中点，根据已知条件求出最小值即可. 【详解】（1）根据题意，当时，，此时点. 而，所以. 化简得，解得. 继续化简得，因为， 所以. 所以抛物线的方程为.（3分） （2）由题意知，，设中点为，则. 而的半径，因此到轴的距离等于的半径，说明与轴相切， 有唯一公共点. 直线的斜率，因此. . 故直线与抛物线相切，只有一个公共点.（10分） （3）设，的斜率. 同理斜率. 由于，有. 直线的方程为，令. 因此，由（2）可得，若是抛物线的切线，有. 即，整理得. 由可得，因此. 故的最小值为.（17分）    19．（15分）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）存在，，理由见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，设为曲线上点旋转后的对应点，设，进而可求出的坐标，再代入曲线的方程，即可求出求出曲线的方程，进而可得出结论； （ii）根据题意问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值.分直线是否与重合讨论，当直线与重合时，设直线，联立方程，理由韦达定理求出，再根据弦长公式求出，同理求出，列出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以；（3分） （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 设为曲线上点旋转后的对应点， 设， 则， 又因为， 所以， 整理得， 点到点和点的距离之和为， 旋转时，曲线形状不变，所以为定值， 定点的坐标分别为；（9分） （ii）由（i）知曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 定点为曲线的两个焦点，在曲线对应点和点， 在旋转过程中图形不变，问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值. 与交点满足，且在椭圆内部， 当与重合时，； 当与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以， 同理可得， ， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以四点构成四边形面积的最小值为， 即四点构成的四边形面积的最小值为.（17分） 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（    ） A．点必在椭圆上 B．点必在椭圆上 C．点必在椭圆上 D．点必在椭圆上 3．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 4．过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 5．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 8．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点坐标是 . 13．已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 14．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 16． （15分） 过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 17． （15分） 已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 18． （17分） 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． (1)求抛物线的方程； (2)若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； (3)设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 19．（17分） 已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $