专题11 解直角三角形（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题11 解直角三角形 目录 2 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 2 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 3 类型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 5 类型四、锐角的三角函数中的新定义问题 5 类型五、同角(互余)两角的三角函数关系 6 类型六、解直角三角形/非直角三角形 8 类型七、构造直角三角形求不规则图形的面积 10 类型八、在四边形中解直角三角形 11 类型九、胡不归问题 12 类型十、函数与解直角三角形 14 类型十一、动态问题与解直角三角形 15 16 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为 ． 2．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ． 4．（2023·上海虹口·一模）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为 ． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是 cm． （2）若，则的值是 ． 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 6．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ． 7．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    8．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ． 9．（2019·上海徐汇·一模）如图，在中，，，于点，，则 ． 10．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠得到对应的，且点C的对应点F落在上．若，，则 ．    类型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 11．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 12．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    13．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）在锐角中，和满足的关系式为求的度数． 类型四、锐角的三角函数中的新定义问题 14．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 类型五、同角(互余)两角的三角函数关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 17．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 18．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 19．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 20．（25-26九年级上·北京·课后作业）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 类型六、解直角三角形/非直角三角形 类型一：若题目中有直角 类型二：若题目中没有直角 在解斜三角形时，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题. 21．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)求的值 (3)若是的中点，求的长． 22．（2025·安徽合肥·三模）在中，，于，平分交于，交于． (1)①求证：； ②若，求的值． (2)如图2，过点作交于，连接，，求证：． 23．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 24．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 类型七、构造直角三角形求不规则图形的面积 25．（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 26．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 27．（2022·内蒙古包头·二模）图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．（结果保留根号） 类型八、在四边形中解直角三角形 28．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，是的高，是的中线，，，，直线交于点M，交于点N．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的度数； (3)当，时，求线段的长． 29．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，矩形，点是的中点，连接，，过点作垂线交，于点，．设． (1)求证：； (2)连接，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．若，求的长． 30．（2025·安徽合肥·三模）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，． (1)求证：． (2)G为中点，交于点O，，垂足为H． ①求证：； ②求证：． 类型九、函数与解直角三角形 31．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 32．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 33．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． (3)连接，M是抛物线上的一点，且满足，求点M的坐标． 类型十、胡不归问题 34．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形． 【构建联系】若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．    35．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线以及直线的函数解析式． (2)若是抛物线的顶点，求点到直线的距离． (3)已知是抛物线上的一动点，是否存在点，使得 ？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点C为直线上方抛物线上一动点，过点C作，垂足为点D，作轴，交于点E，求的最大值及此时点C的坐标． 类型十一、动态问题与解直角三角形 37．（24-25九年级下·河南安阳·期中）如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为4的等边中，点D是边上一动点，做于点E，于点F，设，四边形的面积为y，则y关于的函数图像为（     ） A．B．C．D． 39．（2024·安徽·一模）如图，四边形是矩形，点P从边上点E出发，沿直线运动到矩形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿运动到点C．设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y关于x变化的函数图像，根据图像，下列判断正确的是（    ） A． B．点P经过矩形对角线的交点 C． D．当时，长度的最小值为4 40．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B．C．D． 41．（22-23九年级下·安徽六安·期中）如图，在矩形中，，动点E从点A出发，沿边，向点C运动，A，D关于直线的对称点分别为M，N． (1)如图1，当E在边上且时，则的度数为________． (2)如图2，当N在延长线上时，设与延长线交于F，求的长． (3)连接，当直线恰好经过点C时，求的长． 42．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． (1)求的值； (2)如图2，当旋转，且时，求的值； (3)如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 43．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． (1)求点坐标和反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式． (2)连接，求的值． (3)观察图象请直接写出关于的不等式的解集． 44．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，E为凸四边形内一点，，分别连接，已知：． (1)求证：； (2)连接，求证：． (3)如图2，延长交于点F，连接，若，求的长． 45．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践： 【发现问题】教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中A，，，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“A，，三点不共线”或“A，，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“A，，三点不共线”． 【解决问题】①甲：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小，…… ③丙：，，，…让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识，…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， …… 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明A，，三点不共线． 46．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M． (1)求抛物线的函数关系式及点M的坐标； (2)如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标； (3)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？ 47．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 48．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为．．是线段上的动点．过作于，与抛物线第一象限内的图象交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当线段最大时，求点的坐标． (3)若轴，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 解直角三角形 目录 2 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 2 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 7 类型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 14 类型四、锐角的三角函数中的新定义问题 16 类型五、同角(互余)两角的三角函数关系 20 类型六、解直角三角形/非直角三角形 26 类型七、构造直角三角形求不规则图形的面积 34 类型八、在四边形中解直角三角形 39 类型九、胡不归问题 48 类型十、函数与解直角三角形 56 类型十一、动态问题与解直角三角形 63 69 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，正弦的定义，取格点，连接、，证明，，进而可得，根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】解：取格点，连接、，如图， 由图可知：在正方形网格中，， ，， ， 小正方形的边长为1， 在中，，， ， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键． 如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 设，则， ， ∵在中，， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定与性质、求角的正切值，作轴于    ，轴于，则，，证明得出，再由正切的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点F，轴于， ， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2023·上海虹口·一模）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故． 【详解】解：都是正方形， ， ， ， ， 与的面积比为， ， 设，则， ， 在中， ， 由“青朱出入图”可知：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是 cm． （2）若，则的值是 ． 【答案】 4 3 【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键． 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 6．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的值的几何意义，正弦的定义；根据和求出点的坐标，再求出菱形面积，由即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， ， ∴设，则 ∴ 点在反比例函数图象上， ， 或舍去， ，， ， ． 故答案为：． 7．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 8．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ． 【答案】 4 【分析】先证明，再计算，结合计算即可；计算，，再利用平行线证明，确定，过点M作于点N，得到，证明，求得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在边长为的正方形中，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点M作于点N， 则， ∴， ∴， ∴，，， ∴ ， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握三角形相似的应用，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 9．（2019·上海徐汇·一模）如图，在中，，，于点，，则 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论． 【详解】∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90， ∵cosB＝， 设BD＝5x，AB＝13x， ∴AD＝＝12x， ∴BC＝2BD＝10x， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE， ∴， ∴， ∴BE＝x，CE＝x， ∴＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 10．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠得到对应的，且点C的对应点F落在上．若，，则 ．    【答案】2 【分析】先证明，再由，设，则，从而可以求出各线段的长，最后作差即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质，可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴可设， 则在中， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及用勾股定理求线段长，严格的逻辑思维和严密的运算是解题的关键． 类型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 11．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 12．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 13．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）在锐角中，和满足的关系式为求的度数． 【答案】的度数是 【分析】根据非负数的性质得出，，求出和，进一步可以求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 即的度数是． 【点睛】本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值． 类型四、锐角的三角函数中的新定义问题 14．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】 和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】 和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、余弦的定义，解决本题的关键是作辅助线得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到边之间的关系． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 类型五、同角(互余)两角的三角函数关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 17．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 18．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 20．（25-26九年级上·北京·课后作业）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 类型六、解直角三角形/非直角三角形 类型一：若题目中有直角 类型二：若题目中没有直角 在解斜三角形时，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题. 21．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)求的值 (3)若是的中点，求的长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角函数定义与勾股定理，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，利用相关性质与定理转化条件计算． （1）因，作，等腰三角形三线合一得，再用，代入值求． （2）作，在中，由求，勾股定理求得，最后依据得结果． （3）由是中点得，结合小问2的求得，再在中，用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点E，    ∴， ，，， ． 在中 ， ； （2）过点B作于点F． ∴，    在中， ，， 在中，， 由勾股定理，得： ∵，， 在中，， ； （3）点D是的中点，， ， ， 由（2）得， 在中， 由勾股定理，得： ． 22．（2025·安徽合肥·三模）在中，，于，平分交于，交于． (1)①求证：； ②若，求的值． (2)如图2，过点作交于，连接，，求证：． 【答案】(1)①见解析；②； (2)见解析． 【分析】本题考查直角三角形性质、角平分线性质、相似三角形判定与性质，解题关键是利用角的关系、相似三角形及边的比例推导． （1）①利用直角三角形两锐角互余和角平分线，证角相等，得； ②通过角相等得，结合边的比例，求； （2）由得，证，推出． 【详解】（1） 解：① 平分 又 ② 在中， 又 （2） ， 平分 ， ，且， ， 又， ， ， ， ， ． 23．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 24．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 类型七、构造直角三角形求不规则图形的面积 25．（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【答案】(1)步道BC的长为24米； (2)此次改建费用足够． 【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答． 【详解】（1）过点B作于点E，过C作于点F，于点G． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在矩形CGEF中，， ∴， 在，，且， ∴． ∴， ∴． 答：步道BC的长为24米． （2）在中1，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴ ， ∴总共花费：， ∵， 答：此次改建费用足够． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 26．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 27．（2022·内蒙古包头·二模）图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．（结果保留根号） 【答案】24 【分析】过点C作于F，过点D作于E，根据解直角三角形知识求出AE、EF、BF的长，再根据AB=AE+EF-BF得出AB的长，再根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：过点C作于F，过点D作于E，如图所示： ∵， ∴，， 在中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在Rt中，， ∴， ∴ ， ∴S垂尾模型ABCD． 【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的性质和判定，掌握三角函数的定义是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 类型八、在四边形中解直角三角形 28．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，是的高，是的中线，，，，直线交于点M，交于点N．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的度数； (3)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证 ，得，又由，即可得出结论； （2）取的中点G，连接，由三角形中位线定理得，，再证，得，即可求得的度数； （3）设，利用锐角三角函数可得，则，四边形是平行四边形，则，，证明，则，由得到，则，即可得到线段的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：取的中点G，连接，如图所示：    ∵是的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 29．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，矩形，点是的中点，连接，，过点作垂线交，于点，．设． (1)求证：； (2)连接，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证出，由相似三角形的判定可得出结论； （2）设，则，，于是，证出，则可得出答案； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，证出为等腰直角三角形．过点C作垂线交延长线于点N，则为等腰直角三角形，，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 又， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 设，则，，于是， 所以 ∴， ∴ ∴ （3）解：∵平分， ∴， 又， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 连接， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴； 过点作垂线交延长线于点N，则为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：．（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 30．（2025·安徽合肥·三模）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，． (1)求证：． (2)G为中点，交于点O，，垂足为H． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； ②延长，交于点，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据和等量代换即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：①如图，连接， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ②如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 由上已证：， ∵， ∴， ∴，即， 由上已证：， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 类型九、函数与解直角三角形 31．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 32．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①9；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 33．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． (3)连接，M是抛物线上的一点，且满足，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）过P作于H，过B作于，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数求得，则，当B、P、H共线且时取等号，此时H与重合，最小值为的长，求得点B坐标，得到，利用锐角三角函数求得即可； （3）在上截取，连接，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，设，利用勾股定理求得，进而推导出，设，分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况，分别利用正切定义和坐标与图形性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且，C为抛物线与y轴的交点， ∴，则， 将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作于H，过B作于， ∵，， ∴，则， ∴，当B、P、H共线且时取等号，此时H与重合，最小值为的长， 令得，，则， ∴， 在中，，，， ∴， 即的最小值为； （3）解：在上截取，连接， 则， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴， ∴， 设， 当点M在x轴的上方时，如图，过M作轴于点N， 则，， 由得， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当点M在x轴的下方时，如图，过M作轴于点N， 则，， 由得， 解得或， ∴， ∴， 综上，满足条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、坐标与图形、三角形的外角性质、解一元二次方程、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线和分类讨论思想的运用是解答的关键． 类型十、胡不归问题 34．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形． 【构建联系】 若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设，即，利用中点坐标公式求得点的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与、轴的交点，利用勾股定理求得，可得，过点作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 把点的坐标代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：设， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点是边的中点， ，即， 把点的坐标代入，得， 解得， ， ． （3）解：将直线向上平移6个单位得到直线， 联立，即， 设， ， 点为的中点， 点的横坐标为， 把代入，得， ， ， 过点作于点，交轴于点，交轴于点， 把代入，得； 把代入，得，解得， 直线与轴交于点， ， ， ． ， ， ， ， ， ．      【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线以及直线的函数解析式． (2)若是抛物线的顶点，求点到直线的距离． (3)已知是抛物线上的一动点，是否存在点，使得 ？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴，交于点，连接，，首先求出，然后求出，设点到直线的距离为，求出，进而求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况：当点在轴上方时，当点在轴下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）将点，代入， 得解得 抛物线的函数解析式为． 令，解得， 点． 设直线的函数解析式为， 则解得 直线的函数解析式为； （2）如图1，过点作轴，交于点，连接，． 由（1），可得点，则点， ， ． 设点到直线的距离为． 点，， ， ． （3）存在． 如图，过点作于点． 点，，， ，，， ， ， ， ． 设点，过点作轴于点． 根据题意，分两种情况： ①如图2，当点在轴上方时，则，． ， ， 解得（舍去），， 点． ②如图3，当点在轴下方时，则，． ， ， 解得（舍去），， 点． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求出二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式． 36．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点C为直线上方抛物线上一动点，过点C作，垂足为点D，作轴，交于点E，求的最大值及此时点C的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示点的坐标以及相关线段的长度， （1）将，两点代入即可得出结论． （2）根据平行线性质得出，，得出，先求出直线所在的解析式，设点，则点， 则表示出，确定的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：将，两点代入， 得，， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）根据，得，， ， ， 在中，， ， ∵， 则． 设直线的表达式为， 将，两点代入得：， 解得：， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， 即的最大值为3，的最大值为， 此时点C的坐标为． 类型十一、动态问题与解直角三角形 37．（24-25九年级下·河南安阳·期中）如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选：B． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为4的等边中，点D是边上一动点，做于点E，于点F，设，四边形的面积为y，则y关于的函数图像为（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质，锐角三角函数以及二次函数的图象，解题的关键是求出函数关系式． 连接，根据锐角三角函数表示出，，，再根据表示出y关于的函数表达式，即可求解； 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， 则在中，， 在中，， ∴ ， ，∴抛物线开口向下， 故当时，取得最大值， 故A选项符合题意， 故选：A． 39．（2024·安徽·一模）如图，四边形是矩形，点P从边上点E出发，沿直线运动到矩形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿运动到点C．设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y关于x变化的函数图像，根据图像，下列判断正确的是（    ） A． B．点P经过矩形对角线的交点 C． D．当时，长度的最小值为4 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，勾股定理，在解题时根据函数的图象求出有关的线段的长度，分析各个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意知，当P与B重合时，，最大， 当点P在上运动，逐渐减小，直至P与C重合时，则， ，的最大值， ，A错误； ， ， C错误； 当时，点P在上，，，，， 点E是的中点，即点P从的中点出发，延长交于点G， ，用勾股定理可求， 是的中点， 点F是矩形对角线的交点，即点P经过矩形对角线的交点， B正确； 作，易求， 当时，长度的最小值为， D错误． 故选：B． 40．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可． 【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，，，， ∴， 设， 当点在线段上， ，， ∴的面积：， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分； 当点在线段上， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积：， 此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分； 当点在线段上， 则， ∴， ∴的面积： ， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 41．（22-23九年级下·安徽六安·期中）如图，在矩形中，，动点E从点A出发，沿边，向点C运动，A，D关于直线的对称点分别为M，N． (1)如图1，当E在边上且时，则的度数为________． (2)如图2，当N在延长线上时，设与延长线交于F，求的长． (3)连接，当直线恰好经过点C时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由知，，可知，从而得出答案； （2）根据对称性得，，则，得，可得； （3）当在边上时，若直线过点，利用证明，得，当点在边上时，利用，则，从而解决问题． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ． 由对称性知， ． （2）如图2，，， ， 当落在延长线上时，， ． 由对称性得，， ， 得， ． （3）如图3，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ， ． ，， ， ． 如图4，点在边上时， ，， ，． ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键． 42．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． (1)求的值； (2)如图2，当旋转，且时，求的值； (3)如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)变化， 【分析】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，，证明，，； （2）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论； （3）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， 又∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足分别为． 由（1）得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：的值有变化． 过点作，垂足分别为． 同理， ∴， ∵， ∴，， ∴． 43．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． (1)求点坐标和反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式． (2)连接，求的值． (3)观察图象请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据的长及的正切求出的长，进而得出点的坐标，进一步可求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，由、两点的坐标即可求出一次函数的解析式； （2）根据题意，分别求出及的面积即可解决问题； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：轴， ， 在中，，      ， ，            点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为，                     点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点代入直线中， 得， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由，得， 点的坐标为， ， 又点的坐标为， ， ； （3）解：由函数图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 关于的不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的图象与性质、解直角三角形、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 44．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，E为凸四边形内一点，，分别连接，已知：． (1)求证：； (2)连接，求证：． (3)如图2，延长交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握手拉手相似模型，是解题的关键： （1）利用两角对应相等的两个三角形相似，即可得证明； （2）证明，得到，在中，，等量代换即可得出结论； （3）过点作，证明，得到，特殊角的三角函数值求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践： 【发现问题】 教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】 ，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中A，，，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】 要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“A，，三点不共线”或“A，，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“A，，三点不共线”． 【解决问题】 ①甲：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小，…… ③丙：，，，…让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识，…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， …… 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明A，，三点不共线． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键；若选择乙，则可根据三角函数进行求证；若选择丙，则可根据相似三角形的性质与判定进行求证；若选择丁，则可假设点H在上，然后通过三角函数得出假设不成立，进而问题可求证． 【详解】证明：若选择乙，证明如下： 如图， 由图2可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A、H、C三点不共线； 若选择丙，证明如下： 如图， 由图可知：，， ∴， ∴与不相似， 同理可得与不相似， ∴， ∴， ∴点A、H、C三点不共线； 若选择丁，证明如下： 如图， 假设点H在直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 与假设矛盾， ∴点A、H、C三点不共线． 46．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M． (1)求抛物线的函数关系式及点M的坐标； (2)如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标； (3)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)抛物线的表达式为，点M的坐标为 (2)点E的坐标为或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由直线的表达式知，，则，则，由点D、M的坐标得的长，即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，解得，令，则， 故点A、B的坐标分别为、， ∵抛物线经过坐标原点，故， ∴将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为； 则抛物线的对称轴为，当时，， 则点M的坐标为； （2）解：如图1，过点E作轴交于点H， ∴由（1）可知：， 设点E的坐标为，则点， 则的面积， 解得， 故点E的坐标为或； （3）解：∵直线向下平移后过点， ∴设直线的表达式为， ∴，解得：， 故直线的表达式为， 令，解得， 故点； 过点D作于点H， ∵，即点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为3， ∴，则， ∵， ∴， 由点D、M的坐标得，， 则， 故， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质及三角函数是本题解题的关键． 47．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 48．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为．．是线段上的动点．过作于，与抛物线第一象限内的图象交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当线段最大时，求点的坐标． (3)若轴，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数与一次函数的交点问题以及最值问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先求出，求出点和点坐标代入即可得到抛物线的解析式． （2）先求出直线的解析式，设经过点与平行的直线为，联立直线和抛物线的解析式，令△即可得到答案； （3）连接，利用，得到，求出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）， ， ，， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 将，代入， 得， 即， 解得， 抛物线解析式为； （2）由（1）得，， ， 设直线解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， 当最大时，点与重合， 过点作于点，则，，， ，， ， ， 直线的解析式为， 由，解得或， 点在第一象限， ，， 当线段最大时，点的坐标为，； （3）如图所示，连接， ，， 轴， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $