专题09 相似三角形综合问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题09 相似三角形综合问题 目录 1 类型一、利用相似三角形列函数关系式 1 类型二、运用相似三角形解决三角板问题 3 类型三、运用相似三角形解决裁剪问题 5 类型四、运用相似三角形解决格点问题 8 类型五、运用相似三角形探究线段之间的关系 10 类型六、运用相似三角形解决尺规作图问题 13 类型七、运用相似三角形解决多结论问题 16 类型八、运用相似三角形解决动点问题的函数图像问题 17 类型九、运用相似三角形解决最值问题 19 21 类型一、利用相似三角形列函数关系式 解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来. 1．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点E在边上，点G在延长线上，点H为上的点，连接，． (1)当时，求证：． (2)若点H为的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，．点在边上，点、在边上，四边形是一个边长为的正方形，且．    (1)求关于的函数解析式； (2)的最大值． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在中，，，，点是边上的一个动点，过点作于，在线段上取，连结，作，交射线于点，交射线于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出自变量取值范围； (3)当时，求线段的长． 类型二、运用相似三角形解决三角板问题 运用相似三角形解决三角板问题，核心是先明确三角板的固有角度与边长关系，再结合图形中的 “公共角、对顶角、直角” 等条件判定相似，最后利用相似性质（对应角相等、对应边成比例）计算未知量。 初中阶段常用的两种三角板，其角度和边长比例是解题的 “已知条件”，必须先牢记： 三角板类型 三个内角度数 边长比例（最简） 关键特征 等腰直角三角板 45°、45°、90° 直角边：直角边：斜边 = 1:1:√2 两锐角相等，两直角边相等 特殊角直角三角板 30°、60°、90° 短直角边：长直角边：斜边 = 1:√3:2 30° 对边是斜边的一半 5．（2023·安徽合肥·一模）如图（1），直线上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边长为，较小锐角度数为度． (1)将沿直线翻折到图（2）的位置，与相交于点，请证明： (2)将沿直线向左平移到图（3）的位置，使点落在上，你可以求出平移距离，试试看； (3)将绕点逆时针旋转到图（4）的位置，使点落在上，请求出旋转角的度数． 6．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连接、，的延长线交于于点． (1)直接写出线段与线段的关系___________． (2)若将角换成如图，线段与线段在数量和位置上分别有何关系？说明理由． (3)若将图中两个三角板旋转成图、图、图的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明． 7．（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 类型三、运用相似三角形解决裁剪问题 解决裁剪与相似的问题，关键是 “先锚定相似关系（尤其是对应顶点），再用相似比串联裁剪的边长 / 面积，最后结合边界条件验证”。核心工具是 “对应边成比例” 和 “面积比 = 相似比 ²”，重点关注 “裁剪线的位置（平行 / 不平行）” 和 “顶点的边界限制”，即可将复杂裁剪问题转化为比例方程求解。 8．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 9．（2025·河北邯郸·一模）由边长为6和边长为2的两个正方形组成的纸板如图1所示，点是上的点，将该纸板裁剪后（要求至少有一条裁剪线过点）再拼成一个与它等面积的大正方形纸板． 方案一：如图2，沿虚线剪开将纸板分成三部分，固定③不动，挪动①和②两部分，使①、②与③拼接成一个大正方形． （1）在图2中直接以，为基础，画出这个大正方形，并标注①和②两部分． （2）直接写出的长度． 方案二：（3）如图3，点在上，且，连接得到一条裁剪线，在图中直接画出点及符合条件的纸板上的裁剪线，并求的长． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习） 实践情境 数学综合与实践课上，如图①，老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四只木工笔、小刀、橡皮、手工锯子． 实践任务 仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后裁下木板的一边． 抽象模型 如图②，在矩形中，利用含的直角三角板和无刻度直尺，在上确定点，使点将分成两部分．   设计方案 小明利用图②设计了两种不同的裁剪方案． 方案一 步骤一：如图③，分别作，使与交于点，过点作于点，交边于点． 步骤二：如图④，擦去图③的、，连接交边于点，连接，交边于点，过点作，则为裁剪线．    方案二 步骤一：如图⑤，分别作，使与分别交于点、，、于点，过点作，分别交边、于点、点． 步骤二：如图⑥，擦去图⑤的、，…．    证明方案 任务一：（1）在图③中，是等边三角形的理论依据是______；是边的垂直平分线的理论依据是______． 任务二：（2）在图④中，求证：． 完善方案 任务三：（3）利用方案二中的图⑥，将步骤二补充完整，只利用无刻度直尺画出图形，保留作图痕迹，不要求写出作法． 类型四、运用相似三角形解决格点问题 11．（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】（1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则 ； （2）如图2，将边长为1的的正方形网格如图所示放置在直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ； 【探索】（3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，与交于E，则 ； （4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在中，恰好经过格点A、B、C，的半径为 ． 12．（2024·安徽滁州·三模）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长． 13．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出的形状______； (2)若垂足为D，证明：； (3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果） 14．（2023·安徽宿州·模拟预测） (1)如图，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则______． (2)如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，求的值．    类型五、运用相似三角形探究线段之间的关系 运用相似三角形探究线段之间的关系（如比例关系、和差关系、倍分关系等），核心思路是通过证明三角形相似，将待探究的线段转化为相似三角形的对应边或相关线段，再利用相似三角形的 “对应边成比例” 性质建立等式，最终推导线段关系. 15．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，四边形是矩形，顶点A，C分别在x轴和y轴上，，，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E．    (1)直接写出点D的坐标； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)点F是边上一点，若，试说明线段与线段的关系． 16．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在矩形中，点在对角线上，，过点分别作和的垂线，垂足为． (1)如图1，试说明线段与的数量关系． (2)如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数是关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． (3)如图3，当矩形的边时，点为直线上异于的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，直接写出的长． 17．（2020·安徽宣城·模拟预测）已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．    （1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由； （2）如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由； （3）如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系． 18．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学们进行纸片折叠操作活动，具体过程如下： (1)如图1，将正方形纸片沿折叠使点的对称点落在边上(不与两端点重合)，点的对称点为点，交于点． ①求证：； ②试探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． (2)如图2，如果将正方形纸片换成矩形纸片继续探究，将矩形纸片按照（1）中方式操作，，，，求折叠后重叠部分的面积． 19．（20-21九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ； 如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转 ，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 类型六、运用相似三角形解决尺规作图问题 20．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）在中，． 小明的思路 如图①，延长至点，使，连接． 小红的思路 如图②，将沿直线翻折，使点与点重合，与，分别交于点，，连接． (1)设，，，求证：，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明． (2)如图③，已知线段，．求作：满足已知条件的，且，，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） (3)若有一条边的长度为4，设，的周长为，直接写出关于的函数表达式，以及的取值范围． 21．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形． 如图，在中，，． (1)利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)证明：． 22．（2024·福建漳州·二模）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）小明在复习第22章《相似形》时，关注到书上的这道例题，温故后进行了思考、操作、探究. 内容 图示 温故 例1如图22－24，一块铁皮呈锐角三角形，它的边cm，高cm．要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为，且矩形长的一边位于上，另两个顶点分别在边上．求这个矩形零件的边长． 解　如图22－24，矩形为加工后的矩形零件，边在边上，顶点P，Q分别在边上，的高交于点E．设为xcm，则为2xcm． ， ． 解方程，得． 答：这个矩形零件的边长分别是和．    思考 （1）正方形是特殊的矩形，如图1，若将矩形变成正方形，其余条件不改变，请直接写出正方形的边长为______cm．    操作 （2）能画出这类正方形吗？小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，中，在上任取一点，画正方形使在边上，在内，连结并延长交于点Q，画于点R，交于点P，于点S，得到四边形． 结合上述作图，请证明四边形是正方形．    探究 （3）小明继续探究：如图3，在正方形上又作了一个正方形，使得边落在上，点P1、Q1分别在边上，与交于点F，最终发现任意给定和的值（在实际意义范围内），都有恒成立，请给出证明．    类型七、运用相似三角形解决多结论问题 24．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 25．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，，若，则下列正确的是（   ） ①  ②的最小值为  ③  ④ A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 27．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 28．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，点O为正方形的中心，，平分交于点E，延长到点F，使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接．则以下五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 类型八、运用相似三角形解决动点问题的函数图像问题 29．（2023·安徽阜阳·二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A．B．C．D． 31．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　）     A．B．C．D． 32．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图，菱形的边长为，面积为，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿线段向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（   ） A．B．C． D． 类型九、运用相似三角形解决最值问题 33．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接，     (1)求证： (2)最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 34．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 35．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 33．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接，     (1)求证： (2)最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 34．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 35．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形综合问题 目录 1 类型一、利用相似三角形列函数关系式 1 类型二、运用相似三角形解决三角板问题 8 类型三、运用相似三角形解决裁剪问题 16 类型四、运用相似三角形解决格点问题 24 类型五、运用相似三角形探究线段之间的关系 35 类型六、运用相似三角形解决尺规作图问题 48 类型七、运用相似三角形解决多结论问题 57 类型八、运用相似三角形解决动点问题的函数图像问题 66 类型九、运用相似三角形解决最值问题 74 84 类型一、利用相似三角形列函数关系式 解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来. 1．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 【答案】(1)48 (2) (3)长和宽分别为， 【分析】（1）设正方形的边长为，则，证明，得到，求出结果即可； （2）根据矩形性质证明，得到，即可得到与之间的关系式； （3）设矩形的零件的面积为S，利用即可得出当时，S的最大值为2400，再代入求出y值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ∴， ， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是， 故答案为：48； （2）解：四边形为矩形， ， ， ∴， ， 整理得：； （3）解：设矩形的零件的面积为S， ， 当时，S的最大值为2400， ， 矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽分别为，． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，二次函数的最值问题，熟记相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点E在边上，点G在延长线上，点H为上的点，连接，． (1)当时，求证：． (2)若点H为的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合90°角可以证明； （2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于a和b的等式即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形，都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 即a与b满足的关系式为． 【点睛】本题是四边形综合题目，只要考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，．点在边上，点、在边上，四边形是一个边长为的正方形，且．    (1)求关于的函数解析式； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题涉及到相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形的性质等多个知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）延长，交于，显然，则，利用，求得，于是可得方程，然后解方程即可， （2）由第（1）题得方程，解当时，即可求出的最大值． 【详解】（1）解：延长，交于，   ， ， ，， ， 可得：， 两边平方，整理可得： 解得：，（舍去） 关于的函数解析式为： （2）解：由（1）题可得：， 当，即时， 有最大值， 故当时，有最大值为 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在中，，，，点是边上的一个动点，过点作于，在线段上取，连结，作，交射线于点，交射线于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出自变量取值范围； (3)当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数解析式； （1）证明；再加上两三角形的公共角，即可证得两三角形相似； （2）根据题意可得，；又由（1）得，可得； （3）由，得；得出，即可求得AP的长，根据，即可求解；当在线段的延长线上同理可得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， 公共， （2）在中，，， ， ， ， ， 由（1）得 ， ， ， （3）当在线段上 ， 由（1）知 ， ， 当在线段的延长线上 同理可得， 即或12 类型二、运用相似三角形解决三角板问题 运用相似三角形解决三角板问题，核心是先明确三角板的固有角度与边长关系，再结合图形中的 “公共角、对顶角、直角” 等条件判定相似，最后利用相似性质（对应角相等、对应边成比例）计算未知量。 初中阶段常用的两种三角板，其角度和边长比例是解题的 “已知条件”，必须先牢记： 三角板类型 三个内角度数 边长比例（最简） 关键特征 等腰直角三角板 45°、45°、90° 直角边：直角边：斜边 = 1:1:√2 两锐角相等，两直角边相等 特殊角直角三角板 30°、60°、90° 短直角边：长直角边：斜边 = 1:√3:2 30° 对边是斜边的一半 5．（2023·安徽合肥·一模）如图（1），直线上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边长为，较小锐角度数为度． (1)将沿直线翻折到图（2）的位置，与相交于点，请证明： (2)将沿直线向左平移到图（3）的位置，使点落在上，你可以求出平移距离，试试看； (3)将绕点逆时针旋转到图（4）的位置，使点落在上，请求出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意：由轴对称的性质容易证明：；即可证明； （2）根据平移的性质可知为平移的距离，先求的长度，进而可得平移的距离． （3）绕点C旋转的度数即的度数；可得为等边三角形，度． 【详解】（1）解：根据轴对称的性质可知，在与中， ∵，，， ∴． ∴． （2）根据平移的性质可知为平移的距离． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）根据旋转的性质可知，， 又∵ 则为等边三角形，为旋转角． ∴， ∴， ∴旋转角为． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平移、旋转的性质；平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心． 6．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连接、，的延长线交于于点． (1)直接写出线段与线段的关系___________． (2)若将角换成如图，线段与线段在数量和位置上分别有何关系？说明理由． (3)若将图中两个三角板旋转成图、图、图的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)（2）中结论仍然成立，说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明得，，又，所以，求得，即，即可求解； （2）证明得，，又，所以，求得，即，即可求解； （3）由，得，，在图中：由，得，再结合得，即可求解；在图中：由题可知：，又，所以，再结合，所以，即可求解；在图中：由，得，又，所以，即可求解． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ， ，， 又， ， ，即， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 由题可得：，， ， 又， ， ，， 又， ， ，即； （3）解：（2）中结论仍然成立，仍然证，得到，， 图：由，得， 又， ， ，即； 图：由题可知：， 又， ， 而， ， ，即； 图：由，得， 又， ， ，即． 7．（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③； (2)见解析 【分析】（1）①如图所示，连接BE，首先得到，然后证明出，得到； ②作，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； ③同②的方法求解即可；如图所示，当且，点F在上，设，则，然后由得到，进而求解即可； （2）由【探究一】中（2）知当时，，设，则，表示出，得到当时，与重合时，面积取最小，求出，，得到当时，；当时，取得最大，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接BE． ①当时，为中点， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， 在和中， ， ； ②；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ． ③；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ； 如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形 ∴设，则 ∴ ∴ 由题意得， ∴ ∴当时，和没有交点 ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则， ， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形， ， ，， ，， 在等腰中， ， 当时，； 当时，取得最大， ，，， 在中， ， ，此时面积最大， ． 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型三、运用相似三角形解决裁剪问题 解决裁剪与相似的问题，关键是 “先锚定相似关系（尤其是对应顶点），再用相似比串联裁剪的边长 / 面积，最后结合边界条件验证”。核心工具是 “对应边成比例” 和 “面积比 = 相似比 ²”，重点关注 “裁剪线的位置（平行 / 不平行）” 和 “顶点的边界限制”，即可将复杂裁剪问题转化为比例方程求解。 8．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 9．（2025·河北邯郸·一模）由边长为6和边长为2的两个正方形组成的纸板如图1所示，点是上的点，将该纸板裁剪后（要求至少有一条裁剪线过点）再拼成一个与它等面积的大正方形纸板． 方案一：如图2，沿虚线剪开将纸板分成三部分，固定③不动，挪动①和②两部分，使①、②与③拼接成一个大正方形． （1）在图2中直接以，为基础，画出这个大正方形，并标注①和②两部分． （2）直接写出的长度． 方案二：（3）如图3，点在上，且，连接得到一条裁剪线，在图中直接画出点及符合条件的纸板上的裁剪线，并求的长． 【答案】方案一（1）见解析（2）方案二：（3）见解析， 【分析】（1）利用正方形的性质，结合三角形全等的判定和性质，拼图即可． （2）根据全等三角形的性质，正方形的性质解答即可． （3）根据正方形的性质，证明． 【详解】解：（1）画图如图所示，∵由边长为6和边长为2的两个正方形组成的纸板如图1所示，点是上的点，将该纸板裁剪后（要求至少有一条裁剪线过点）再拼成一个与它等面积的大正方形纸板． ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故拼图如下： 故①和②两部分的位置可以调换. （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴． （3）解：点的位置如图2. 根据题意可知， ， . . . ， . . 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，熟练掌握性质和相似是解题的关键. 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习） 实践情境 数学综合与实践课上，如图①，老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四只木工笔、小刀、橡皮、手工锯子． 实践任务 仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后裁下木板的一边． 抽象模型 如图②，在矩形中，利用含的直角三角板和无刻度直尺，在上确定点，使点将分成两部分．   设计方案 小明利用图②设计了两种不同的裁剪方案． 方案一 步骤一：如图③，分别作，使与交于点，过点作于点，交边于点． 步骤二：如图④，擦去图③的、，连接交边于点，连接，交边于点，过点作，则为裁剪线．    方案二 步骤一：如图⑤，分别作，使与分别交于点、，、于点，过点作，分别交边、于点、点． 步骤二：如图⑥，擦去图⑤的、，…．    证明方案 任务一：（1）在图③中，是等边三角形的理论依据是______；是边的垂直平分线的理论依据是______． 任务二：（2）在图④中，求证：． 完善方案 任务三：（3）利用方案二中的图⑥，将步骤二补充完整，只利用无刻度直尺画出图形，保留作图痕迹，不要求写出作法． 【答案】（1）三个角都等于的三角形是等边三角形；三线合一；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质解答即可； （2）证明四边形为矩形，得出，，，证明，得出，，进而可得，证明，可得，证明，再由平行线分线段成比例定理即可得解； （3）如图⑥，擦去图⑤的、，连接、交于点，过点作，则为裁剪线． 【详解】（1）解：在图③中，是等边三角形的理论依据是三个角都等于的三角形是等边三角形；是边的垂直平分线的理论依据是三线合一； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）步骤二：如图⑥，擦去图⑤的、，连接、交于点，过点作，则为裁剪线， ∵四边形为矩形， ∴，，， 如图⑤，分别作， 故， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型四、运用相似三角形解决格点问题 11．（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】 （1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则 ； （2）如图2，将边长为1的的正方形网格如图所示放置在直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ； 【探索】 （3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，与交于E，则 ； （4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在中，恰好经过格点A、B、C，的半径为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，计算即可． （2）根据圆的性质，勾股定理，计算即可． （3）根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，计算即可． （4）根据圆的性质，垂径定理，勾股定理，计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与交于点C， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据圆的性质，得圆心一定在线段得垂直平分线上， ∵ ∴， 设圆心的坐标为， ∵ ∴， 解得， 故圆心的坐标为， 故答案为：． （3）如图，∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故 故答案为：． （4）设圆的圆心为点O，则点O一定在的垂直平分线上， 与的交点为D， 根据题意，得，，， 设圆的半径为r，， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，圆的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 12．（2024·安徽滁州·三模）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长． 【答案】(1)图见解析； (2)①是等腰直角三角形．理由见解析；②；； 【分析】（1）根据新定义，画出等联角； （2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解； ②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解． 【详解】（1） （2）①是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． （2）①是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 ． 又     而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则．    ． 由是等腰直角三角形知：   ，，而   在中，，       由，知：四边形为正方形， 由，得： ， 而 即， 解得： 由①知：，   ． 【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键． 13．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出的形状______； (2)若垂足为D，证明：； (3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果） 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求得，的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解； （2）证明，即可证明； （3）利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）证明：由（1）知是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，米，米， 由（2）得， ∴， ∴米， ∴树的高度为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14．（2023·安徽宿州·模拟预测） (1)如图，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则______． (2)如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，求的值．    【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，由勾股定理及其逆定理得到，再由即可得出结果； （2）平移线段至处，连接，根据判定推出，，再证，得到，即可求出结果； 先根据正方形是性质推出判定，然后根据相似三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，   ， 设正方形网格的边长为单位， 由勾股定理可得：， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）如图平移线段至处，连接，    则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ； 如图，   为正方形的对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 故 ， ∽， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，深入理解题意是解决问题的关键． 类型五、运用相似三角形探究线段之间的关系 运用相似三角形探究线段之间的关系（如比例关系、和差关系、倍分关系等），核心思路是通过证明三角形相似，将待探究的线段转化为相似三角形的对应边或相关线段，再利用相似三角形的 “对应边成比例” 性质建立等式，最终推导线段关系. 15．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，四边形是矩形，顶点A，C分别在x轴和y轴上，，，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E．    (1)直接写出点D的坐标； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)点F是边上一点，若，试说明线段与线段的关系． 【答案】(1)点D的坐标为； (2)反比例函数的表达式为，点的坐标； (3)，． 【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用D点为的中点得到点D的坐标； （2）利用待定系数法确定反比例函数解析式为，接着利用E点的纵坐标为6得到点的坐标； （3）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出，然后利用勾股定理，从而作出判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴点B的坐标为， ∵D点为的中点， ∴点D的坐标为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点E在上，则E点的纵坐标为6， ∴E点的横坐标为， ∴点的坐标； （3）解：设与交于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，即， ∴，即．， ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征． 16．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在矩形中，点在对角线上，，过点分别作和的垂线，垂足为． (1)如图1，试说明线段与的数量关系． (2)如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数是关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． (3)如图3，当矩形的边时，点为直线上异于的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)成立 (3)或 【分析】（1）延长，交于，易证四边形是矩形，得到．然后根据，推出与的关系，即可得到线段与的数量关系； （2）判定后根据相似三角形的性质即可证明（1）中结论仍然成立； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况进行计算，连接、，根据正方形的性质推出判定，得到与之间的数量关系，即可求出的长 【详解】（1）解：（1）如图1，延长，交于， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形， ，， 在中，， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由如下：如图2， 由（1）可知：， 由旋转可得：， ， ， ， ， ； （3）①如图3，当点在线段上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 17．（2020·安徽宣城·模拟预测）已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．    （1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由； （2）如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由； （3）如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系． 【答案】（1）CD2+BD2＝AD2，理由见解析；（2）CD2+BD2＝AD2，理由见解析；（3）（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2 【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而判断出△ABD≌△ACE，最后用勾股定理即可得出结论； （2）先判断出△ABC∽△ADE，进而得出∠BAC＝∠DAE，即可判断出△BAD∽△CAE，最后用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出△ABC∽△ADE，进而得出∠BAC＝∠DAE，即可判断出△BAD∽△CAE，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）CD2+BD2＝AD2， 理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， 在Rt△DCE中， CD2+CE2＝DE2， ∴CD2+BD2＝AD2， （2）CD2+BD2＝AD2， 理由：∵BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE， ∴， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵， ∴△BAD∽△CAE， ∴＝2， ∴BD＝2CE， 在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2， ∴CD2+BD2＝AD2， （3）（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2， 理由：∵AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p， ∴DE＝AD，△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∴CE＝BD， 在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2， ∴CD2+BD2＝AD2， ∴（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键． 18．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学们进行纸片折叠操作活动，具体过程如下： (1)如图1，将正方形纸片沿折叠使点的对称点落在边上(不与两端点重合)，点的对称点为点，交于点． ①求证：； ②试探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． (2)如图2，如果将正方形纸片换成矩形纸片继续探究，将矩形纸片按照（1）中方式操作，，，，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据，推导出，证明相似即可； ②连接，连接，作于点，如图所示，证明和，即可证明线段的和差关系； （2）先利用三角函数关系求出，，，这些线段长，再分别求出、、的面积，最后利用折叠后重叠部分的面积计算即可． 【详解】（1）①证明：由折叠可知， 故， 又， ， 又， ； ②证明：，理由如下： 连接，连接，作于点，如图1所示， 由折叠可知， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， 从而， 故， 即． （2）解：设，由折叠可得， ，则有， 解得， 此时． 又由（1）①中可知， ， ， ，， ， ， ， 折叠后重叠部分的面积， ． 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形和梯形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题关键． 19．（20-21九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ； 如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转 ，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 【答案】相等，垂直； 不成立，，，理由见解析； ． 【分析】根据正方形的性质可得：，，，从而可得：，利用可证，利用全等三角形的性质即可求解； 根矩形的性质可证：、，据根据两边对应成比例且夹角相等证明，利用相似三角形的性质即可求解； 根据旋转的性质可分两种情况求解，当点在线段上时，证明，列比例式可得的长；当点在线段上时，仿照可解． 【详解】解：，， 理由如下： 如图所示， 在正方形和正方形中， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ， ， 故答案为：，； 不成立，，， 理由如下： 如图，由知，， ，，， ， ， ，即，， 又， ， ； 当点在线段上时，如图所示， 在中，，，则， 过点作于点， ，， ， ， ， 解得：，， 在中，， ， ； 当点在线段上时，如图所示， 过点作于点， ，， 由可得：，， 在中，， ， ； 综上所述，的长为 ． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中要分两种情况求解，正确画图和分类讨论是解题的关键． 类型六、运用相似三角形解决尺规作图问题 20．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）在中，． 小明的思路 如图①，延长至点，使，连接． 小红的思路 如图②，将沿直线翻折，使点与点重合，与，分别交于点，，连接． (1)设，，，求证：，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明． (2)如图③，已知线段，．求作：满足已知条件的，且，，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） (3)若有一条边的长度为4，设，的周长为，直接写出关于的函数表达式，以及的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析； (3)当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时． 【分析】（1）选择小明的思路，证明，则，得到，即可得出结论；选择小红的思路：由翻折可知，证出，得出，由此可知，代入即可得出结论； （2）按照步骤，①作，②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A，③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，得出即可； （3）设，则，再分三种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）选择小明的思路，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 选择小红的思路；由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． （2）①作， ②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A， ③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，则即为所求， （3），设，则， ， ， 即， ， 由（1）可得，， 当时，即， ，即， 代入，得， 解得， ， ， 当时， 代入，得， 解得， ， ， 当时，则， 代入，得， 解得， ， ． 综上可知，当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识．熟练掌握作垂线，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用等相关知识，并会数形结合和分类讨论是解题的关键． 21．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形． 如图，在中，，． (1)利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）作的角平分线，交于点； （2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，再证，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）证明：∵在中，，， ∴， 平分， ∴， ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 22．（2024·福建漳州·二模）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 【答案】活动一：见解析；活动二：见解析 【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形； 活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点． 【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：∵在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴点F是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）小明在复习第22章《相似形》时，关注到书上的这道例题，温故后进行了思考、操作、探究. 内容 图示 温故 例1如图22－24，一块铁皮呈锐角三角形，它的边cm，高cm．要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为，且矩形长的一边位于上，另两个顶点分别在边上．求这个矩形零件的边长． 解　如图22－24，矩形为加工后的矩形零件，边在边上，顶点P，Q分别在边上，的高交于点E．设为xcm，则为2xcm． ， ． 解方程，得． 答：这个矩形零件的边长分别是和．    思考 （1）正方形是特殊的矩形，如图1，若将矩形变成正方形，其余条件不改变，请直接写出正方形的边长为______cm．    操作 （2）能画出这类正方形吗？小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，中，在上任取一点，画正方形使在边上，在内，连结并延长交于点Q，画于点R，交于点P，于点S，得到四边形． 结合上述作图，请证明四边形是正方形．    探究 （3）小明继续探究：如图3，在正方形上又作了一个正方形，使得边落在上，点P1、Q1分别在边上，与交于点F，最终发现任意给定和的值（在实际意义范围内），都有恒成立，请给出证明．    【答案】（1） （2）详见解析 （3）详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）若将矩形变成正方形，设为xcm，则为xcm．根据“温故”的求解过程即可求解；（2）证、即可求证；（3）证，根据即可求证． 【详解】解：（1）若将矩形变成正方形， 设为xcm，则为xcm． ， 解方程得：． 故答案为： （2）证明：由题意得：， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形 （3）证明：由题意得：， ∴ ∵分别为的高， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 类型七、运用相似三角形解决多结论问题 24．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，求出，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可证明，①正确；根据，证明，根据相似三角形的性质以及即可得到，②正确；过P作，，设正方形的边长为，则正方形的面积为，解直角三角形求出和，然后根据计算出的面积，进而可判断④正确；在中，求得和的长，得到的长，据此即可判断③正确． 【详解】解：在正方形中，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， 又， ， ， ， ， ，故②正确； 如图，过P作，， 设正方形的边长为，则正方形的面积为， 为正三角形， ，， ， ，， ， ，故④正确； 在中，，，， ， ，故③正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 25．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图2结合，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出的长；再根据点M的坐标可求出当时，与的函数关系式；利用勾股定理求出，进而求出，结合函数图象即可求出点H的坐标；当时，，此时是等腰三角形，从而判断④． 【详解】解：∵，且P和Q速度相同， ∴当P到达点E时，Q到达点C， 由图2可知此时，， 即，， ∴， 解得，故①正确，符合题意； 由图2易得， 设，将M坐标代入得， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H的坐标为，故③正确，符合题意； 当时，，此时是等腰三角形， 而是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意； 所以正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，根据图（2）判断出点到过点时，点到达点是解题的关键． 26．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，，若，则下列正确的是（   ） ①  ②的最小值为  ③  ④ A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明，得出，，即可判断①；证明，得出，计算即可判断④；证明，得出，结合题意即可判断③；以为底边，在的下方作等腰，使，证明出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，求解即可判断②． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 以为底边，在的下方作等腰，使， ， ∵，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接，交于，此时最小，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为，故②错误； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 27．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 在中，， ∴，， ∴，故③错误； 设，则， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 28．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，点O为正方形的中心，，平分交于点E，延长到点F，使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接．则以下五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．只要证明是的中位线即可对①作出判断；根据是的中位线，得出可对②作出判断；由②的结论和的值，可对③作出判断；证明，由直角三角形的性质可得，可对④作出判断；证明，则，即，即可对⑤作出判断． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ②∵点O为正方形的中心，， ∴． 由三角形中位线定理知，， ∴，故②正确； ③∵， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵是的中位线，， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， ∴，即，故⑤正确． 正确的结论共有4个， 故选：B． 类型八、运用相似三角形解决动点问题的函数图像问题 29．（2023·安徽阜阳·二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的平分线交于点，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图1，作的平分线交于点，由题意中的函数图像知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是证明． 30．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 易证， ， ． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是直线（随增大而增大）的一部分， （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向下的抛物线位于对称轴直线右侧的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C 31．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是平行x轴的直线的一部分； （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是一条直线的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C． 32．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图，菱形的边长为，面积为，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿线段向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出菱形的高，再利用相似三角形的判定与性质表示出时的高后可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：依题得：点和点同时达到终点， 作交于点， 菱形的边长为，面积为， ， 设运动时间为秒，则， 当时，点在上运动，此时， 作交于点， ， ， ， ， 即， 解得， 此时的面积， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 则选项、选项错误； 当时，， 即表示与函数关系的图象经过点， 选项错误，选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是正确表示出时关于的函数解析式． 类型九、运用相似三角形解决最值问题 33．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接，     (1)求证： (2)最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据点E、F的运动速度可得，即可证； （2）由（1）可得，推出点落在以为直径的圆弧上，当点共线时，取最小值，此时可求出；作，利用相似三角形，可求出； 【详解】（1）解：在矩形中， 设运动时间为，则，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ，即， 故点落在以为直径的圆弧上，如图， 令中点为，运动时间为， 当点、、共线时，取最小值， ， ， ， 作， 则， ∴，， ，即， 解得：秒． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，涉及知识点较多，较为复杂；其中第（2）问判断出B、P、G共线时，取最小值． 34．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）① 利用矩形推出是正方形，根据直角互余得，再明，由全等性质得．② 通过矩形直角和，证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求出，再用勾股定理计算． （2）利用轴对称性质，作点关于的对称点 ，将转化为，根据三点共线时线段和最小确定周长最小时的位置；再通过作辅助线求长度，利用三角形面积不同表示方法求出最小值． 【详解】（1）①证明：当时， ∴矩形ABCD是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． （2）如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点H，在上取一点G，连接， 则D为的中点， ∵，为的垂直平分线， ∴， ∵为定值， ∴的周长为， 当点B，F，三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值，此时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 同理，得． 在中，由勾股定理，得． 当时，有最小值， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形、正方形性质，全等三角形、相似三角形判定与性质，勾股定理及轴对称 - 最短路径问题等；解题关键是利用图形性质找出角与边的关系，通过证明三角形全等、相似及运用轴对称性质转化线段来求解． 35．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）可通过证明三角形相似：，，，利用相似三角形的性质来求解的长 （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，过点作交的延长线于，通过同样利用全等三角形（）及勾股定理（），建立与的关系式；②先表示出的面积表达式，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 过点作交的延长线于， ，即， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的中位线， ， ， 在中，，，， ， 整理，得，， ②如图，过点作于，则四边形为矩形， ，，， , , 由①，； ， ， ， ， ， 当时，面积的最大值为16． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 ，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，不等式的性质等知识，构造辅助线，证全等、相似及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2)①；②当时，取最大值，最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用， （1）先证明，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①由（1）可得：，进而求得函数关系式； ②根据得出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴, ， ， 设正方形的边长为， ， 解得：， 答：这个正方形的边长是； （2）①在矩形中，，， ∴， ∴， ， ， ∴，即；     ②由题意得：， 当时，取最大值，最大值是． 33．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接，     (1)求证： (2)最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据点E、F的运动速度可得，即可证； （2）由（1）可得，推出点落在以为直径的圆弧上，当点共线时，取最小值，此时可求出；作，利用相似三角形，可求出； 【详解】（1）解：在矩形中， 设运动时间为，则，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ，即， 故点落在以为直径的圆弧上，如图， 令中点为，运动时间为， 当点、、共线时，取最小值， ， ， ， 作， 则， ∴，， ，即， 解得：秒． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，涉及知识点较多，较为复杂；其中第（2）问判断出B、P、G共线时，取最小值． 34．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）① 利用矩形推出是正方形，根据直角互余得，再明，由全等性质得．② 通过矩形直角和，证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求出，再用勾股定理计算． （2）利用轴对称性质，作点关于的对称点 ，将转化为，根据三点共线时线段和最小确定周长最小时的位置；再通过作辅助线求长度，利用三角形面积不同表示方法求出最小值． 【详解】（1）①证明：当时， ∴矩形ABCD是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． （2）如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点H，在上取一点G，连接， 则D为的中点， ∵，为的垂直平分线， ∴， ∵为定值， ∴的周长为， 当点B，F，三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值，此时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 同理，得． 在中，由勾股定理，得． 当时，有最小值， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形、正方形性质，全等三角形、相似三角形判定与性质，勾股定理及轴对称 - 最短路径问题等；解题关键是利用图形性质找出角与边的关系，通过证明三角形全等、相似及运用轴对称性质转化线段来求解． 35．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）可通过证明三角形相似：，，，利用相似三角形的性质来求解的长 （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，过点作交的延长线于，通过同样利用全等三角形（）及勾股定理（），建立与的关系式；②先表示出的面积表达式，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 过点作交的延长线于， ，即， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的中位线， ， ， 在中，，，， ， 整理，得，， ②如图，过点作于，则四边形为矩形， ，，， , , 由①，； ， ， ， ， ， 当时，面积的最大值为16． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 ，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，不等式的性质等知识，构造辅助线，证全等、相似及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2)①；②当时，取最大值，最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用， （1）先证明，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①由（1）可得：，进而求得函数关系式； ②根据得出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴, ， ， 设正方形的边长为， ， 解得：， 答：这个正方形的边长是； （2）①在矩形中，，， ∴， ∴， ， ， ∴，即；     ②由题意得：， 当时，取最大值，最大值是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $