专题06 规律探索的两大形式（高效培优专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题06 规律探索的两大形式 题型一：数字类探索 题型二：图形类探索 题型一：数字类探索 1．表示个的乘积，例如：表示15个3的积，则的个位数为（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 2．观察下列算式：，…，根据上述算式中的规律，推测的个位数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．把所有偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40…… 若现有等式表示正偶数是第组第个数（从左往右数），如，则（   ） A． B． C． D． 4．观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 6．下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（   ） 第1个图     第2个图       第3个图     第4个图             第8个图 A．315 B．645 C．965 D．1275 7．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 8．按规律填空：、、、、、（    ）、． A． B． C． D． 9．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（    ） A．156 B．158 C．160 D．162 10．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 那么，当输入数据为8时，输出的数据是（    ） A． B． C． D． 11．给出的数字之间存在一定的规律23，56，1130，5330，则下一个数字为（    ）． A．6780 B．11300 C．83150 D．11590 12．观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 13．《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．观察下列等式： ； ．．．．．． 根据以上规律计算的值是（　　） A． B． C． D． 15．数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 16．已知一列数中第一个数是2，从第二个数开始，每一个数都等于2与前一个数的倒数的差，则第2016个数是 ． 17．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数 ，计算， 将所得结果记为； 第二步：算出的各位数字之和得，计算 ，结果为； 第三步：算出的各位数字之和得，再计算 ，结果为；… 依此类推，则 18．观察排列规律，填入适当的数：，第个数是 ，那么第个数是 ． 19．有一个有规律的数串：，，，，，．( ) 20．小机灵编制了一个计算小程序（如下表），输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数．请根据发现的规律解决问题． ①输入3，输出14． ②输入7，输出30． ③输入15，输出62． （1）输入 ，会输出182． （2）如果输入a，会输出 21．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 22．探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 23．【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 24．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． 25．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 26．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第9行第7个数是 ； （2）2020是表中第 行第 个数． 27．计算： （1） （2） （3） 通过上面的运算结果，你一定得到了某个规律了吧！现请你接着完成以下的题目． 计算：（4） （计算结果允许保留 指数形式） （5）请问127这个数，它可以写成上面计算式子的左边形式吗？若能，请你将其式子形式写出来，若不能，请说明理由． 题型二：图形类探索 28．如图，是由一些火柴搭成的图案．摆成第①个图案需用5根火柴，摆成第②个图案需用9根火柴，摆成第③个图案需用13根火柴，…，按照这样的方式摆下去，摆成第几个图案需用121根火柴?（     ） A．20 B．25 C．30 D．36 29．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1需要4根小棒，图2需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒为（用含有n的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 30．如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根火柴棒，搭3条小鱼用20根火柴棒，按这样的方法搭n条小鱼，需要火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 31．■◇◇●●■◇◇●●■◇◇●●……，照这样的规律摆，第207个图形是（   ） A．■ B．◇ C．● D．无法确定 32．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第2025个图案中灰色小正方形的个数为（   ） A．8101 B．8100 C．8098 D．8099 33．如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第① 个图形中一共有4个小圆圈，第② 个图形中一共有10个小圆圈，第③ 个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑩个图形中小圆圈的个数为（　　） A．136个 B．166个 C．196个 D．199个 34．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，……，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．19 B．20 C．22 D．25 35．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆······，按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是（  ） A．51 B．66 C．74 D．78 36．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第22个图形中所有点的个数为（    ） A．528 B．529 C．530 D．531 37．如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　） A． B． C． D． 38．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有9个圆点，第③个图中有16个圆点，第④个图中有25个圆点……按照这一规律，则第⑦个图中的圆点个数是（   ） A．36 B．49 C．64 D．81 39．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用的（   ） A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 40．用小棒按照下图方式摆图形． 摆1个六边形需要6根小棒，摆3个六边形需要 根小棒，摆5个六边形需要 根小棒，摆个六边形，需要 根小棒． 41．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．根据第1-3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为 块． 42．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第6个图形中正方形的个数是 ． 43．黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去，第 个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个． 44．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第个图形一共有颗棋子，…，则第个图形中棋子的颗数为 ． 45．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 46．阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图： 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有： ，，………………3 条 ，……………………2 条 …………………………1 条 总的线段条数是， 所以可知4个队进行单循环比赛共比赛6场． (1)类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (2)类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (3)我们知道2018年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． (4)若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． 47．如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形。 古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，……称为“三角形数”； 把1，4，9，16，25，……称为“正方形数”． 同样，可以把数1，5，12，22，……，称为“五边形数”， 将三角形、正方形、五边形都整齐地由左到右填在所示表格里： 三角形数 1 3 6 10 15 21 a … 正方形数 1 4 9 16 25 b 49 … 五边形数 1 5 12 22 c 51 70 … (1)按照规律，表格中______，______，______； (2)观察表中规律，第n个“五边形数”是______． 48．奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 10 6 6 2 6 4 12 (1)观察图1，补全表格． (2)观察图1中的①、③、④可以发现，i每增加1时，面积增加_____；观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加 ．根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图2的面积． 49．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 50．【操作要求】小明在等边三角形内取一定数量的点，连同等边三角形的3个顶点，以这些点为顶点剪三角形，要求剪出最多的小三角形． 【问题提出】小明想知道当等边三角形内有40个点时，最多可以剪出多少个小三角形？ 【问题解决】（1）小明先分析了等边三角形内有1个点情况（如图1），最多可以剪出3个小三角形；在图1的基础上，增加一个点，形成了等边三角形内有2个点的两种情况：新增点在分割线外（图2﹣1）和在分割线上（图2﹣2），两种情况都最多可以剪出5个小三角形．小明得出结论：等边三角形内有2个点，最多可以剪出5个小三角形． ①小明在2个点的基础上，继续研究了等边三角形内有3个点的情况： （i）请在图2﹣1和图2﹣2中画出等边三角形内有3个点时最多能剪出的小三角形的情况； （ii）得出结论：等边三角形内有3个点，最多能剪出 个小三角形； ②当等边三角形内有4个点时，最多能剪出 个小三角形； ③发现规律：三角形内部的点每增加一个，最多可以剪出的小三角形个数增加 个； ④根据以上规律，当等边三角形内有n个点时，最多可以剪出的小三角形的个数是 个； ⑤当等边三角形内有40个点时候，最多可以剪出的小三角形的个数是 个． 【问题拓展】（2）将边长为1的等边三角形（图A1）每一条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作等边三角形，然后去掉底边得到图A2；将图A2的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图A3；再按上述方法无限多次继续作下去，得到的曲线An称为科克雪花曲线． ①图An中边的数量为 ；②图An中图形的周长为 ．（结果用含有n的代数式表示） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 规律探索的两大形式 题型一：数字类探索 题型二：图形类探索 题型一：数字类探索 1．表示个的乘积，例如：表示15个3的积，则的个位数为（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘方、数字规律等知识点，发现个位数的变化规律成为解题的关键． 先分别求得个位数字规律，并求得的个位数，然后再求的个位数即可． 【详解】解：，，，，，，以此类推，每4个数为一个循环，， 的个位数为：； ，，，，以此类推，每2个数为一个循环， 的个位数为： ， 的个位数为1． 故选A． 2．观察下列算式：，…，根据上述算式中的规律，推测的个位数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握此题的周期规律． 根据个位数的周期规律进行求解即可． 【详解】解：根据给出的数据的个位数字可得，结果的个位数以2，4，8，6顺序循环，循环周期为4， ∴， ∴的个位数字是6， 故选：C． 3．把所有偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40…… 若现有等式表示正偶数是第组第个数（从左往右数），如，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含n的代数式表示规律由此解决问题是解题的关键． 找到数字分布的规律，用代数式表示出每组数字的个数和最后一个数，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意知：第组中偶数的个数为个，知第组中最后一个偶数为， ∵第31组最后一个偶数为，而， ∴， 故选：C． 4．观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了归纳推理、尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式． 通过观察的末位数字规律，发现每个为一个周期循环，依次为；通过计算除以的余数，确定其对应的位置即可得到答案． 【详解】解：观察可得，个位数字按循环，周期为． ， 对应循环中的第个数字，即． ∴的个位数字是， 故选：A． 5．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示等式的规律是解题的关键．观察前4个等式，并依此类推，第个等式为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 依此类推，第个等式为， 当时，． 故选：A． 6．下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（   ） 第1个图     第2个图       第3个图     第4个图             第8个图 A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键．根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为：； 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半， 所以第n个方格中左下角的数字可表示为：； 每个方格右上角数字比左上角的数字大5， 所以第n个方格中右上角的数字可表示为：． 当时，． 又因为， 所以． 故选：B． 7．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 8．按规律填空：、、、、、（    ）、． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，观察数列的规律，发现每个数都是自然数的平方，因此第六个数应为的平方，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：观察可知，，，，，，， ∴空缺处应为， 故选：． 9．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（    ） A．156 B．158 C．160 D．162 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，依据题意，正确发现规律是解题关键．由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数，即可求解． 【详解】解：由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数， ∴图中阴影部分的两个数分别为左下的数是12，右上的数是14， 则， 故选：B． 10．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 那么，当输入数据为8时，输出的数据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据给定的数字，得到输出数字的分子与输入数字相同，输出数字的分母为输入数字的平方加1，进行求解即可． 【详解】解：观察可知：输出数字的分子与输入数字相同，输出数字的分母为输入数字的平方加1， ∴当输入数据为8时，输出的数据是； 故选D． 11．给出的数字之间存在一定的规律23，56，1130，5330，则下一个数字为（    ）． A．6780 B．11300 C．83150 D．11590 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律的探究能力，解题的关键是将已知数字拆分为对应的两部分，通过计算每部分的数字和与数字积，确定组合生成下一个数字的规律． 先将第一个数 拆为2和3，计算其数字和、数字积，组合得第二个数；再将拆为5和6，计算数字和、数字积，组合得第三个数；接着将拆为和，分别计算两部分的数字和并相加得5，结合数字积相关结果得3，组合前半部分且保留后半部分，得第四个数；最后将拆为和，计算的数字和与的数字和并相加得的数字积与的数字积组合得，最终组合和得到下一个数． 【详解】解：通过拆分数字、计算数字和与积探究规律： 拆为2和3：，组合得(第二个数)； 拆为5和6：，组合得(第三个数)； 拆为和30：11的数字和的数字和的数字积，结合的十位3得3，组合前半、保留后半，得(第四个数)； 拆为和30：的数字和的数字和的数字积的数字积，组合，最终与组合得． 故选：C． 12．观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 13．《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键． 根据每次截取的长度都是前一次截取剩余长度的一半求出第1天到第5天截取的长度，再相加即可. 【详解】解：第1天截取的长度为米， 第2天截取的长度为米， 第3天截取的长度为米， 第4天截取的长度为米， 第5天截取的长度为米， 故第1天到第5天一共截取的长度为（米）． 故选：A 14．观察下列等式： ； ．．．．．． 根据以上规律计算的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律． 先求出规律，再计算即可． 【详解】∵； ； ； …… ； ， 当时， ∴． 故选：A． 15．数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 16．已知一列数中第一个数是2，从第二个数开始，每一个数都等于2与前一个数的倒数的差，则第2016个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意，列出前几个数，不难得出，从而可求解． 【详解】解：把第n个数记为，由题意得：， ， 不难发现规律， 第2016个数为． 故答案为：． 17．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数 ，计算， 将所得结果记为； 第二步：算出的各位数字之和得，计算 ，结果为； 第三步：算出的各位数字之和得，再计算 ，结果为；… 依此类推，则 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类规律探索，解答本题的关键是发现数字的变化特点，总结出规律．根据题意依次计算出、、、，总结规律，发现每3个一循环，则，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， 由上可得，这列数字依次以，，循环出现，每3个一循环， ， ． 故答案为： ． 18．观察排列规律，填入适当的数：，第个数是 ，那么第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律，根据已知准确找出规律是解决问题的关键．由每一个数的绝对值恰是对应序号的平方，可用表示，而前面的符号，奇数项为正，偶数项为负，可以用表示，从而找出规律求解． 【详解】解：由每一数的绝对值恰是对应序号的平方，可用表示，而前面的符号，奇数项为正，偶数项为负，可以用表示， 第个数是；第个数是； 故答案为：，． 19．有一个有规律的数串：，，，，，．( ) 【答案】 【分析】本题考查简单的数列排列规律，通过分析相邻两个数之间的差值，找出规律是解题的关键．观察数列，，，，，，发现相邻两数的差依次为，，，，，均为几个3相乘积（，，，，），因此下一个差为个相乘，再与前一个数相加即可． 【详解】计算相邻两数的差： ， ， ， ， ， 根据规律，下一个差为， 括号内的数为， 故答案为：． 20．小机灵编制了一个计算小程序（如下表），输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数．请根据发现的规律解决问题． ①输入3，输出14． ②输入7，输出30． ③输入15，输出62． （1）输入 ，会输出182． （2）如果输入a，会输出 【答案】 45 【分析】本题考查数字规律型，根据表格中的数据总结归纳出输入n，输出，进而求解即可． 【详解】解：由表可得，①， ②， ③，⋯， ∴输入n，输出， （1）， ∴， 故答案为：45； （2）输入a，会输出， 故答案为：． 21．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)201 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用． （1）根据规律进行计算便可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分n为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断； （3）分k为奇数和偶数，分别列出方程进行解答． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第15个数是； 故答案为：；； （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍）， 当n为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）解：当k为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当k为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 22．探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类及有理数的乘方运算，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果； （2）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由图得：，有1项； ，有2项； ，有3项； ，有4项； ，有5项； ∴共有项， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 23．【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 【答案】(1)①，，3；② (2) (3) 【分析】本题考查了数字类变化规律，理解题意，找出规律是解答本题的关键． （1）根据倒数差的定义进行计算，求出，，，的值； （2）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，由此得到答案． （3）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，每个周期3个数的积为，中，有2025个数，即675个周期，由此计算出答案． 【详解】（1）解：①；；； 故答案为：，，3； ②； （2）解：根据（1）中规律可得以，，3循环， ∵， ∴． （3）解：，， ∴ ． 24．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据给出算式的规律进行求解即可； （2）根据给出算式的规律进行求解即可； （3）根据倍数关系和给出的算式的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 25．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 故答案为： （3）解： ． 26．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第9行第7个数是 ； （2）2020是表中第 行第 个数． 【答案】 71 45 84 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （1）根据第n行最后一数为，得出第一个数为，根据每行数的个数为的奇数列，即可得出数字个数为，即可求出第9行第7个数； （2）根据，可得2020在第45行，根据第45行数字个数为，通过计算即可得2020是表中第45行，第84个数． 【详解】解：（1）由题意知第n行最后一数为，则第8行的最后一个数是64， 所以第9行第1个数是65， 所以第9行第7个数是71． 故答案为：71； （2）由（1）知第n行的最后一数为， 则第一个数为：， 第n行共有个数； 因为， ， 所以第45行有89个数，最后一个数是2025， 所以2020在第45行，第84个数． 故答案为：45，84． 27．计算： （1） （2） （3） 通过上面的运算结果，你一定得到了某个规律了吧！现请你接着完成以下的题目． 计算：（4） （计算结果允许保留 指数形式） （5）请问127这个数，它可以写成上面计算式子的左边形式吗？若能，请你将其式子形式写出来，若不能，请说明理由． 【答案】（1）7；（2）15；（3）31；（4）；（5）能，见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现等式各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）根据所给算式进行计算即可； （3）根据所给算式进行计算即可； （4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题； （5）结合（4）中发现的规律即可解决问题． 【详解】解：． 故答案为：7； （2）解：． 故答案为：15； （3）解：． 故答案为：31； （4）解：由上面的运算结果可知， ， 当时， ． 故答案为：； （5）解：能，理由如下： 因为， 所以． 题型二：图形类探索 28．如图，是由一些火柴搭成的图案．摆成第①个图案需用5根火柴，摆成第②个图案需用9根火柴，摆成第③个图案需用13根火柴，…，按照这样的方式摆下去，摆成第几个图案需用121根火柴?（     ） A．20 B．25 C．30 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】解：观察图形，得 图①用了5根火柴，即， 图②用了9根火柴，即， 图③用了13根火柴，即， … 图n用了根火柴， 根据题意得：， 解得， 所以摆第30个图案用121根火柴棒． 故选：C． 29．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1需要4根小棒，图2需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒为（用含有n的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，观察图案可知，每后一幅图案比前一幅图案多6根小棒，找出6与n的联系，找出规律即可求解． 【详解】解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多两个菱形，且多6根小棒， 图①需要小棒：根， 图②需要小棒：根， 图③需要小棒：根， 图④需要小棒：根， … 则第n个图案需要小棒：根， 故选：D 30．如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根火柴棒，搭3条小鱼用20根火柴棒，按这样的方法搭n条小鱼，需要火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据图形规律列代数式，解题的关键是通过分析搭1条、2条、3条小鱼所用火柴棒的根数，找出数量变化的规律，进而推导出搭n条小鱼所需火柴棒根数的表达式． 先列出搭不同数量小鱼对应的火柴棒根数：搭1条用8根，搭2条用根，搭3条用根；计算相邻数量小鱼所用火柴棒根数的差值，发现每多搭1条小鱼，火柴棒增加6根；再结合搭1条小鱼的根数，推导出搭n条小鱼时，火柴棒根数为初始值加上个增加的6根，化简后得到表达式，最后与选项对比． 【详解】解：由题意可知： 搭1条小鱼用8根火柴棒，即当时，根数为8； 搭2条小鱼用根火柴棒，即当时，根数为； 搭3条小鱼用根火柴棒，即当时，根数为； 可见每多搭1条小鱼，火柴棒增加6根． 则搭n条小鱼所需火柴棒根数为： 化简得： 故选：A． 31．■◇◇●●■◇◇●●■◇◇●●……，照这样的规律摆，第207个图形是（   ） A．■ B．◇ C．● D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了简单的周期排列规律，结合题意分析解答即可， 根据图示，是按照“■◇◇●●”每5个图形一个循环进行排列，用，结合余数确定第207个图形即可． 【详解】解：（组）（个）， 答：第207个图形是◇， 故选：B． 32．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第2025个图案中灰色小正方形的个数为（   ） A．8101 B．8100 C．8098 D．8099 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题干信息，得出第n个图案中灰色小正方形的个数为个．再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中灰色小正方形的个数为：； 第2个图案中灰色小正方形的个数为：； 第3个图案中灰色小正方形的个数为：； …， ∴第n个图案中灰色小正方形的个数为个． 当时， 即第2025个图案中灰色小正方形的个数为个． 故选：A 33．如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第① 个图形中一共有4个小圆圈，第② 个图形中一共有10个小圆圈，第③ 个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑩个图形中小圆圈的个数为（　　） A．136个 B．166个 C．196个 D．199个 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图形中一共有4个小圆圈，即； 第②个图形中一共有10个小圆圈，即； 第③个图形中一共有19个小圆圈，即； ， 按此规律排列下去， 第个图形中小圆圈的个数为： ； 所以第⑩个图形中小圆圈的个数为： ． 故选：B． 34．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，……，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．19 B．20 C．22 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查图形类规律探索；根据图形找出规律计算即可． 【详解】解：搭一个小正方形需要4根小棒，； 搭两个小正方形需要7根小棒， 搭三个小正方形需要10根小棒， 搭四个小正方形需要13根小棒，； 搭五个小正方形需要16根小棒，； 搭六个小正方形需要19根小棒，； ∴搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为19． 故选：A． 35．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆······，按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是（  ） A．51 B．66 C．74 D．78 【答案】C 【分析】本题考查图形的变换规律；根据图形得出第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 根据图形的排列规律得到：除去上面的2个圆，其余下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是个； 所以第8个图形中圆的个数个． 故选：C． 36．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第22个图形中所有点的个数为（    ） A．528 B．529 C．530 D．531 【答案】B 【分析】本题考查了图形类的规律探索，观察前面三个图形可知图n的点的个数为个，据此规律求解即可． 【详解】解：图1有个点， 图2有个点， 图3有个点， ……， 图n有个点， ∴第22个图形中所有点的个数为个点， 故选：B． 37．如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，n是大于2的正整数，据此规律可得，再根据半圆周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ……， 以此类推可得，，n是大于2的正整数， ∴， ∴以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为， 故选：B． 38．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有9个圆点，第③个图中有16个圆点，第④个图中有25个圆点……按照这一规律，则第⑦个图中的圆点个数是（   ） A．36 B．49 C．64 D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可得第个图中有个圆点，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， 第④个图中有个圆点， ……， 以此类推，可得第个图中有个圆点， ∴第⑦个图中的圆点个数是， 故选：C． 39．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用的（   ） A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，寻找规律列出代数式是解题的关键． 根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1个图案中有4个正方形； 第2个图案中有个正方形； 第3个图案中有个正方形； 第4个图案中有个正方形； …… 第个图案中有个正方形； 故第2025个图案中有个正方形， 故选：D． 40．用小棒按照下图方式摆图形． 摆1个六边形需要6根小棒，摆3个六边形需要 根小棒，摆5个六边形需要 根小棒，摆个六边形，需要 根小棒． 【答案】 16 26 【分析】本题考查了图形的规律探索，解题的关键是通过分析摆不同数量六边形时小棒数量的变化，总结出通用规律． 根据题干图形得到需要的小棒规律，即可解题． 【详解】解：（1）根据图形可知，摆1个六边形，需要根小棒， 摆2个六边形，需要根小棒， 摆3个六边形，需要根小棒， 摆5个六边形，需要根小棒， 依次类推，摆个六边形，需要（）根小棒， 故答案为：；26；． 41．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．根据第1-3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为 块． 【答案】20 【分析】本题考查图形类变化规律，结合图形进行分析，注意前后两个图形之间的联系，找出规律是解题关键．观察图形可得白色瓷砖块数的规律为：第一个图案白色瓷砖块数为5，以后每个图案比前一个图案多3块白色瓷砖，即可得答案． 【详解】解：观察图形发现： 第1个图案中有白色瓷砖块数5， 第2个图案中白色瓷砖块数为， 第3个图案中白色瓷砖块数为， …… 第n个图案中，白色瓷砖是， 当时，， 故答案为：20 42．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第6个图形中正方形的个数是 ． 【答案】112 【分析】本题重点考查​学生观察、分析和归纳规律的能力​，​找出图形中正方形个数的变化规律是解题的关键． 根据图形规律求得答案即可． 【详解】观察图形可知： 第1个图形中小正方形的个数是， 第2个图形中小正方形的个数是， 第3个图形中小正方形的个数是， 第6个图形中小正方形的个数是， 故答案为：112． 43．黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去，第 个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个． 【答案】10 【分析】本题考查了图形规律，分析所给出的3个图案可得每增加1个黑正六边形，就增加4个白正六边形，即n个图形，其中的黑正六边形有n个，则白正六边形有个；图案中的白正六边形比黑正六边形多32个，即，由此求出n，即可解答． 【详解】解：观察图形可知，图形1：有6个白正六边形，可写成；有1个黑正六边形，可写成1×1； 图形2：有10个白正六边形，可写成：；有2个黑正六边形，可写成； 图形3：有14个白正六边形，可写成：有3个黑正六边形；可写成： …… 由此可知，每增加1个黑正六边形，就增加4个白正六边形，即n个图形，其中的黑正六边形有n个，则白正六边形有个； 又第n个图形中的白正六边形比黑正六边形多32个，得出： ， ， ， ， 即：第10个图形中的白正六边形比黑正六边形多32个． 故答案为：10． 44．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第个图形一共有颗棋子，…，则第个图形中棋子的颗数为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探索． 观察图形，找出规律，计算即可． 【详解】解：第个图形有颗棋子，即， 第个图形一共有颗棋子，即， 第个图形一共有颗棋子，即， ∴第个图形中棋子的颗数为：（颗）， 故答案为：． 45．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用等知识，找到规律是解题的关键． （1）分别求出第1种到第5种图案需要的花卉的盆数，即可求解； （2）分别求出第1种到第5种图案中每盆花卉的价格，即可求解； （3）根据（1）（2）所求得到规律，即可求解． 【详解】（1） 解：第1种图案需要花卉的盆数为， 第2种图案需要花卉的盆数为， 第3种图案需要花卉的盆数为， 第4种图案需要花卉的盆数为， 第5种图案需要花卉的盆数为， …… 第8种图案需要花卉的盆数为， 第n种图案需要花卉的盆数为， 故填表如下∶ 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 1 4 7 10 13 …… 22 …… （2）解：第1种每盆花卉的价格是5元 第2种每盆花卉的价格是（元） 第3种每盆花卉的价格是（元） 第4种每盆花卉的价格是（元） 第5种每盆花卉的价格是（元） …… 第n种每盆花卉的价格是元； （3）解：当时，需要花卉的盆数为，每盆花卉的价格元， ∴第18种花的总价是元． 46．阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图： 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有： ，，………………3 条 ，……………………2 条 …………………………1 条 总的线段条数是， 所以可知4个队进行单循环比赛共比赛6场． (1)类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (2)类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (3)我们知道2018年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． (4)若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． 【答案】(1)15 (2) (3)48 (4) 【分析】本题考查了列代数式，理解题目中得到的规律是解题关键． （1）根据题目中得到的规律列式计算即可； （2）根据题目中得到的规律列式计算即可； （3）根据题目中得到的规律求出每组4个代表队需要比赛场，再求出8个小组共需要比赛场次即可； （4）根据题目中得到的规律求出每个小组有n个队，需要比赛场，再求出m个小组共需要比赛场次即可； 【详解】（1）解：（场）， 故答案为：15； （2）解：（场）， 故答案为： （3）解：每组4个代表队需要比赛场， 则8个小组共需要比赛场， 故答案为：48； （4）解：每个小组有n个队，需要比赛（场）， 则m个小组共需要比赛场， 故答案为： 47．如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形。 古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，……称为“三角形数”； 把1，4，9，16，25，……称为“正方形数”． 同样，可以把数1，5，12，22，……，称为“五边形数”， 将三角形、正方形、五边形都整齐地由左到右填在所示表格里： 三角形数 1 3 6 10 15 21 a … 正方形数 1 4 9 16 25 b 49 … 五边形数 1 5 12 22 c 51 70 … (1)按照规律，表格中______，______，______； (2)观察表中规律，第n个“五边形数”是______． 【答案】(1)28，36，35 (2) 【分析】此题主要考查了图形的变化类问题． （1）首先根据前6个“三角形数”得出第n个“三角形数”是，据此求出a的值是多少；然后根据前5个“正方形数”可得第n个“正方形数”是，据此求出b的值是多少；最后根据前4个“五边形数”得出c的值即可； （2）根据（1）中五边形的规律，得出第n个“五边形数”是． 【详解】（1）解：前6个“三角形数”分别是： ， 第个“三角形数”是， ， 前5个“正方形数”分别是：， 第个“正方形数”是， ， 前4个“五边形数”分别是： ， ； 故答案为：28，36，35； （2）解：根据（1）中的规律得出：第个“五边形数”是； 故答案为：． 48．奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 10 6 6 2 6 4 12 (1)观察图1，补全表格． (2)观察图1中的①、③、④可以发现，i每增加1时，面积增加_____；观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加 ．根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图2的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)20 【分析】本题考查图形类规律探究，解题的关键是由已知图形抽象概括出相应的规律： （1）观察图形，分割法求出图④的面积，数出图⑤中内部格点数和边界格点数，进行作答即可； （2）根据表格数据，得到i每增加1时，面积增加1，b每增加1时，面积增加，进而得到； （3）利用（2）中结论进行计算即可． 【详解】（1）解：观察图形， 图④的面积为：，图⑤中内部格点数为6，边界格点数为14， 补全表格，如下所示： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 6 10 6 6 14 2 6 4 8 12 （2）观察①、③、④可以发现，，， 故：i每增加1时，面积增加1． 观察②和③，④和⑤可以发现，，， 故：b每增加1时，面积增加． 根据上述发现，可得：． （3）解：观察可知，图中内部格点数和边界格点数分别为和， 故： 答：图形的面积是20． 49．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 【答案】（1）12，18，36（2）当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个（3）需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色和白色菱形砖块数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现灰色，白色及小菱形总个数的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第2个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第3个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第4个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； …， 所以当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个； 当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个， 第n个图形中小菱形的总个数为个． 当时，； 当时，，． 故答案为：12，18，36． （2）由（1）知， 当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个． （3）由（1）知，当时，，， 所以需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖． 50．【操作要求】小明在等边三角形内取一定数量的点，连同等边三角形的3个顶点，以这些点为顶点剪三角形，要求剪出最多的小三角形． 【问题提出】小明想知道当等边三角形内有40个点时，最多可以剪出多少个小三角形？ 【问题解决】（1）小明先分析了等边三角形内有1个点情况（如图1），最多可以剪出3个小三角形；在图1的基础上，增加一个点，形成了等边三角形内有2个点的两种情况：新增点在分割线外（图2﹣1）和在分割线上（图2﹣2），两种情况都最多可以剪出5个小三角形．小明得出结论：等边三角形内有2个点，最多可以剪出5个小三角形． ①小明在2个点的基础上，继续研究了等边三角形内有3个点的情况： （i）请在图2﹣1和图2﹣2中画出等边三角形内有3个点时最多能剪出的小三角形的情况； （ii）得出结论：等边三角形内有3个点，最多能剪出 个小三角形； ②当等边三角形内有4个点时，最多能剪出 个小三角形； ③发现规律：三角形内部的点每增加一个，最多可以剪出的小三角形个数增加 个； ④根据以上规律，当等边三角形内有n个点时，最多可以剪出的小三角形的个数是 个； ⑤当等边三角形内有40个点时候，最多可以剪出的小三角形的个数是 个． 【问题拓展】（2）将边长为1的等边三角形（图A1）每一条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作等边三角形，然后去掉底边得到图A2；将图A2的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图A3；再按上述方法无限多次继续作下去，得到的曲线An称为科克雪花曲线． ①图An中边的数量为 ；②图An中图形的周长为 ．（结果用含有n的代数式表示） 【答案】【问题解决】（1）①（i）见解析；（ii）7；②9；③2④；⑤81；（2）①；② 【分析】本题主要考查了通过列举法探究图形规律等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．根据图形探究规律，三个点时依照2个点方式作图，进而即可推出n个点时有个小三角形，最后将代入求解即可； 2．①用列举法可发现每个图形“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，进而得到图中边的数量为； ②由图形规律可发现每一个图形的周长在前一个图形的基础上多了其周长的，进而即可得解． 【详解】解：（1）．①（i）如图， （ii）由图可知等边三角形内有3个点，最多能剪出7个小三角形， 故答案为：7； ②如图，当等边三角形内有4个点时，最多能剪出9个三角形， 故答案为：9； ③发现规律：三角形内部的点每增加一个，最多可以剪出的小三角形个数增加2个， 故答案为：2； ④根据以上规律，当等边三角形内有n个点时，最多可以剪出的小三角形的个数是个， 故答案为：； ⑤当时，， 故答案为：81； （2）．①等边三角形的边数为3， 即图A1中边的数量为3， 图A2中边的数量为， 图A3中边的数量为， 图A4中边的数量为， 图A5中边的数量为， …， 所以，我们发现每个图形“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍， ∴图中边的数量为， 故答案为：； ②观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个在第二个的基础上，多了其周长的， ∵图A1中的周长为3， ∴图A2中的周长： 图A3中的周长： 图A4中的周长： 图A5中的周长： ．．．．．． ∴图An中的周长：； 故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $