12.10 轴对称和轴对称图形（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.10 轴对称和轴对称图形 题型一 轴对称图形的识别 1．（24-25八年级上·北京东城·阶段练习）下面四个图形中，是轴对称图形的是（  ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求对称轴条数 5．（24-25八年级上·北京·期中）下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A．B．C． D． 6．（23-24八年级上·北京平谷·期末）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·北京·阶段练习）若一个正多边形的内角和与外角和的度数相等，则此正多边形对称轴条数为 ． 8．（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在 的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）      （1）请你画出三个图形关于直线 的对称图形； （2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（    ） A．直线是筝形的对称轴 B．对角线平分， C．对角线，互相垂直平分 D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半 11．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．MN垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 12．（21-22八年级上·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2： 连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 16．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 17．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上画出点P，使得最小，保留作图痕迹．（不需要尺规作图） 题型五 画轴对称图形 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴的轴对称图形，并写出的面积； (2)画出关于直线（直线上各点的纵坐标都为）的对称图形，写出点C关于直线的对称点的坐标． 19．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 20．（20-21七年级下·山东济南·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)的面积是 ； (3)若有一格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有 个； (4)在直线l上找一点Q，使的值最小． 21．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； (2)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个． 题型六 轴对称图形的设计 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形． 24．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案． (1)若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有_________种． (2)请在下面的备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴． 25．（20-21八年级上·北京海淀·期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形 （1）画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴； （2）满足题意的涂色方式有______种． 题型一 折叠问题 26．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（   ） A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 29．（24-25八年级上·北京顺义·期中）将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ． 30．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 题型二 镜面对称 31．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是 ． 32．（24-25七年级下·吉林长春·期末）从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是 ． 34．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 题型三 台球桌面的轴对称图形 35．（23-24八年级上·北京石景山·期末）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明． 锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”． 36．（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 37．（22-23八年级上·北京海淀·期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 38．（20-21八年级上·北京·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可） （1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q； （2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q． 题型四 轴对称中的光线反射问题 39．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 40．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 41．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 42．（22-23八年级上·全国·课后作业）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）． 43．（23-24八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 44．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．    (1)直接写出和的度数（用含的式子表示）； (2)探究线段、、满足的等量关系，并证明； (3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值． 45．（23-24八年级上·北京海淀·期中）设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”． (1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度”______； (2)设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标：______； (3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围：______． 46．（22-23八年级上·江苏常州·期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的． 【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H． 【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________． 47．（21-22八年级上·北京西城·期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度． 在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)． （1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线， ①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ： ②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ． （2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值． （3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.10 轴对称和轴对称图形 题型一 轴对称图形的识别 1．（24-25八年级上·北京东城·阶段练习）下面四个图形中，是轴对称图形的是（  ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答的关键．根据轴对称图形的定义:沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,依次判定即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意， B、不是轴对称图形，故此选项符合题意， C、是轴对称图形，故此选项不符合题意， D、是轴对称图形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C、D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 题型二 求对称轴条数 5．（24-25八年级上·北京·期中）下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．据此判断每个图形的对称轴，即可解答． 【详解】解：A、等腰三角形有1条对称轴； B、等边三角形有3条对称轴； C、长方形有2条对称轴； D、正五边形有5条对称轴． 因此对称轴最多的图形是正五边形． 故选：D 6．（23-24八年级上·北京平谷·期末）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁的部分完全重合．根据轴对称图形的定义判定即可． 【详解】解：A、对称轴是3条，本选项不符合题意； B、对称轴是4条，本选项符合题意； C、对称轴是2条，本选项不符合题意； D、对称轴是6条，本选项不符合题意； 故选：C． 7．（21-22八年级上·北京·阶段练习）若一个正多边形的内角和与外角和的度数相等，则此正多边形对称轴条数为 ． 【答案】4 【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，求得多边形的边，再利用正多边形的性质可得答案． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意（n-2）•180°=360°， 解得n=4． 所以正多边形为正方形， 所以这个正多边形有4条对称轴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，解一元一次方程，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°，也考查的正多边形的对称轴的条数． 8．（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在 的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）      （1）请你画出三个图形关于直线 的对称图形； （2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数． 【答案】（1）见解析；（2）4条 【分析】（1）找出各图形的关键点，从点向对称轴引垂线并延长相同长度，就可找到各点的轴对称点，然后顺次连接就是． （2）根据图可知这个整体图形共有4条对称轴． 【详解】答：（1）所画图形如下所示： （2）这个整体图形共有4条对称轴． 【点睛】本题考查了轴对称变换的作图问题，注意作轴对称图形的关键是找到关键点的对称点． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折图形的性质，解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形，利用折叠的性质，正方形的性质，以及图形的对称性特点解题． 【详解】解：由折叠可知：，点，是关于的对称， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 故选：A． 10．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（    ） A．直线是筝形的对称轴 B．对角线平分， C．对角线，互相垂直平分 D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半 【答案】C 【分析】本题根据对称轴的定义可判断A项，根据题意证明，利用全等三角形性质和角平分线的判定，可判断B项，根据垂直平分线判定可判断C项，再利用三角形面积公式可判断D项，即可解题． 【详解】解： ，，， ， 直线是筝形的对称轴， A结论正确，故A项不符合题意； ，， 对角线平分，， B结论正确，故B项不符合题意； ，， 对角线垂直平分， C结论错误，故C项符合题意； 记对角线，相交于点， 筝形的面积为， ， 筝形的面积等于对角线与的乘积的一半， D结论正确，故D项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、轴对称图形的定义、角平分线的判定，熟练掌握相关性质判定并灵活运用即可解题． 11．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．MN垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，则选项B正确；由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，故选项A正确；两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，故选项C正确；直线、直线的交点一定在对称轴上，故选项D错误．　 故选：D． 【点睛】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 12．（21-22八年级上·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题． 【详解】由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C； 由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D； 故选：A． 【点睛】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答． 13．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．由翻折的性质得，结合利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得，， 又， ． 故选：B． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 15．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2： 连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，根据两点之间线段最短，轴对称的性质，以及三角形的三边关系逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是，此时路径最短，为：，即方案3的路径最短； 如图：方案1与方案3比较：，则两点重合， ∴ ∴，故方案1的路径比方案3的路径长； 方案2和方案3比较：如图，连接， 则：，故方案2的路径比方案3的路径长； 方案4和方案3比较：如图，连接， 则：，故方案4的路径比方案3的路径长； 综上：方案3的路径最短； 故选C． 16．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 17．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上画出点P，使得最小，保留作图痕迹．（不需要尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点A关于直线l对称的点H，连接交直线l于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线l对称的点H，连接交直线l于点P，点P即为所求． 在直线l上任取一点D，连接， 易证明，， 由于，故当点D与点P重合时，最小，则点P即为所求． 题型五 画轴对称图形 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴的轴对称图形，并写出的面积； (2)画出关于直线（直线上各点的纵坐标都为）的对称图形，写出点C关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，点的坐标是 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，画轴对称图形，熟练掌握网格特点并准确作图是解题的关键； （1）作点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可，然后用割补法求面积即可； （2）作点A，B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可，然后得出点的坐标． 【详解】（1）如图所示即为所求． ； （2）如图所示即为所求． 点的坐标是． 19．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 【答案】(1)画图见详解，点，，的坐标分别为，， (2)见解析 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，利用轴对称求最短距离问题，熟练掌握利用轴对称的性质作图与求最短距离是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再首尾顺次连接即可，然后根据所作图形可得，，三个点坐标； （2）作出点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即是点D的位置，此时，最小，即可得到结论； 【详解】（1）解：如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，． （2）解：如图，点D即为所求． 20．（20-21七年级下·山东济南·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)的面积是 ； (3)若有一格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有 个； (4)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)4 (4)见解析 【分析】（1）分别作出三顶点A、B、C关于l的对称点、、，再依次连接即可； （2）利用割补法结合网格的特点即可求解； （3）根据网格特点作出线段的垂直平分线后，即可确定点P的个数； （4）连接交直线l于点Q，则点Q满足条件要求． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：； 故答案为：5； （3）解：作出线段的垂直平分线，如图， 则满足条件的格点有4个； 故答案为：4； （4）解：如图，连接交直线l于点Q，则点Q满足的值最小． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，作线段垂直平分线，两点间线段最短，割补法求图形面积等知识． 21．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； (2)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个． 【答案】(1)图见解析 (2)10 【分析】本题考查了画轴对称图形、等腰三角形的定义，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，与坐标轴的交点有2个，则有2个以为底的等腰； 综上，所有符合条件的点有10个， 故答案为：10． ． 题型六 轴对称图形的设计 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】解：如图，即为所求作：    23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可． 【详解】 【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 24．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案． (1)若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有_________种． (2)请在下面的备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义，进行作图确定即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图，共有6种涂法． 故答案为：6； （2）解：方案和对称轴如下： 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于灵活运用轴对称图形的定义，按要求画出轴对称图形． 25．（20-21八年级上·北京海淀·期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形 （1）画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴； （2）满足题意的涂色方式有______种． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可； （2）根据（1）中的作图即可得出结论． 【详解】解：（1）如解图①~③所示（选其中一种即可）：         （2）如上图，共有3种． 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 题型一 折叠问题 26．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 27．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 28．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（   ） A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故②错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到的周长，故④正确． 【详解】解：∵沿着直线折叠得到， ， 平分， ∴故①正确； ∵沿着直线折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿着折叠得到， ， ， ， ， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴的周长，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 29．（24-25八年级上·北京顺义·期中）将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得到，由周长的计算即可求解． 【详解】解：将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∵的周长为 ， 故答案为：8 ． 30．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 【答案】(1)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 (2)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，根据折叠性质可得：，证出，，得出点与点F重合，在中，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形； 中，， ， 将沿折叠，得，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴线段组成的三角形是直角三角形． （2）解：线段组成的三角形是直角三角形， 证明：如图， 将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，    根据折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点与点F重合， 如图，则在中，， ∴线段组成的三角形是直角三角形． 题型二 镜面对称 31．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是 ． 【答案】 【分析】镜面图形与实际图形互为轴对称图形．钟表的时针实际指向9和10之间，分针指向25． 【详解】解：作对称图形如下： 则此时的准确时间是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 32．（24-25七年级下·吉林长春·期末）从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是 ． 【答案】GFT2567 【分析】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是：GFT2567． 故答案为：GFT2567． 34．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 题型三 台球桌面的轴对称图形 35．（23-24八年级上·北京石景山·期末）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明． 锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称在生活中的应用，涉及轴对称的性质，等腰三角形的性质等，作点M关于的对称点，连接交于点P，根据垂直平分，可得，，根据等腰三角形三线合一可得，结合，即可证明． 【详解】解：如图，作点M关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求； 证明：点与点M关于对称， 垂直平分， ，， ， ， ，即． 36．（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 37．（22-23八年级上·北京海淀·期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 38．（20-21八年级上·北京·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可） （1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q； （2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作点P关于AB是对称点，连接Q交AB于M，点M即为所求． （2）作点P关于AB是对称点，点Q关于BC的对称点，连接Q交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求． 【详解】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求． （2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型四 轴对称中的光线反射问题 39．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 40．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 41．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 42．（22-23八年级上·全国·课后作业）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据 ，可得，进而得出利用同旁内角互补，两直线平行加以证明； （2）根据，得出利用三角形的外角性质证明即可； （3）分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可． 【详解】（1）解： 理由如下：在中， ， ， ， ； （2）． 理由如下：在中， 在中， ； （3）或 如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得 ， 根据平行线性质，得： ， ∴ ； 如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得 ， 根据三角形外角性质，得： ∴． ∴的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，数学的分类思想，三角形内角和定理，类比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键． 43．（23-24八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据自定义的含义先画出简易图形，再利用图形解答即可； （2）利用轴对称的性质，分别求解，的坐标即可； （3）先画出简易图形，确定相应的两个临界图形，如图，当，重合，且落在直线上时，如图，当，重合，且落在直线上时，再结合正比例函数的性质可得答案； （4）先画出简易图形，结合图形可得，当的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点时，直线、与双变换图形的两边相交，从而建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时， ，如图， ∴，； （2）∵，而， ∴直线在的右侧，而， ∴点C的单变换图形点的坐标为， ∴点C的双变换图形点的坐标为； （3）∵点，，， ∴，， 如图，当，重合，且落在直线上时，    ∴，解得：， ∵点，，， ∴，， 如图，当，重合，且落在直线上时， ∴，解得：， ∴当单变换图形与双变换图形有公共点时，m的取值范围为． （4）∵点，，， ∴，， 如图，当的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点时，    ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，一元一次不等式组的应用，正比例函数的图象，自定义的含义，本题难度较大，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 44．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．    (1)直接写出和的度数（用含的式子表示）； (2)探究线段、、满足的等量关系，并证明； (3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)1 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，结合角的和差运算可得，再利用三角形的外角的性质可得； （2）连接，在上截取，连接．证明， 再证明，可得，，可得．再证明，可得，再结合线段的和差可得结论； （3）如图，过作于，连接，，则，证明，，求解，，结合当，重合时，最小，则最小，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，而， ∴， ∵， ∴； （2）； 证：连接，在上截取，连接． ∵点是点关于直线的对称点， ∴，． ∵， ∴， ∴，．    ∵为等边三角形， ∴，． 在与中 ∵，，， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． （3）如图，过作于， 连接，，则， ∵为的中点，， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∵，则， ∴， 当，重合时，最小，则最小， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 45．（23-24八年级上·北京海淀·期中）设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”． (1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度”______； (2)设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标：______； (3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围：______． 【答案】(1) (2)或． (3)或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出底边的高为1，再根据“胖瘦度”的定义求出k； （2）根据“逐梦三角形”的定义，等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直分三种情况讨论，由点坐标结合“胖瘦度”，求出底边和底边的高即可解答， （3）根据“逐梦三角形”的定义，分P在正方形内和外两种情况以及“逐梦三角形”底边的高小于5，“胖瘦度”，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：如图，    ∵是底边长为2的等腰直角三角形， ∴， 又∵是高， ∴， ∴等腰直角的“胖瘦度”； 故答案为：， （2）设以P，Q为顶点的“逐梦三角形”为， 因为，点Q为y轴正半轴上一点，故该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，有三种情况，、 ①当为底边时，若轴，如图：    则底边上的高长为， ∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”， ∴， ∴， ∴此时点Q坐标为， ②当为底边时，若轴，为底边的高，如图：    则底边长为， ∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”， ∴， ∴， ∴此时点Q坐标为， ③当为底边时，若轴，为底边的高，如图：    则底边上的高长为， ∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”， ∴， ∴， ∴此时点Q坐标为， 综上所述：点Q的坐标或． （3）①当时，点P在正方形内，如图：    此时点P到正方形边的两个较小距离，， 若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，则，， ∴，解得， ②当时，点P与点A的重合，此时正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且， ③当时，点P在正方形外，如图： +    此时点P到正方形边的两个较小距离，， 若正方形边上存在点使得，的“逐梦三角形”满足且， 当点Q在上，为“逐梦三角形”底边的高时，， ∵，即， ∴底边的一半为：， ，不等式无解，故此此时不存在点； 当点在上，为“逐梦三角形”为底边一半时，，， ，解得， ∴即时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且， 当点在上，为“逐梦三角形”高时，，“逐梦三角形”为底边一半为：， ，不等式无解，故此此时不存在； 当点在上，为“逐梦三角形”为底边一半时，“逐梦三角形”为底边为：，底边的高为：， ，解得，即时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且， ④到、的距离大于5，故、没有满足条件的点， 综上所述：当或或时不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和定义，坐标与图形，不等式的应用，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．理解新定义，学会用数形结合、分类讨论解决问题是解题关键． 46．（22-23八年级上·江苏常州·期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的． 【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H． 【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________． 【答案】操作思考：见解析； 猜想验证：；见解析； 应用拓展： 【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象． 猜想验证：作，，点P、Q关于函数的图像对称，可证明得到，从而得到，，进而可得到点坐标； 应用拓展：在中，平分，构造全等三角形，可得点在关于的对称线上，又因为点C在射线上，所以点为直线和直线的交点坐标．求出直线和直线的解析式，即可得到答案． 【详解】操作思考： 猜想验证： 猜想点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为 证明：作轴，垂足为I，连接． 点P、Q关于函数的图像对称， ，， ， ， ，即． 在和中， ， ，， ． 应用拓展： 如图3，过作交延长线于，交直线于 ∵ ∴直线为的图象 ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴、关于直线对称 ∵， ∴ 设直线为 ∴ ∴， ∴直线为 又∵直线为 ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键． 47．（21-22八年级上·北京西城·期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度． 在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)． （1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线， ①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ： ②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ． （2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值． （3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值． 【答案】（1）①；②0；（2）；（3）4或1或-9 【分析】（1）①作图，求出，再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可得到； （2）根据求△ABC关于直线的对称度的最大值，即是求最大值即可； （3）存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即转变为APQ是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数． 【详解】解：（1）①当时，根据题意作图如下： ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据折叠的性质， ， ， 关于直线的对称度的值是：， 故答案是：； ②如图： 根据等腰三角形的性质，当时，有 , ABC关于直线的对称度为1， 故答案是：0； （2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值， 则需要使得最大，如下图： 当时，取到最大， 根据，可得为的中位线， ， ， △ABC关于直线的对称度的最大值为：； （3）若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1， 即为等腰三角形即可， ①当时，为等腰三角形，如下图： ， ； ②当时，为等腰三角形，当Q在P右侧时，如下图： ， ； 同理，当Q在P左侧时，t=-9 ③当时，为等腰三角形，如下图： 设，则， 根据勾股定理：， ， 解得：， （不是整数，舍去）， 综上：满足题意的整数的值为：4或1或-9． 【点睛】本题考查了三角形的折叠，对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是读懂题干信息，搞懂对称度的概念，再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $