专题10 相似三角形的热考模型（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题10 相似三角形的热考模型 目录 2 类型一、“A”字相似模型 2 类型二、“8”字模型 4 类型三、射影定理 6 类型四、三角形内接四边形模型 8 类型五、一线三等角模型 9 类型六、手拉手相似模型 12 类型七、角含半角模型 15 类型八、对角互补模型 17 19 类型一、“A”字相似模型 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 2．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在中，是边的垂直平分线，E为的延长线上一点．过点 E 作于点F，交于点M．若，，，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 3．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 4．（2025·安徽黄山·三模）如图，在中，点是边上一点，连接，已知，，，则 ． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，以为直径的经过点A，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)已知，，． ①求的半径；②求的长． 类型二、“8”字模型 6．（2025年安徽省滁州市天长市九年级中考二模数学试题）如图，E是的边的延长线上一点，且，与相交于点F，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025年安徽省淮南市部分学校中考模拟考试数学试卷（6月））如图，在矩形中，等边三角形的顶点恰好落在边上，与交于点．若矩形的面积为12，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（安徽省合肥市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考数学试卷）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 9．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 10．（19-20九年级上·山东德州·期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 类型三、射影定理 11．（2025年安徽省黄山市歙县中考模拟数学试题（4月））如图，是的斜边上的高，，，与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 12．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 13．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 14．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 15．（2021·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 类型四、三角形内接四边形模型 16．（2025年安徽省蚌埠市蚌山区中考三模数学试题）如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 17．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 18．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 类型五、一线三等角模型 19．（2025年安徽省滁州市天长市九年级中考二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数的图象上一点，，交反比例函数的图象于点，且满足，则的值是 ． 20．（2025年河南省商丘市梁园区中考二模数学试题）如图，在矩形中，，，是边靠近点的三等分点．动点在边上运动，过点作，交射线于点，若是线段的中点，则 ，当点从点运动到点时，点运动的路径长为 ． 21．（2025年山东省聊城市东昌教育集团等学校中考数学三模试题）如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 22．（陕西省西安爱知初级中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 23．（2025年安徽省合肥市蜀山区九年级质量调研检测三数学试卷）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 24．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 类型六、手拉手相似模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 25．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】（3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 26．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 27．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 28．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 类型七、角含半角模型 30．（2025·河南周口·三模）如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究． (1)他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程． (2)他设，． ①请你直接写出与的函数关系式． ②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质． 31．（23-24九年级下·河南·期中）综合与实践 【问题情境】 数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片，然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时，直线分别交射线于点，探究线段和的数量关系： 【特例猜想】（1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点和点重合时，线段和的数量关系为______． 【数学思考】（2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段和的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由． 【拓展探究】（3）在旋转过程中，当正方形的边长为，的面积也为6时，请直接写出的面积． 32．（2023·广西桂林·一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点． (1)老师提了一个问题：试证明． 小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题． 请帮小丽继续完成证明过程． 证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结； (2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、． ①小昆猜想：，请帮他给出证明； ②图2中始终与相等的线段有 ； ③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ． 类型八、对角互补模型 33．（24-25九年级上·福建泉州·期末）利用一副三角尺进行操作富有数学趣味．在一次数学课外活动中，小美和小好两位同学用一副三角板玩起了数学游戏．已知中，， (1)如图1，小美过点C作于D，再将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别交线段于点E、F． ①小美猜想：若点E是的中点，则点F也是中点．你认为小美的猜想是_______；（填“正确”或“不正确”） ②小好猜想：在如图1所示旋转过程中，的值始终保持不变．若正确，请你求出该定值；若不正确，请说明理由． (2)如果点D是中点，将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别与线段交于点E，F，如图2所示．在图形旋转过程中，的值保持不变，请求出此定值． 34．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 操作二：如图3，将直角三角板从图示位置绕点顺时针旋转． （3）若，当与矩形的一边平行时，直接写出的值． 35．（2024·湖北随州·模拟预测）点P在四边形的对角线上，直角三角板的直角边，分别交，边于点M，N． 【特例探究】（1）如图1，若O是边长为2的正方形对角线，的交点，当点Р在点O处时，无论三角板绕点O怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于______； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，改变点Р的位置（P在对角线AC上），若，则有． 下面是该结论的证明过程： 证明：过点P作于点G，作于点H， …… 请按以上证明思路完成剩余的证明过程； 【迁移探究】（3）如图3，在（2）的条件下，将“正方形”改为“矩形”，且，，其他条件不变．若，且过点B，直接写出的长． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 37．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）阅读理解：如图1，在直角梯形中，，，点P在边上，当时，易证，从而得到，解答下列问题．    (1)模型探究：如图2，在四边形中，点P在边上，当时，结论仍成立吗？试说明理由； (2)拓展应用：如图3，M为的中点，与交于点C，且交于F，交于G． ，，求的长． 38．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 39．（2025·内蒙古·模拟预测）【感知特例】（1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】（2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】（3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 40．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 41．（24-25九年级下·江西抚州·期中）综合与实践 (1)【模型发现】 在学习“全等三角形”后，数学兴趣小组发现了一些全等的基本图形，我们称其为模型．如图，已知，，，过点作直线，作于点，于点，则：，得，所以．通过作直角，构造全等三角形，此图形特点为直线上有三个直角，我们把此数学模型称为“一线三垂直”模型．若，，则的长是 (用含，的式子表示)． (2)【类比应用】 如图2，三角形纸片中，，，过点在的内部作一条射线，分别过点，作其垂线，垂足分别为，．若，．求纸片内切圆的半径． (3)【拓展变式】 如图3，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标是，点在的正半轴上含原点运动，点在的正半轴上含原点运动，且．设阴影部分的面积为． ①当时，的值是否会变化？若变化，说明理由，若不变，求出的值用含的式子表示； ②当时，请直接写出的最大值 和最小值 (用含的式子表示)． 42．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 43．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上． ①若，则______． ②若，与的周长分别为，则______，______． 【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长． 44．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）【模型呈现】 （1）如图1，的边与的边在一条直线上，，，，连接、，交于点F． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】 （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形的热考模型 目录 2 类型一、“A”字相似模型 2 类型二、“8”字模型 7 类型三、射影定理 14 类型四、三角形内接四边形模型 22 类型五、一线三等角模型 25 类型六、手拉手相似模型 38 类型七、角含半角模型 53 类型八、对角互补模型 61 69 类型一、“A”字相似模型 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据两组角分别对应相等的三角形是相似三角形，故，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 2．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在中，是边的垂直平分线，E为的延长线上一点．过点 E 作于点F，交于点M．若，，，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，由线段垂直平分线的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 3．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A． 4．（2025·安徽黄山·三模）如图，在中，点是边上一点，连接，已知，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，以为直径的经过点A，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)已知，，． ①求的半径； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据等腰三角形的性质，结合已知可得，进而根据切线的判定可得结论； （2）①证明，利用相似三角形的性质求得即可解答； ②根据相似三角形的性质得到，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径长是； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型二、“8”字模型 6．（2025年安徽省滁州市天长市九年级中考二模数学试题）如图，E是的边的延长线上一点，且，与相交于点F，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025年安徽省淮南市部分学校中考模拟考试数学试卷（6月））如图，在矩形中，等边三角形的顶点恰好落在边上，与交于点．若矩形的面积为12，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，证明，得到，再证明，得到，则，据此可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（安徽省合肥市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考数学试卷）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得，证明，即可求证； （2）利用，，得出，再证明，，得出，设，则，，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 10．（19-20九年级上·山东德州·期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【答案】（1）75，；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出即可求解； （2）过点B作交AC于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵∠，， ∴， ∴； 故答案为：75， ． 在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 （2）如图3中，过点B作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在中， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 类型三、射影定理 11．（2025年安徽省黄山市歙县中考模拟数学试题（4月））如图，是的斜边上的高，，，与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质和余角的性质可证，然后利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴与的面积之比， 故选：C． 12．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 13．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 15．（2021·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 类型四、三角形内接四边形模型 16．（2025年安徽省蚌埠市蚌山区中考三模数学试题）如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，熟练掌握性质定理是解题的关键． 设，则 ． 根据矩形的性质易证，再根据相似三角形的性质得出，然后将值代入化简，求出一元二次方程的解即可得出答案． 【详解】解：设，则 ． ， ． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 即， 即， 解得或 （负值舍去）， ∴，， ∴矩形 的面积为． 故选 C． 17．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 18．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 类型五、一线三等角模型 19．（2025年安徽省滁州市天长市九年级中考二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数的图象上一点，，交反比例函数的图象于点，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，是解题的关键． 过点A作轴于C，过点B作轴于点D，则，通过证得，得出，得，即可解得． 【详解】解：过点A作轴于C，过点B作轴于点D， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（2025年河南省商丘市梁园区中考二模数学试题）如图，在矩形中，，，是边靠近点的三等分点．动点在边上运动，过点作，交射线于点，若是线段的中点，则 ，当点从点运动到点时，点运动的路径长为 ． 【答案】 2 24 【分析】过点F作交延长线于点G，则得，则可求得，从而求得；确定出点M的运动路径为线段，利用相似三角形的判定与性质求得的长，由三角形中位线定理即可求得运动路径的长． 【详解】解：如图，过点F作交延长线于点G， 则； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵是边靠近点的三等分点， ∴， ∴； ∵M点是的中点， ∴， ∴， 即； 如下图，当点P与点A重合时，由前面证明知，则， ∴； 当点P与点D重合时，此时点F运动到点H，则四边形是矩形， ∴； 设的中点分别为N，Q，连接，则点M的运动路径为线段， ∵． 故答案为：2；24． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，动点问题等知识，利用三角形相似、确定出点M的运动路径是解题的关键． 21．（2025年山东省聊城市东昌教育集团等学校中考数学三模试题）如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，结合点C的坐标为，得到，再由中点的定义得到点E的坐标为，代入到，即可求出反比例函数的表达式； （2）设与轴交于点，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求出的长，通过证明四边形是矩形得到，再证明得到，代入数据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：正方形， ，，， 点C的坐标为， ， ， 点E为的中点， ， 点E的坐标为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，设与轴交于点，则， 由（1）得，， ，轴， ，， 由翻折的性质得，， ，， 轴， ， ，， 四边形是矩形，， ， ，， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质、翻折的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22．（陕西省西安爱知初级中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 23．（2025年安徽省合肥市蜀山区九年级质量调研检测三数学试卷）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形和正方形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用一线三等角，证明即可解答； （2）在上截取，使，连接，证明，再通过角度的转换即可解答； （3）过点作的垂线交的延长线于点，利用（2）中性质可得，则可得即可解答． 【详解】（1）证明：如图，作的延长线， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ， ， ． ， ． ． ， ， ． ； （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点， 设菱形的边长为， ， ， ，由（2）知，， ， ， ， ， ． 24．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 类型六、手拉手相似模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 25．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 27．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 28．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键． 类型七、角含半角模型 30．（2025·河南周口·三模）如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究． (1)他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程． (2)他设，． ①请你直接写出与的函数关系式． ②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质． 【答案】(1)见解析 (2)①；②画图见解析，当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，画函数图象； （1）先证明，，即可证明； （2）①勾股定理求得，设，，根据（1）得出，进而得出与的函数关系式； ②根据列表，描点画出函数图象，结合函数图象，写出一条性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵在 中 ，，， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴， （2）解：①∵，， ∴ 设，． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ②列表， 描点连线，如图所示， 当时，随的增大而减小 31．（23-24九年级下·河南·期中）综合与实践 【问题情境】 数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片，然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时，直线分别交射线于点，探究线段和的数量关系： 【特例猜想】 （1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点和点重合时，线段和的数量关系为______． 【数学思考】 （2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段和的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由． 【拓展探究】 （3）在旋转过程中，当正方形的边长为，的面积也为6时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）正确，证明见解析；（3）6或30 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，继而得到本题答案； （2）连接，证明，利用相似性质得到，继而得到本题答案； （3）分两种情况讨论，当点在线段上时和当点在的延长线上时，对两种情况均利用面积求出，再利用勾股定理求出，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）∵等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，三角板旋转到点和点重合时， ∴， ∵正方形纸片， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）正确，证明如下： 连接， ， 由题意知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）根据题意可知可分为两种情况讨论： ①当点在线段上时，过点作于点， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点， ， ∵正方形的边长为，的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 32．（2023·广西桂林·一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点． (1)老师提了一个问题：试证明． 小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题． 请帮小丽继续完成证明过程． 证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结； (2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、． ①小昆猜想：，请帮他给出证明； ②图2中始终与相等的线段有 ； ③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）①由“”可证，可得，根据直角三角形中运用勾股定理，即可得结论； （2）①证明A，C，N，H四点共圆即可解题； ②证明，得到，然后根据等角对等边得到即可得到结论 ③连接，推导，则可得到，然后根据即可证明结论． 【详解】（1）由旋转可知：，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴A，C，N，H四点共圆， ∴， ∵， ∴； ②解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ， 由①可知， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：、； ③连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 类型八、对角互补模型 33．（24-25九年级上·福建泉州·期末）利用一副三角尺进行操作富有数学趣味．在一次数学课外活动中，小美和小好两位同学用一副三角板玩起了数学游戏．已知中，， (1)如图1，小美过点C作于D，再将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别交线段于点E、F． ①小美猜想：若点E是的中点，则点F也是中点．你认为小美的猜想是_______；（填“正确”或“不正确”） ②小好猜想：在如图1所示旋转过程中，的值始终保持不变．若正确，请你求出该定值；若不正确，请说明理由． (2)如果点D是中点，将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别与线段交于点E，F，如图2所示．在图形旋转过程中，的值保持不变，请求出此定值． 【答案】(1)①正确；②； (2) 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①证明，可得结论； ②证明可得结论； （2）如图2中，过点作于点，于点．证明可得结论． 【详解】（1）解：①小美的猜想正确． 理由：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点； ②结论：． 理由：， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图2中，过点作于点，于点． ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， 同法可证， ． 34．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 操作二：如图3，将直角三角板从图示位置绕点顺时针旋转． （3）若，当与矩形的一边平行时，直接写出的值． 【答案】（1）；4 （2）①，理由见解析 ② （3）或或或 【分析】（1）过点P作，垂足分别为G，H，则，证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解； （2）①如图，过点P作，垂足分别为L，K，则，证明，可得，再证明，可得，从而得到，即可；②解答方法同①； （3）分四种情况讨论，即可求解 ． 【详解】解：（1）如图，过点P作，垂足分别为G，H，则， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4 （2）①，理由如下： 如图，过点P作，垂足分别为L，K，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； ②同理①得：， ∵， ∴； （3）在矩形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 如图，当， 且点E在点P的下方时，此时， ∴； 即； 如图，当， 且点E在点P右边时， 此时， ∴， 即； 如图，当， 且点E在点P上方时， ∴； 如图，当， 且点E在点P左边时，此时， ∴； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，勾股定理，利用类比思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 35．（2024·湖北随州·模拟预测）点P在四边形的对角线上，直角三角板的直角边，分别交，边于点M，N． 【特例探究】（1）如图1，若O是边长为2的正方形对角线，的交点，当点Р在点O处时，无论三角板绕点O怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于______； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，改变点Р的位置（P在对角线AC上），若，则有． 下面是该结论的证明过程： 证明：过点P作于点G，作于点H， …… 请按以上证明思路完成剩余的证明过程； 【迁移探究】（3）如图3，在（2）的条件下，将“正方形”改为“矩形”，且，，其他条件不变．若，且过点B，直接写出的长． 【答案】（1）1；（2）详见解析；（3） 【详解】本题考查正方形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，即可解题； （2）过点P作于点G，作于点H，证明即可得到结论； （3）过点P作于点G，作于点H，则，得到，然后证明，即可解题． 解：（1）解：∵是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ； （3）过点P作于点G，作于点H， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 37．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）阅读理解：如图1，在直角梯形中，，，点P在边上，当时，易证，从而得到，解答下列问题．    (1)模型探究：如图2，在四边形中，点P在边上，当时，结论仍成立吗？试说明理由； (2)拓展应用：如图3，M为的中点，与交于点C，且交于F，交于G． ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过相似三角形的对应边成比例即可解答； （2）利用相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理证得且；然后在直角中由勾股定理求得；最后利用相似三角形的对应边成比例以及在直角中利用勾股定理来求的长度即可． 【详解】（1）解：∵，（已知）， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 当时，，即且． ∵M为的中点， ∴，． 又∵， ∴，即：， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、三角形外角定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 38．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 39．（2025·内蒙古·模拟预测）【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， ∴， ， 即； （2）解：成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，为定值， ∴当有最大值时，有最小值是． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 40．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 41．（24-25九年级下·江西抚州·期中）综合与实践 (1)【模型发现】 在学习“全等三角形”后，数学兴趣小组发现了一些全等的基本图形，我们称其为模型．如图，已知，，，过点作直线，作于点，于点，则：，得，所以．通过作直角，构造全等三角形，此图形特点为直线上有三个直角，我们把此数学模型称为“一线三垂直”模型．若，，则的长是 (用含，的式子表示)． (2)【类比应用】 如图2，三角形纸片中，，，过点在的内部作一条射线，分别过点，作其垂线，垂足分别为，．若，．求纸片内切圆的半径． (3)【拓展变式】 如图3，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标是，点在的正半轴上含原点运动，点在的正半轴上含原点运动，且．设阴影部分的面积为． ①当时，的值是否会变化？若变化，说明理由，若不变，求出的值用含的式子表示； ②当时，请直接写出的最大值 和最小值 (用含的式子表示)． 【答案】(1) (2) (3)①②，． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、求特殊三角形的内切圆的半径，解直角三角形的应用，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等解答； （2）证明得对应边相等，求得，勾股定理求得的长，进而求得内切圆的半径； （3）①过点作轴于点，轴于点，证明得出，即可得出； ②证明，得出，根据 ，进而求得的最小值与最大值，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ． 故答案为：． （2）解：， ． 又， ． ． ． 在和中， ． ． ， ． ， ． ． 在中， 纸片内切圆的半径． （3）解：①过点作轴于点，轴于点， ． ∵点的坐标是， ． ， ． ∴ ． ∴； ②如图， ∵点的坐标是， ∴，即， 同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴当时，取得最大值为 当取得最大值时，取得最小值， ∵点在的正半轴上含原点运动，点在的正半轴上含原点运动， ∴当在原点时，取得最大值，即取得最大值 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴最小值为 故答案为：，． 42．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）图③的情况面积大；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】证明：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 43．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上． ①若，则______． ②若，与的周长分别为，则______，______． 【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长． 【答案】（1）①，②，；或 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质； （1）①根据得到，进而得到； ②设，表示出其他线段及周长后，根据可得计算即可； （2）延长、交于点，可证是等边三角形，进而证明，设，表示出和的边长和周长，最后根据求解即可． 【详解】（1）①∵等边三角形 ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设，则，， ∴周长分别为， 的周长分别为， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：，； （2）延长、交于点， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ，则 ∵，， ∴，，， ∴周长为， 的周长为， ∴代入可得， 解得， ∴或． 44．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）【模型呈现】 （1）如图1，的边与的边在一条直线上，，，，连接、，交于点F． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】 （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①由题意易得，，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证；②由①中的结论可进行求解； （2）连接、，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵，，， ， ， ，     ， ， ，， ； ②由①知，，， ； （2）如图，连接、， 在矩形和矩形中，，，， ，     又， ，     ，， ，， ， ， ， ，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $