数学试卷-【天壹联考】2026届高三入学考试

2026届高三入学考试 数学 答题卡 姓名 班级 贴条形码区 考 号 考生禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右面的缺考标记。 1,答题前，考生务必清楚地将自已的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条 正确填涂 形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条 填 注 形码粘贴在规定的位置。 涂 错误填涂 Y 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 X 事 字体工整、笔迹清楚。 0 例 项3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答 罗 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高三数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) G D卡 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高三数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效机密★启用前 2026届高三入学考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知维合A={∈R+0B=红∈R3<1,则AnB= A.(3,+∞) B.(-1,0) C.(-∞，0) D.(-∞，-1)U(0,+∞) 5i 2.已知复数之一十则乏的虚部是 B.-2 c n-号 3.将函数f(x)=cosx一six的图象向左平移p(0<p<x)个单位长度后得到函数g(x)的图象， 若g(x)为奇函数，则实数p的值为 A爱 B c D 4.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6,若底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA1的 中点，当侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好与AC交于点D,则AD等于 B A A.2 B.4 C.32 D.6-3√2 5.平面向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1， 则(a一c)·b= A.-5 B.5 C.1 D.-1 【高三数学试题第1页（共4页）】 6.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步 运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为 3：3：4,现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为 A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36 a x≥5 7.已知函数f(x)= ,数列{am}满足am=f(n),n∈N*,则“{am}为递增 -x2+2ax-19 x<5 数列”是“4≤a<5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 知双曲线C:之1a>0,b>0的右焦点为F2(2,0),若圆M:(z+2)2+(y一6) 存在点P使得PF,的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为 A.[2,+∞) B.[3,十∞) C.(1,2] D.(1,3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.下列说法正确的是 A.不存在三个事件A,B,C两两对立 B.若三个事件A,B,C两两互斥，则P(A)十P(B)+P(C)≤1 C.给定事件A,B,C,且P(C)>0,则P(AUB|C)=P(AC)+P(B|C) D.已知数据x1,x2,…,x1的极差为4，方差为2，则数据2x1十1,2x2十1，…，2x10十1的极差 和方差分别为8,4 10.已知数列{an}的通项公式为an=√3(n一1)十1，前n项和为Sm,数列{bn}满足nbn=Sm,则下 列说法正确的是 A6是公若为的等卷数列 B.b2026是{an}中的项 C数列a")是单调递增数列 D.数列{am}中存在三项能构成等比数列 11.已知函数f(x)=2lnx+kx2-5,g(x)=2x21nx（参考数据：e3=20.086,ln2=0.693,ln5= 1.609),下列说法正确的是 A.当k=一1时，f(x)的最小值为6 B.若f(x)≤0恒成立，则k的取值范围为（一∞，一e6] C.若g(x)=a有两个零点x1,x2,则x十x>2 D,若f(x)≤g(x)恒成立，则k的最大整数值为2 【高三数学试题第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知(x十y)”的展开式共有9项，则展开式中x2y6的系数为 13.已知O为坐标原点，F是抛物线C:x2=4y的焦点，A,B是C上位于y轴异侧的两点，且 1AF=3,△0AB的面积为则AD1- 14.函数f(x)=sin2x+2sin4z的值域为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2c,a=3√7.向量m=(√3b,a), n=(cosA,sinB),m⊥n,点M在边BC上，AM是角A的平分线. (1)求角A; (2)求AM的长. 16.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PAD⊥底面ABCD,△PAD 为正三角形，E,F分别是棱AD,DC的中点，点G在侧棱PD上，且PG:GD=3：1. (1)求证：PB∥平面EFG; (2)若PB⊥BC,求二面角F一EG一D的余弦值. G D 【高三数学试题第3页（共4页）】 17.15分)已知椭圆C:+y =1a>6>0)的离心率为5 ,且经过点A(-2,0),B(2,0).过点 M(1,0),斜率为k(k≠0)的直线与椭圆C交于C,D两点，直线AC,BD分别与直线x=1交于 点E,G (1)求椭圆C的方程； EM (2)求GMT 的值. 18.(17分)已知函数f(x)=lnx+mx. (1)若直线2x一y一1=0与曲线y=f(x)相切，求m的值； (2)讨论f(x)的零点个数； (3)若方程f(x)=x有两个解x1,x2(x1<x2),证明：3x3,x4∈(x1,x2),使得f'(x3)f'(x4)=1. 19.(17分)在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操 作.为生成密钥序列A,现定义一个简单的加密算法Hk,它的作用是在第k(k∈N*)轮对密钥 片段进行一次变换.具体变换规则如下：若k为奇数，则H。将在第k轮变换中让序列A。-1的奇 数项的值增加1，偶数项的值减少k;若为偶数，则H。将在第k轮变换中让序列Ak-1的奇数 项的值增加2k,偶数项的值减少2.若初始密钥序列A。=[0,0,0,0,0,0,0,0],Am=Hn（Am-1) (n∈N*),则加密序列Am的所有项之和为am.已知数列{bn}的前n项和为Tm,且满足3Tm= 4bm-1. (1)写出A4,并求出bm; (2)求an; (3)证明：之 /a2k(a2十2) k= bi ∠66. 【高三数学试题第4页（共4页）】2026届高三入学考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】B 【解析】A={x|-1<x<3},B={xx<0},A∩B={x|-1<x<0} 2.【答案】D 【解行1=年”5宁=的军为-2 5i 3.【答案】C 【解析】函数f(x)=巨cos(女+）gr)=f(x十p)=巨cos(e十十)小，由函数g)为奇函数，得十g 4 2+km,k长7p=至+x而0<9<x,则k=0,9=至 4 4.【答案】D 【解折】设水面与CB交于点E,∠ACB=0.则号CDCE·n-号×CA,CB·sin9,所以CD·CE CA·CB,又因为DE∥AB,故咒需得(D:=CA:=18,解得CD=3E,故AD=6-3E. 5.【答案】C 【解析】如图，建立平面直角坐标系， 则a=(2,2),b=(1,-2),c=(-1,1), 所以a-c=(2,2)-(-1,1)=(3,1), 所以(a-c)·b=3×1+1×(-2)=1. 6.【答案】A 【解析】P=0.4×0.3+0.3×0.3十0.35×0.4=0.35. 7.【答案】B a>1 【解析】由“{am}为递增数列”可以得到f(x)= ,解得了<a<5所以a,为递增数列"是 -16+8a-19<a “4≤a<5”的必要不充分条件. 【高三数学试题参考答案第1页（共8页）】 8.【答案B 【解析1设双曲线C的一条痛近线方程为y=名，即b:一4y=0。 PF2的中点N(x,y),P(x0,yo),圆M:(x+2)2+(y-6)2=4,xw=2x-2,yo=2y, 又P(x0,y0)在圆M上，满足(xw十2)2十(y0-6)2=4,故(2x一2十2)2+(2y一6)2=4， 即x2+(y-3)2=1,故N(x,y)在圆x2+(y-3)2=1上， 又N在渐近线上，所以圆心(0,3)到b.x一ay=0的距离 -3a≤1， √a2+br 8a2≤b2=c2-a2,即9a2≤c2,即e=C≥3. a 9.【答案】AB 对于A:事件A与事件B对立，由对立事件定义知事件C不能和A与B同时对立. 对于B:若三个事件A,B,C两两互斥，则P(A)十P(B)+P(C)=P(AUBUC)≤1 对于C:当A,B互斥时，P(AUB|C)=P(A|C)+P(B|C): 当A,B不互斥时，P(AUB|C)<P(A|C)+P(BC),C错误. 对于D:极差为8，方差为8，故D错误. 10.【答案】AC 【解析】因为am=√3(n一1)十1，{am}是以a1=1为首项，d=3为公差的等差数列， 所以s.=n+nn,1D×5. 2 所以6，--1+(。-1》，即h是6，=1为首项，为公老的等差数列故A正确： n 直十(2026-1D=120253士50-1)，无整数解，故bm6不是a,中的项，B眉 2 a2=5(m-1)+1_25(n-1)+2_2[B(n-1)+2]-2=2 2 一是单调递增数列，故C正确： (n-1D+1 W3(n-1)+2 √3(n-1)+2 3(n-1)+ 2 设数列{an}中任意三项am=√3(n-1)+1,am=√3(m-1)十1，a6=3(k一1)十1， 则an≠am≠a,假设am,am,a成等比数列，则[√3(m-1)+1]=[3(n-1)+1][√3(k-1)+1], 即3(m-1)2-3(n-1)(k-1)=√3(n+k-2m), m+k-2m=0 因为m,n,k是正整数，所以 ,所以(k一n)2=0,即k=n, (m-1)2=(n-1)(k-1) 与an≠a矛盾，所以数列{an}中的任意三项均不能构成等比数列，D错误. 【高三数学试题参考答案第2页（共8页）】 11.【答案】BCD 【解析】对于A:当k=-1时，f(x)=2ln.x-x2-5=ln.x2-x2-5.令t=x2,则f(x)=h(t)=lnt-t-5, M()=-1>0解得0<1<1，A()在(0,1)递增，在(1，十)递减，f()的最大值为A1)=-6无最小 值，故A错误； 对于Bf()0,即i+50,得长5，令1=，得k←5，>0) h)=51m,h'()=二6+1>0，得>e,h)在(0，e)递减，在(e,十oo)递增，h()的最小值为h(e) t =一e6.即≤一e6,B正确； 对于C:gx)=2x2nx=x21nx,令1=x2,则原命题等价于()=lnt=a有两个零点1t2,4十t,>2 '()=1+l>0得>。，故A()在(0，。)单调递减，在(。，+∞)单调递增，故0<t1<。<<1.构造 函数H)=a()-b(径Hr')=h')+h'(总-=2+（总-）当0<日（总-）<是，则 H()<0,H)在(0，已)单调递减.由H(日)=0得故H)>0(0<1<)由0<4<。，得H) Aa6(后小>0则4a,)A≥（层-小又：>2>a在（日）单调递增， 故，>名-，即4十≥2C正确： 对于D,lnx+x≤r1nr+5,得k≤-1)ln+5(令4=r t 令A)=15.则=6=50 t t2 4=n4仁2_2n2》<0存在，∈（4,5)使得'(，)=+ln-6-0. 42 42 2<h(5)=n5+5_4X1.609+5<3, 5 h(4)=3n4+5_61n2+5_6x0.693+5>2 4 4 h(xo)<h(5),h(xo)<h(4),又k≤h(xo),所以k的最大整数值为2. 12.【答案】28 【解析】由已知得n=8,所以展开式中x2y6的系数为C8=C=28. 18.【答案】号 【解析】由题意可知，OF|=1,不妨设点A在第一象限，由AF|=3得A(2√2,2)， 【高三数学试题参考答案第3页（共8页）】 [x2=4y x=一 设B(x,y)在第二象限，则 号122y-2x 32,解得 1 ,即B(-E,）所以AB 2 y2 (32)+ 9 14.【答案】 353√5 4,4Γ 【解析】函数f(x)=sin2x+ sin4r的值城等价于f(x)=sinr十sin2x的值城.由f'(x)=cox十cos2z =2c0s2x+c0sx-1=(2c0sx-1)(c0sx+1), 令f()=0得x=T, —，元、 当x∈，时，f>0,fx)为增画数，当肾号)时f)0f)为减函数。 当xe(,2x]时，f'(x)>0,f(x)为增函数，易知函数f)的周期是2x,当x∈[0,2]时， f(货）3(2x)=0,所以)的最大值为25.又f)为奇函数，故)的最小值为3 3W5 4 15.【解析】(1).m⊥n,.m·n=0, .√3 bcosA+a sinB=0, 2分 ∴.sinAsinB=-√3 sinB cosA, 又sinB≠0，.tanA=-√5， 又0°<A<180°，∴.A=120°.… …6分 (2).AM是角A的平分线，AC=2AB, .BC=√c2+(2c)2-2·c·2c·cos120=3√7 得C=3,…9分 又S,aw+SaCw=Sa得号AB·AM·sin60+ AC·AM·sim60=3AB:AC,sn120r. 代人解得AM=2.…13分 16.【解析】(1)如图，连接AC,BD交于点H,设BD交EF于点K,连接GK, 因为四边形ABCD为菱形，所以H为线段BD的中点. 因为点E,F分别为棱AD,DC的中点， 所以点K为线段DH的中点，所以BK=3DK. G 又PG=3DG,所以PB∥GK. Ec-1 又PB丈平面GEF,GKC平面GEF,所以PB∥平面EFG.…6分长A 【高三数学试题参考答案第4页（共8页）】 (2)如图，连接PE,因为△PAD为正三角形， E是AD的中点，所以PE⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,所以PE⊥底面ABCD, 因为在菱形ABCD中，AD∥BC,PB⊥BC,所以PB⊥AD, 又PE∩PB=P,所以AD⊥平面PBE,所以AD⊥BE, 又E是线段AD的中点，所以AB=BD, 由已知AB=AD,所以△ABD为正三角形.…9分 故以E为坐标原点，以EA,EB,EP所在直线为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系Eyz. 设AB=12,则E(0,0,0),C(-12,63,0),D(-6,0,0),F(-9,33,0),P(0,0,63),G(-2,0, 9 3)=(-98,0(6,3） 11分 EF·n=0 -9x+3√3y=0 设平面EFG的法向量为n=(x,y,之)，则 ,不妨令x=1,则y=√5，之= EG·n=0 9,33 22 220 √5，.n=(1,√5，√5)，取平面DEG的法向量为m=(0,1,0),…13分 则o=n·m==Y,易知二面角F一EGD为锐角， 7 故二面角F-EG-D的余弦值为②T 7………15分 3 17【解析】(1)因为椭圆C的离心率为 ,且经过点A(-2,0), a=2, 所以= a2· 解得a2=4,b2=1. a2=b2+c2, G 所以椭圆C的方程为2十y…… …4分 (2)设C(x1,y1),D(x2y2),直线CD的方程为x=my十1，则联立 x=my+1 →(m2+4)y2+2my-3=0, 4+y2=1 -2m -3 得y1十y2= m2+4y1·y2=m2+4 …………6分 【高三数学试题参考答案第5页（共8页）】 又c=1十2 =y1×22-2y1Xmy:-1=myy?-y1 k BD …9分 y2 21+2 y2 my1+3 y2 myiy:+3y2 x2-2 -2m y+y2= m2+4 由 →-20→m,·3Cy2,代人上式得： -3 y1·y23 2 y1·y= m2+4 3(y1+y2) k AC 2 一y1 kBD 3(y1+y2) 3 12分 2 +3y2 EM EM 又C= 3 3,所以Eu 1 GM GM 听=1………“ 15分 BM 1 18.【解析】(1)设切点为A(y),f(c)=十m,则f()=1十m=2,. 2分 又，=2a。-1.即1a+mw=2z,-1,即1r+x(2-) =2x-1, 解得2=1，故m=2=1.…… 4分 Ina (2)f(.x)=ln.x+m,x=0台-m= ,…6分 令8a)=g)= 当0<x<e时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 且limg(x)=-0∞，limg(x)=0,……8分 了十 结合图象知 当m≥0或m=一二时，y=一m与y=g()的图象有1个交点，即f(x)的零点个数为1； 当-上<m<0时y=一m与y=g(x)的图象有2个交点，即f(x)的零点个数为2： 当m<一上时，y=一m与y=g(x)的图象无交点，即f(x)的零点个数为0.…10分 (3)只需证明f'(x)在(x1,x2)的值域是一个包含1的区间即可，………12分 由题意fx)=x,=1,2),即m=1n2(=1,2), 【高三数学试题参考答案第6页（共8页）】 由(2)知0<e<且f）=十m在12)单减…14分 注意到(c1=1十m=1十1-1n>1,f(c,)=1十m=1十1-1n2<1,于是证毕.…17分 19.【解析】(1)A4=[14,-8,14,-8,14,-8,14,-8].…2分 3Tn=4b,-1, n≥2时，3Tm-1=4bm-1-1,得3(Tm-Tm-1)=4bm-4bm-1, 即bn=4bn-1,b1=1,得bn=4"-1, 当n=1时也满足。 综上bn=4m-1(n∈N*).… ………4分 (2)经过H2-1变换，各项之和增加4[1一(2k一1)门=8-8k, 经过H24变换，各项之和增加4(4k一2)=16k一8 故经过H2-1,H两轮变换，各项之和增加8一8k十16k一8=8k …6分 as=28k=8·(1+2+3+…十)=8×1tmn=r2+4n 2 故当n为偶数时，an=n2十2n,……8分 当n为奇数时，am=am-1十4(1-n)=(n-1)2+2(n-1)十4-4n=n2-4n十3 n 一4n十3，n为奇数 综上an …10分 n2十2n,n为偶数 (3)因为 /a2k(a2k+2) a干2a2< /a26+2a2s+1 /(a26+1)2 = bi =n 5= 所以 0(a2干2<2a4+1-分4k2+4k十1 …12分 =N 法一（错位相减） 记T,=266+1,则 2-1 工=+号翠如2+如2初中 2-2 ① 9125,49, 工2=女+8+…+”4n十1+4n+4n ①一②得 2-7 【高三数学试题参考答案第7页（共8页）】 2”1 令R,=15+登+学 2++8m-8+8m 2m-3十2-2’ P9+4+…+8+, 248 2m-2十2m 8n 8n 1 -24+2 2n-4, 卫=480十代人(*)得 ......... 16分 T,=66-”+2_4n2+4n+1 2n-5 2m-1 <66.…… 17分 法二（裂项相消法） 含+中1 2(8(k-1)2+40(k-1)+668k2+40k+66 26-1 b=1 27 分 ………14分 =66 8×12+40×1+668×12+40X1+66_8×22+40X2+66+ 2 2 22 …+8(n-1)2+40(n-1)+668n2+40m+66 2n7 2" …16分 =668n十40n十6666. 20 …17分 【高三数学试题参考答案第8页（共8页）】