精品解析：2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（二）

2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（二） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最大的一个是（ ） A. B. 0 C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】比较各数的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最大的数为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法． 2. 如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看得到的图形即可求解． 【详解】解：从上面可看到一个圆，它的底还有一个看不见的圆，用虚线表示， 故选C． 3. 截至北京时间2022年5月1日8时，全球累计确诊新冠肺炎（COVID-19）病例超过513200000例，将513200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法计算法则，积的乘方计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键 5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. x> B. x< C. x≥ D. x≤ 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，得：1-2x≥0， 解得x≤． 故选D． 6. 如图，把一块三角板的角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，由题意知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95， 95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95； 这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数． 8. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN＝8米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 4米 B. 24米 C. 16米 D. 48米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点M、N分别为AC和BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AB＝2MN＝16（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余5尺，将绳子三折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？” 设绳子长x尺，木条长y尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余5尺，将绳子三折再量木条，木条剩余2尺，可以列出相应的方程组． 【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺， 由题意可得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 10. 对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，， 当时，，， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 当时，， 当时，，， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 综上所述，，的最大值是当所对应的的值， 如图所示，当时，， 故选：C 【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 12. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是，，，，则这4名同学中3次数学成绩最稳定的是_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵s甲2=3.6，s乙2=4.6，s丙2=6.3，s丁2=7.3， ∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2， ∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据解析式可知二次函数的对称轴为x=-1，由x≥2时，y随x的增大而减小可知a<0；根据二次函数的对称性可知﹣4≤x≤1，x=1时y取最大值9，代入解析式可得关于a的方程，解方程即可得答案. 【详解】y=ax2+2ax+3a2+3整理得y=a(x+1)2+3a2-a+3， ∴对称轴为：x=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而减小， ∴a<0， 由二次函数的对称性可知:当﹣4≤x≤1时，在x=-1时y取最大值为7， ∴a-2a+3a2+3=7， 解得：a=-1或a=， ∴a=-1. 故答案为-1 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，根据自变量的取值范围确定函数的最大值是解题关键. 14. 如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 【答案】36 【解析】 【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案． 【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以． 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质． 15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为__________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据点D和点M关于AE对称，即可得到AD与AM相等，确定点M的运动轨迹是以A为圆心AD为半径的圆上，通过圆外一点到圆的最短距离是A、M、C三点共线时，再算出AC长和AM相减，即可求出结果． 【详解】解：如图所示，连接AM， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为1， ∴AC==， ∵点D与点M关于AE对称， ∴AM=AD=1， ∴点M在以A为圆心，AD长为半径的圆上， ∴连接AC与圆A的交点即为CM最小时M的位置， ∴CM的最小值=AC=AM=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查旋转的性质、圆的性质及点和圆的位置关系、轴对称性质、勾股定理，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方，零次幂，二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简负整数指数幂，乘方，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算二次根式的加减运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 超级计算机，简称“超算”，随着超算的发展、算力的提升，使人工智能的发展也达到了新的高度，我国先后研发出了“天河一号”和“天河二号”超级计算机． （1）已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．求一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ （2）我国在2023年正式发布了新一代超级计算机“天河星逸”，其每秒计算次数为“天河二号”的11倍．计算605亿亿次，一台“天河星逸”所用的时间比一台“天河二号”少100秒，求一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ 【答案】（1）一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次 （2）一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用： （1）设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次，根据一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次，列出方程组进行求解即可； （2）设一台“天河二号”每秒平均计算次数为亿亿次，根据计算605亿亿次，一台“天河星逸”所用的时间比一台“天河二号”少100秒，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次，由题意，得： ，解得：， 答：一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次； 【小问2详解】 设一台“天河二号”每秒平均计算次数为亿亿次，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴， 答：一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 【答案】（1）图见解析 （2）；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）按照要求作出图形即可； （2）由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，同理可得，于是可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由平行四边形的判定可得结论；进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证，于是可得结论． 【小问1详解】 解：如图，用尺规作的角平分线交点； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， 同理可得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， 进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证， ， 四边形是平行四边形， 结论如下： 作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形， 故答案为：；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），平行四边形的判定与性质，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握作角平分线（尺规作图）的方法以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验． （1）小明抽到实验的概率为___________； （2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率， 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），画出树状图，根据每种结果出现的可能性相同，确定所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有A，B，C，D四个试验，小明抽到实验D的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出树状图， ， 可知每种结果出现的可能性相同，一共有16种可能出现的结果，小明和小敏抽到同一个试验的有4种，所以小明和小敏抽到同一个试验的概率是． 20. 我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证： 步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象； 步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象； 步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律． （1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）． （2）根据图象，回答下列问题： ①函数的图象是由反比例函数的图象向______平移______个单位长度后得到的． ②函数的图象的对称中心是______．（填点的坐标） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数． 【答案】（1）见解答；（2）①右，2；②（2，0）；（3）1． 【解析】 【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y=的图象，根据图象即可得到结论． 【详解】解：（1）列表： x … -2 -1 0 1 3 4 5 … y … - - - -1 -2 2 1 … 描点、连线（如图所示）， （2）①函数y=的图象是由反比例函数y=的图象向右平移2个单位长度后得到的． ②函数y=的图象的对称中心是（2，0）， 故答案为右，2；（2，0）； （3）由题意可知，反比例函数的图象也遵循“上加下减”的平移规律， 如图所示，画出函数y=的图象， 方程的根的个数即函数y=与函数y=的图象交点的个数， 由图象可知，函数y=与函数y=的图象只有一个交点， ∴方程的根的个数为1． 【点睛】本题考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，数形结合是解题的关键． 21. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； 小问3详解】 ∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题， 第22小题13分，第23小题14分，共21分． 22. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM． （1）当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明； （2）当MOAB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长； （3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】（1）相切，证明见解析 （2）当时，点在优弧上移动的路线长为时，线段的长为，当点在优弧上移动的路线长为时，线段的长为； （3） 【解析】 【分析】（1）由已知△AMO边长用勾股定理的逆定理可证明∠AMO＝90°，即可得到AM与优弧相切； （2）由已知可知∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，根据当MOAB时，分∠AOM＝60°或∠BOM＝30°用解三角形即可解答； （3）由图易知△ABM的AB边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于AB的直线上，用解三角形即可求出最小高和最大高，进而求出△ABM的面积为S的取值范围． 【小问1详解】 解：AM与优弧相切． 理由如下： ∵AO＝6，OM＝2，AM＝， ∴OM2+AM2＝OA2， ∴∠AMO＝90°， ∴ OM⊥AM， ∵OM为半径，OM⊥AM 于点M ， ∴AM与优弧相切； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ，， 当时，点位置有两种情况： （Ⅰ）如解图1，当点在直线的上方时，过点作，交于， ， ， ，， ， ， 的弧长； （Ⅱ）如解图2，当点在直线的下方时，过点作，交延长线于， ，， 同理可得，， ， ， 的弧长， 综上所述：当时，点在优弧上移动的路线长为时，线段的长为，当点在优弧上移动的路线长为时，线段的长为； 小问3详解】 解：由（2）可知，，，如解图3， （Ⅰ）由图可知，的边最小高为在时， ，， ， ， 的面积为的最小值为； （Ⅱ）在过点且垂直于的直线上时，的边的高最大，， 的边的高最大值为， 的面积为的最大值为， 的面积为取值范围为：． 【点睛】此题考查了圆的综合知识．在证明切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”，圆及解直角三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯通，灵活运用． 23. 已知二次函数． （1）若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． （2）若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 【答案】（1） （2）①；②见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴交点最多为1个时，不等式恒成立，利用判别式小于等于0即可； （2）①联立直线与抛物线，先求得点和，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用 ，，可知，推出，得证． 【小问1详解】 二次函数上的点恒成立不等式， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：①， ， ， ， 联立直线和抛物线，得到 解得，， 当时，，那么 当时，，那么 过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示： 时，有最大值，最大值为， 此时，且介于点，之间，符合题意； 最大值为； ②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示： 联立直线和抛物线，得到 ， ， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，一元二次方程与根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（二） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最大的一个是（ ） A B. 0 C. π D. 2. 如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截至北京时间2022年5月1日8时，全球累计确诊新冠肺炎（COVID-19）病例超过513200000例，将513200000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. x> B. x< C. x≥ D. x≤ 6. 如图，把一块三角板的角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 8. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN＝8米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 4米 B. 24米 C. 16米 D. 48米 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余5尺，将绳子三折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？” 设绳子长x尺，木条长y尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为_______. 12. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是，，，，则这4名同学中3次数学成绩最稳定的是_______． 13. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为______． 14. 如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算 （1） （2） 17. 超级计算机，简称“超算”，随着超算的发展、算力的提升，使人工智能的发展也达到了新的高度，我国先后研发出了“天河一号”和“天河二号”超级计算机． （1）已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．求一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ （2）我国在2023年正式发布了新一代超级计算机“天河星逸”，其每秒计算次数为“天河二号”的11倍．计算605亿亿次，一台“天河星逸”所用的时间比一台“天河二号”少100秒，求一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ 18. 在学习了平行四边形相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验． （1）小明抽到实验概率为___________； （2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率． 20. 我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证： 步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象； 步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象； 步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律． （1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）． （2）根据图象，回答下列问题： ①函数的图象是由反比例函数的图象向______平移______个单位长度后得到的． ②函数的图象的对称中心是______．（填点的坐标） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数． 21. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 五、解答题（三）：本大题共2小题， 第22小题13分，第23小题14分，共21分． 22. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM． （1）当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明； （2）当MOAB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长； （3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围． 23. 已知二次函数． （1）若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． （2）若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $