数学试卷-【天壹联考】2025年高二入学考试

机密★启用前 高二入学考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知集合A={-1,0,1,2,3,4},B={x|一1<x≤3}，则A∩B= A.{0,1,2} B.{0,1,3} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 2.已知(3一i)之=10i,则之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设a<b<0,则下列不等式中成立的是 A.a2<62 B√-a<√J-b C.a>6 4.已知单位向量m,n满足m⊥(m一2n),则<m,n>= A哥 B 2π 5π 0.6 5.若函数f(x)=(x2+mc)cos上的图象关于y轴对称，则m= A.-2 B.1 C.2 D.0 6.已知锐角a,B满足tan(a十B)=3tana=6tan3,则tan(a一B)= A号 B号 c号 7.设A,B为样本空间2中的两个随机事件，且n(2)=24,n(A)=12,n(B)=8,n(AUB)= 16,则 A.事件A与B互斥 B.P(A B)= C.事件A与B相互独立 2-3 D.P(AB+AB)= 【高二数学试题第1页（共4页）】 8.如图，棱长为2的正方体中，A,B,C均为顶点，P为所在棱的中点，若平面α∥PC,且A,B均在 平面α上，则平面α截正方体所得图形的外接圆面积为 A B.Ir 9π C. 4 D.9π 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知函数f(x)=, e7+2,则 A.f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,+∞) B.f(x)为奇函数 C.f(x)为R上的减函数 D.f(x)无最大值和最小值 10.已知球O为正方体ABCD一A1B1C1D1的内切球，且球O的表面积为4π，则 A.线段BD1的长为3 B.直线BC1与球O相切 C.△OB1C的面积为√2 D,直线OB与底面ABCD所成角的正弦值为3 11.设样本数据x1,x2,…,x8的平均数为元，方差为s.设y:=2x:十1，i=1,2,…,8,样本数据 y1,y2,…,yg的平均数为y,方差为s,则 A.2x=y-1 B.4si<s? c622,列=-1 .2y:-2a)2=s+1 082 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是其底面面积的2倍，则该圆锥的母线长 为 13.在矩形ABCD中，AB=2,点E为AD中点，BE⊥AC,则CA·CE= 14.设函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对于任意的正数x,y,都有f(x)十f(y)=f(xy),若 f(日)+f()=6,则f(2025)= 【高二数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=cosx,函数g(x)满足9f(x)+[g(x)-2]2=9,且g()=5. (1)求g(x)的值域； (2)求函数h(x)=f(x)十g(x)的最大值与最小值. 16.(15分)已知复数z1=2十ai(a∈R),i(1一z2)=1. (1)求之2十之2 (2)求|之1一之2|的最小值； (3)若之1之2的实部大于0，求a的取值范围. 17.(15分)暑假过后，长沙橘子洲头旅游景区为了更好地提升旅游品质，以便给游客带来更好的旅 游体验感，相关工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘 制成如下频率分布直方图. (1)求图中x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； 频率 组距 (3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在004 0.025 [50,60)内的有2人，评分在[70,80)内的有3人.现再从这5人中 0.018 随机抽取2人做进一步了解，求抽取的2人评分均在[70,80)内的0.002 05060708090100成绩分 概率. 【高二数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)如图，三棱柱ABC-DEF中，AB=AC,P,Q分别为线段BC,EF的中点，且AQ⊥平 面DEF. (1)证明：AD∥PQ； (2)证明：∠PQD为二面角P一EF一D的平面角； (3)若∠EAF=60°，且DE⊥DF,求二面角A一BC-Q的 大小. 19.(17分)在△ABC中，AC+AB=4,且cosA+2cos(A+)sim(A+3)=0. (1)求A; (2)求△ABC面积的最大值； (3)若D是△ABC边BC上的一点，且AE·Ad_AD·A ,证明AB·AC=4AD,并求 1ABI IACI DC的旅小值（提示：函数了）=x(1-)在区间（受，+∞）上单调递孩。 【高二数学试题第4页（共4页）】高二人学考试 数学 答题卡 姓 名 班级 贴条形码区 考 号 考生禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右面的缺考标记。 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条 正确填涂 形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条 注 形码粘贴在规定的位置。 涂 错误填涂 YI 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 X 事 字体工整、笔迹清楚。 0 例 攻 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答 罗 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 频率 组距 0.04 0.025 001 0.002: 05060708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效高二入学考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】C 【解析】由题意可得A∩B={0,1,2,3}.故选C. 2.【答案】B 【解折)因为3-D2101,所以之0=0”i3十D=-1十3i,则之在复平面内对应的点为 (一1,3)，位于第二象限，故选B. 3.【答案】C 【解析】对于A:因为a<b<0,所以a|>|b|,则a2>b2,故A错误；对于B:因为a<b<0,所以 一a>一b>0,所以√一a>√一b,故B错误；对于C:因为a<b<0,所以a>|b|,故C正确；对于D:因为 a3<0,所以>故D错误故速C 4.【答案】B 【解析】因为单位向量m,n满足m⊥(m一2n),所以m·(m一2n)=m2一2m·n=1一2m·n=0,则m·n= ,所以cos<m,n>=司，所以<m,n>=牙故选B. 5.【答案】D 【解析】由题意可得f(x)为偶函数，则f(-x)=(x2-mx)cos(-)=f(x)=(x十mx)cos,两边对应 相等可得m=0,故选D. 6.【答案】A 〖解析】由tana=2tanm3,可得tan(a+B)三a =6an9,得，3ang -2tanB=6tan9,又由B是锐角，得tan3 w1,所以neg》件02故这入 1 7.【答案】C 【解析】A选项：由n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB),则有16=12+8-n(AB),所以n(AB)=4≠0，即AB ≠☑，故A错误；B选项：因为AB=AUB,所以n(AB)=n(AUB), 又n(AUB)=n(Q)=n(AUB)=2416=8,所以n(AB)=8,所以P(AB)=0=2=3≠2，故B 【高二数学试题参考答案第1页（共5页）】 品-品提-兰3a》-言以p 错误，C选项：由P(A)=n(A)_121 =P(A)·P(B),所以事件A与B相互独立，故C正确；D选项：因为n(AB)=n(B)一n(AB)=8一4=4， n(Q)246,P(AB)=nAB=8_1 n(AB)=n(A)-(AB)=12-4=8,所以P(AB)=nAB)=4=1。 n(2)24-3, 事件A与B相互独立，所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)日+3-之≠故D指误故 8.【答案】C 【解析】如图，设Q,R为所在棱的中点，则有AQ∥PC,则经过点A,B,Q三点的平面即为符 A 合题意的平面a,则平面a截正方体所得图形为矩形ABQR,其中AB=2,BQ=√1十2= 5,故AQ=AB+B0-3,所以平面a截正方体所得图形的外接圆面积为xX() 9r,故选C. 9.【答案】ABD 【得折】迪e-1≠0，可得0，故A正确/e)=号2--)2巴所以(-) 一f(x),所以f(x)为奇函数，故B正确；f(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区间(0，十∞)上也单调递减， 在x=0处没有意义，故C错误；由函数的单调性知D选项正确.故选ABD. 10.【答案】BCD 【解析】对于A,因为球O的表面积为4π，所以4πr2=4π(r为球O的半径)，解得r=1,因为球O的半径为 号AB=1,得AB=2,则正方体ABCD-AB,CD,的边长为2，则BD,=5AB=2,,故A错误：对于B. 设线段BC1的中点为E,则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球O与平面BB,C,C切于点E,所以 直线BC,与球0相切，故B正确：对于C,因为OB,=OC=2BD,=5,B,C=2,厄，所以△OB,C的面积为 号×22×√B)-(-反，故C正确；对于D,直线OB与底面ABCD所成的角即直线BD,与底面 ABCD所成的角，即∠DBD1,所以直线OB与底面ABCD所成角的正弦值为 0后=故D正确， D B 故选：BCD. 【高二数学试题参考答案第2页（共5页）】 11.【答案】ACD 【解折15行之名名21)2红1，即2江了1，故A正确： 日-号2，=号空[2+1-(2互+1=4X名=故B错误： 8=1 8= 8含2，-)=名0，了-10=--1=-1故C正确： 8含名g.2日2g:-+1D=5含-)+含.可)+1+1，放D正确故读ACD 41 12.【答案】2 【解析】设底面半径为r,母线长为l,由题意πrl=2πr2,所以1=2r=2,故答案为2. 13.【答案】8 【解析】易知B定=C定-C=C元-C.C-C元+C,故由BE⊥AC可知 B苑.=0，即(C⑦-西)·(C市+)=0，显然元.C应=0，故市=，于是C=2E,C· C它=(C+CD)·(2Ci+CD)=2C+C市=8，故答案为8. 14.【答案】-12 【解析】因为对任意的正数x,y,都有f(x)+f(y)=f(xy),令x=y=1可得f(1)十f(1)=f(1),解得 f)=0:令y=上，可得f)+f(付）=f1)=0,故f(的)=-f),故f(付)+f()=-f9) f(5)=6,即f(9)+f(5)=-6,令y=x,可得2f(x)=f(x2),故f(2025)=f(92×52)=f(9)+f(5)= 2f(9)+2f(5)=2[f(9)+f(5)]=-12,故答案为-12. 15.【解析】由三角同角基本关系可得g(x)一2=士3sinx,…2分 故g(x)=3sinx十2或g(x)=-3sin.十2，…4分 又因为g(2）=5,故g()=3simx+2, 由于sinx∈[-1,1门，故g(x)的值域为[-1,5].…6分 (2)由(1)可得h(x)=cosx+3sinx十2=W√10sin(x十p)+2, 9分 1 其中tang=3' 10分 故当x=十2元一9，∈Z时，h(x)取得最大值/而+2，… 12分 【高二数学试题参考答案第3页（共5页）】 当x=7十2k元一9，k∈乙时，h(x)取得最小值2-0.- 13分 16.【解析】1)因为i(1-x2)=1,所以1一x2= =一i,故之2=1十i,… …3分 所以之2十x2=(（1十i)十（1-i)=2.… …5分 (2)易得之1-z2=(2+ai)-（1+i)=1+(a-1)i,… …7分 所以之1一z2=W12十(Q-1)2,… …9分 当a=1时，原式取得最小值1.… 11分 (3)易得x1之2=(2+ai)(1+i)=(2-a)+(2+a)i,… 13分 若之1之2的实部大于0，则2一a>0,即a<2,故a的取值范围为（一∞，2）.…15分 17【解析】(1)由图知：0.02+10x十0.18十0.25十0.4=1，…2分 可得x=0.015.… …3分 (2)由0.02+0.15+0.18=0.35<0.5,0.02+0.15+0.18+0.25=0.6>0.5，…5分 所以中位数在[80,90)之间，设中位数为a,那么(a一80)×0.025=0.5-0.35，…7分 解得a=86,所以中位数为86.……8分 (3)设评分在[50,60)中抽取的2人分别为a,b,在[70,80)中抽取的3人分别为C,D,E;…10分 从这5人中随机抽取2人，则样本空间为： {(a,b),(a,C),(a,D),(a,E),(b,C),(b,D),(b,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共有10个基本事件.·13分 设选取的2人评分均在[70,80)内为事件A,则A中包含(C,D),(C,E),(D,E)3个基本事件， 所以P(A)= 0 …15分 18.【解析】(1)由三棱柱性质，四边形BCFE为平行四边形，故BC∥FE. 1分 又P,Q分别为线段BC,EF的中点，则易有BP=EQ.…2分 即四边形BPQE为平行四边形，则BE∥PQ.… …3分 又由三棱柱性质有BE∥AD,故AD∥PQ.… ……4分 (2)由于AQ⊥平面DEF,EF平面DEF,故AQ⊥EF.… …5分 又AB=AC,由三棱柱性质知△ABC≌△DEF,则DF=DE.又Q为线段EF的中点，故EF⊥DQ.…6分 由于AQ⊥EF,EF⊥DQ,且AQ∩QD=Q,AQ,QDC平面AQD,故EF⊥平面AQD.…7分 由(1)可知AD∥PQ,即点P在平面AQD内，又AD=BE=PQ,则四边形APQD为平行四边形，·8分 且EF⊥平面APQD.又PQC平面APQD,故EF⊥PQ.…9分 由于平面PEF与平面EFD的交线EF满足EF⊥DQ,EF⊥PQ, 故∠PQD为二面角P一EF一D的平面角.。 ……11分 【高二数学试题参考答案第4页（共5页）】 (3)由于EF⊥平面APQD,EF∥BC,故BC⊥平面APQD.… 12分 连接AP,同理可证∠APQ为二面角A一BC一Q的平面角，由于AQ⊥EF,且Q为线段EF的中点，故 AE=AF.…13分 又∠EAF=60°，故△AEF为等边三角形，不妨设AE=AF=EF=2a,则AQ=√5a.…14分 由于DF=DE,DE⊥DF,故△DEF为等腰直角三角形，故QD=a,即AD=2a.…15分 则m∠ADQ肥-云2又由图有∠ADQ<9,故/AQ60,则∠APQ=∠ADQ6C.…17分 19.【解折11)在△ABC中，由cosA十2cos(A+3）sin(A+8）=0,得cosA-2cos2A十1=0，.3分 1 解得cosA=- 2或C05A=1.…4分 又0<A<元，所以cosA=- 所以A器 1 …5分 (2)由4=AC十AB≥2WAB·AC,得AB·AC≤4，当且仅当AB=AC=2时等号成立，…7分 1 所以S△Ax=2AB·ACsinA-≤B. …8分 所以△ABC面积的最大值为√5. (3)在△ABC中，i记角A,B,C所对的边分别为，bc.因为A店.Ad_A市.A ,所以AD是∠BAC的平 AB JAC 分线。… …9分 ,所以 因为SA =SA4o十SA4x,所以号csin∠BAC2·AD·sin BAC·AD·sn∠BAC 2 bc=AD(b十c)=4AD,所以AB·AC=4AD,… ……11分 因为A-否，所以∠BAD=∠CAD-否设∠ADB=0,0<0<行，在△ABD,△ACD中，由正弦定理得 BD AB CD AC √3b sin∠BAD sin.∠ADB'sin∠CAD-sin∠ADC,则BD= V3c sine ,CD 2sin0…13分 令入= BD十CD=A(b+c)=4入在△ABC中，由余弦完 c=h+c)-c=16-c<16,解得-1<1，所以A∈红9,1） …15分 11,14 4 BD十D元c+6流c=A(16-16马)41一A·令f(A)=入1-A),由题意可得函数f(A)在区间 答上单适议则了Q=(停)-得所以而+记的是小值为 3· …………17分 【高二数学试题参考答案第5页（共5页）】