精品解析：湖北省十堰市东风高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

东风高中2024级高一年级10月月考 数学试卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，且，则（ ）. A. B. 或0 C. 或1或0 D. 或或0 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可． 【详解】解：因为，， 若，则或，解得x＝2或−2或1或0． ①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足． ②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立． ③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足． ④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足． 综上，x＝2或−2或0． 故选：B． 【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题． 2. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④， 故选：D 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“,”为真命题的充要条件：,恒成立. 即,.故其必要不充分条件为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题. 5. 若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ） A. B. AB=C C. B=CA D. BC=A 【答案】B 【解析】 【分析】将每个集合中的元素表达式统一为分母为 6 的形式，研究分子即可判断. 【详解】对于集合 A：，其中 ， 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 . 因此，， 分子集合为 . 化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 . 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数.  和  都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。 由于分母相同（均为 6），所以 ；  是除以 6 余 1 的整数集合， 因为 ， 所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1， 所以且. 故选：B 6. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 7. 已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式求其最小值. 【详解】依题意有x＋y ， 当且仅当时取等号． 故选：B． 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，集合，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知求得集合A，且得出，分m=0时，B=∅；m≠0时，B={}， 或=2，解之可得出选项. 【详解】因为 又，所以， ∴当m=0时，B=∅，成立； 当m≠0时，B={}， ∵，∴或=2．解得m=1或m=， 综上，实数m的取值集合为{1，，0}． 故选：BCD． 【点睛】易错点点睛：本题考查实数的取值范围的求法，容易漏考虑的情况. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若则“”的充要条件是“” C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. 若则“”的充要条件是“” 【答案】AC 【解析】 【分析】利用充要条件判断四个选项的正误即可． 【详解】A选项：“”“”，但是“”推不出“”，故“”是“”的充分不必要条件，A正确； B选项：若，“”且时，推不出“”，故B不正确； C选项：当时， 方程的根为，不符合有一个正根和一个负根；但若“方程有一个正根和一个负根，则两根之积为负，即，能推出“”，则“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； D选项：当时，满足，但此时不成立，所以若，则“”的充要条件不是“”，故D错误. 故选：AC 11. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则一定有 【答案】CD 【解析】 【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A； 举反例，如，即可判断B； 若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C； 利用不等式的性质即可判断D. 【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误； 对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，为非零实数，则的所有可能取值构成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论，，全为正数，两正一负，一负两正，全为负数等四种类型，即可得出结果. 【详解】因为，，为非零实数， ， 当，，全为正数时，； 当，为正数，为负数时，； 当，为正数，为负数时，； 当，为正数，为负数时，； 当为正数，，为负数时，； 当为正数，，为负数时，； 当为正数，，为负数时，； 当，，全为负数时，． 故的所有可能取值构成的集合为． 故答案为 【点睛】本题主要考查求集合中的元素，熟记元素与集合之间关系即可，属于常考题型. 13. 函数的最小值等于____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是. 故答案为： 14. 若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足，则称a，b，c是调和的；若满足，则称a，b，c是等差的．若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合，集合，则这样的“好集”P的个数为___________． 【答案】1010 【解析】 【分析】由题设条件得出，再由得出“好集”P的个数. 【详解】由，整理得，解得（舍），. 即好集形如，由得，因为，，所以样的“好集”P的个数为. 故答案为：1010 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，若，求实数的值. 【答案】或 【解析】 【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解.. 【详解】由，解得或，所以， 又方程，即，解得或， 又因为，所以， 当时，即时，，满足题意， 当时，由得， 综上所述，或. 16. 已知，. （1）求证：； （2）若，求a+4b的最小值. 【答案】（1）证明:∵， ∴. （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用作差即可比较大小； （2）根据条件得，再由展开后利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，即， 所以. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题. 17. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集. （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围. 【小问1详解】 当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 18. 已知集合． （1）判断8，9，10是否属于集合A： （2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 【答案】（1），， （2）证明:，， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【小问1详解】 ，， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2） 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； （3） 【解析】 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，即可求解； （2）作差可得，再根据定义可知结论成立； （3）结合（2）中的结论，可得，满足条件，再说明当时，不恒成立，可得出的最小值. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若正整数满足条件，在时恒成立， 由（2）中的结论可知，时，满足条件， 若，由于，即, 所以时，对不恒成立， 因此的最小值为4039． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东风高中2024级高一年级10月月考 数学试卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，且，则（ ）. A. B. 或0 C. 或1或0 D. 或或0 2. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ） A. B. AB=C C. B=CA D. BC=A 6. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，集合，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若则“”的充要条件是“” C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. 若则“”的充要条件是“” 11. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则一定有 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，为非零实数，则的所有可能取值构成的集合为______． 13. 函数的最小值等于____________. 14. 若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足，则称a，b，c是调和的；若满足，则称a，b，c是等差的．若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合，集合，则这样的“好集”P的个数为___________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，若，求实数的值. 16. 已知，. （1）求证：； （2）若，求a+4b的最小值. 17. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 18. 已知集合． （1）判断8，9，10是否属于集合A： （2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $