4.2.2 一次函数与正比例函数 课件 2025-2026学年北师大八年级数学上册

该初中数学课件围绕一次函数的核心概念展开，从“均匀变化”这一现实现象切入，通过香燃烧、弹簧伸长、汽车耗油等真实情境，逐步引导学生抽象出函数关系式 y = kx + b，构建起从具体到抽象的学习支架，自然衔接正比例函数与一般一次函数的关系。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如例2中刹车速度变化问题，既体现对现实规律的观察（数学眼光），又通过逻辑推理求解停止时间（数学思维），并用函数表达实际情境（数学语言）。教学设计注重情境驱动与问题链推进，帮助学生理解k和b的实际意义，提升建模能力。学生能建立函数模型解决生活问题，教师可借此优化课堂结构，增强教学实效性。

北师版 一次函 第四章一次函数 第2课时 数与正比 数学·八年级（上 册 例函数 学习目标 ()理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例 函数之间的联系。 (2)利用一次函数解决简单的实际问题。 复 习回 顾 1.“均匀变化是指：一个变量增加 固的数值时， 另一个变量的改变量是 榈 2.根据下面表格试写出这根香可燃烧部分的长度1 与燃烧时间t之间的关系式。=22.9一0.5t(45.8≥t 0 燃烧时间tmin 1 2 4 5 香可燃烧部分的长度Icm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ■■■ 探 索新知 ·目知识点 次函数与正比例函数的概念 重点 在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm)与 所挂物体的质量x(单位：kg)的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是 均匀”的吗？ 是“均匀”变化的。 在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm)与 所挂物体的质量x(单位：kg)的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (2)写出y与x之间的关系式，并说明理由。 y=0.5x+3 理由如下：分析表格可知，弹簧的原长为3cm, 每挂1kg重的物体，弹簧长度就每增加0.5cm, 所以得出y=0.5x+3。 尝试思考 某辆汽车油箱中原有汽油 耗油4L。 (1)请完成下表。 行驶路程xkm 0 50 耗油量yL 0 4 40L,汽车每行驶50km 100 150 200 250 300 8 12 16 20 24 行驶路程xkm 0 50 100 150 200 250 300 耗油量yL 0 4 8 12 16 20 24 (2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 2 y=。x或y=0.08x 25 (3)写出油箱剩余油量z（单位：L)与汽车行驶路程 x之间的关系式。 2 x+40或y=-0.08x+40 25 观察思考 在上面情景中，表示变量之间关系的函数解析式有 什么共同的特征？ (1) 0.5x 3 (2) y 0 0.08k十40 kx b 这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式。 ■■■你已经知道了神马式函数这个视频，我给你介绍一个最简单的函数，正比例函数。这是神马东东呢？别急，先看两个例子。这儿有一辆车匀速行驶，每小时80千米，它行驶的路程等于速度乘时间。如果路程是Y时间是X那Y和X之间的关系就可以表示成Y等于80X这个式子先放这儿再看这个有一个三角形，它的一条底是四，你知道它的面积等于2分之1的底乘高。如果面积是Y高是X那么Y与X之间的关系可以表示成Y等于2分之1倍的4X也就是Y等于2XY等于80XY等于2X这两个函数都可以写成Y比X等于一个固定值的形式，也就是Y与X都成正比，所以像这样的函数就叫做正比例函数。以后你可以把形如Y等于KX这样的函数都叫做正比例函数，其中的K叫做比例系数，并且规定K不能取0。根据刚才的定义，像Y等于3X，Y等于4X，Y等于-2分之1X，Y等于2派X等等等等都是正比例函数，比例系数分别是34-2分之1以及二派。而像Y等于X的平方，X的次数是2，不是一次的就不是了。Y等于2X加一也不是因为后面多了个小尾巴。一正比例函数中后面啥尾巴都不能有。现在你已经学了啥是正比例函数，那试试这道题，已知Y减2和X成正比例，则Y是不是X的正比例函数呢？题目中说Y减2和X成正比例，也就是说Y减二等于KXY2移过去发现Y等于KX加2，完了又露出小120了。所以它不是现在给你一个函数，让你判断是不是正比例函数，你已经会了。那如果反过来告诉你一个函数是正比例函数，你又能推出啥呢？看这个若Y等于X的2减M方次方加上M加一是正比例函数，求M的值。要是正比例函数，X的次数必须是一，所以2减去M的平方等于一算一算得M的平方等于一，所以M就是正负一。这就是最后答案了吗？一定要小心，这个式子后面还有个小尾巴M加1。刚说过正比例函数一定不能有一半，所以M加一必须得为零，因此M只能是负一，这才是最后答案。又到了总结时间，这个视频你就学会了正比例函数的概念，形容Y等于KX的函数叫做正比例函数，其中的K一定不能等于0。怎么样？明白了吗？明白了就速速刷题去吧。